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AMC 10/12
手册 · 第 7 章

复数

i 的代数运算、共轭复数、复平面、极坐标形式与棣莫弗定理、单位根，以及用复数解决三角问题。

原书第 127–132 页 · 36 个条目

7.1 基本定义

定义 7.1.1

复数是能写成 a+bia + bi 的数，其中 aa 和 bb 是实数，ii 是“虚数单位”。aa 是这个数的实部，bibi 是它的虚数部分。复数常用字母 zz 表示。

注：这部分内容主要与 AMC 12 有关。

去学习:定义 44.1.1第 44.1a 节 i 的代数运算

原书第 127 页

定义 7.1.2

i=−1,i2=−1,i3=−i,i4=1i = \sqrt{-1},\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1

去学习:定义 44.1.2

原书第 127 页已数值验证

注 7.1.3

ii 的幂每 4 项循环一次，所以 i4n=i4=1i^{4n} = i^4 = 1，i4n+1=i=−1i^{4n+1} = i = \sqrt{-1}，i4n+2=i2=−1i^{4n+2} = i^2 = -1，i4n+3=i3=−ii^{4n+3} = i^3 = -i。

去学习:注 44.1.3

原书第 127 页已数值验证

定理 7.1.4 · 复数的加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

去学习:定理 44.1.4 · 复数的加法

原书第 127 页已数值验证

定理 7.1.5 · 复数的减法

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

去学习:定理 44.1.5 · 复数的减法

原书第 127 页已数值验证

定理 7.1.6 · 复数的乘法

(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i(a + bi)\cdot(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i

去学习:定理 44.1.6 · 复数的乘法

原书第 128 页已数值验证

注 7.1.8

虚部不带因子 ii：3−5i3 - 5i 的虚部是 −5-5，不是 −5i-5i。

去学习:注 44.1.8

原书第 128 页

7.2 共轭复数

定理 7.2.2 · 求共轭复数

zˉ=a+bi‾=a−bi\bar z = \overline{a + bi} = a - bi

去学习:定理 44.1.10 · 求共轭复数

原书第 128 页已数值验证

7.3 复数根

定义 7.3.1

nn 次多项式有 nn 个根（按重数计），这些根可能是复数。对二次式来说，如果判别式为负，根就是复数。

更正

原书写的是“对二项式来说，如果判别式为负，就有复数根”；判别式只适用于二次式，所以本站写作“二次式”。

去学习:定义 44.2.1第 44.2 节 多项式中的复数

原书第 129 页

7.4 复平面

定义 7.4.2

复数的模（大小）记作 ∣z∣|z|，是点 (a,b)(a, b) 到原点的距离。

去学习:定义 44.1.12

原书第 129 页

定理 7.4.3 · 复数的模（大小）

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

去学习:定理 44.1.13 · 复数的模

原书第 129 页已数值验证

7.5 极坐标形式

定理 7.5.2 · 复数的辐角

复数 a+bia + bi 的辐角 θ\theta 满足

tan⁡θ=ba.\tan\theta = \frac{b}{a}.

tan⁡θ=ba\tan\theta = \frac ba 并不能确定象限：−1+i-1 + i 和 1−i1 - i 都满足 ba=−1\frac ba = -1，但它们的辐角分别是 135∘135^\circ 和 −45∘-45^\circ。要看清点 (a,b)(a, b) 在哪个象限。

去学习:定理 44.1.18 · 复数的辐角

原书第 129 页已数值验证

定义 7.5.3

00 到一个复数的距离也叫这个复数的模，记作 rr。

去学习:定义 44.1.19

原书第 129 页

定理 7.5.4 · 复数的模

复数 a+bia + bi 的模 rr 是

r=∣a+bi∣=a2+b2.r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.

去学习:定理 44.1.20 · 复数的模

原书第 130 页已数值验证

定义 7.5.5

极坐标形式是复数的另一种写法，它用的是复数的模 rr 和辐角 θ\theta。

去学习:定义 44.1.21

原书第 130 页

注 7.5.7

cis⁡θ\operatorname{cis}\theta 就是 cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta + i\sin\theta 的简写。

去学习:注 44.1.23

原书第 130 页

注 7.5.8

由三角比可知 cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar，sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br，变形得 rcos⁡θ=ar\cos\theta = a，rsin⁡θ=br\sin\theta = b。代入就得到极坐标形式。

去学习:注 44.1.24

原书第 130 页已数值验证

注 7.5.9

cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta + i\sin\theta 也可以写成 cis⁡θ\operatorname{cis}\theta。

去学习:注 44.1.25

原书第 130 页

定理 7.5.10 · 欧拉公式

欧拉公式说

cos⁡θ+isin⁡θ=eiθ,\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta},

所以

z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθ.z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}.

（这里 θ\theta 用弧度制。）

去学习:定理 44.1.26 · 欧拉公式

原书第 130 页已数值验证

注 7.5.11

欧拉恒等式是欧拉公式的特例（θ=π\theta = \pi）：

eπi=−1.e^{\pi i} = -1.

去学习:注 44.1.27

原书第 130 页已数值验证

定理 7.5.12 · 棣莫弗定理

对复数 z=reiθz = re^{i\theta} 和整数 nn，

zn=(reiθ)n=rn[cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)].z^n = (re^{i\theta})^n = r^n\left[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\right].
更正

原书写的是“实数 nn”。当 nn 不是整数时，znz^n 有多个值（例如 n=12n = \frac12 时，由 4=4e0i=4e2πi4 = 4e^{0i} = 4e^{2\pi i} 既得到 22 也得到 −2-2），所以本站只对整数 nn 陈述这个定理。

去学习:定理 44.1.31 · 棣莫弗定理

原书第 131 页已数值验证

注 7.5.13

用它可以轻松得多地计算像

(3+2i)8(3 + 2i)^8

这样的式子：先化成极坐标形式，再用棣莫弗定理。

去学习:注 44.1.32

原书第 131 页已数值验证

注 7.5.14

处理复数和指数时，棣莫弗定理非常有用。

去学习:注 44.1.33

原书第 131 页

概念 7.5.16

复数和圆关系密切，因此能让许多几何题变简单，尤其是含有等边三角形、正方形等多边形的题。

用复数解几何题的步骤：

  1. 给一个或几个点指定对应的复数。
  2. 要得到其他点对应的复数，就乘以或除以 eiθe^{i\theta}。
  3. 利用已知条件，求出题目要的量。

去学习:概念 44.1.34 · 用复数解几何题第 44.1c 节 用复数解几何题

原书第 131 页

注 7.5.17

代数形式的复数问题也可以从几何角度来看。

去学习:注 44.1.35

原书第 131 页

7.6 单位根

定义 7.6.1

单位根是 xn=1x^n = 1（nn 为正整数）的复数解。xn=1x^n = 1 总是恰好有 nn 个解。

去学习:定义 44.1.28

原书第 132 页

定理 7.6.2 · 单位根

nn 次单位根是

e2kπi/n其中 k∈{1,2,…,n}.e^{2k\pi i/n}\quad\text{其中 } k \in \{1, 2, \dots, n\}.

（k=nk = n 时得到 11；这和 k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n - 1 给出的是同一组数。）

去学习:定理 44.1.29 · 单位根

原书第 132 页已数值验证

7.7 用复数解三角问题

定理 7.7.1 · 用复数表示正弦和余弦

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
sin⁡θ=eiθ+ei(π−θ)2i\phantom{\sin\theta} = \frac{e^{i\theta} + e^{i(\pi-\theta)}}{2i}
cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}
tan⁡θ=−i⋅eiθ−e−iθeiθ+e−iθ\tan\theta = -i\cdot\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}
更正

原书写的是 ei(180−θ)e^{i(180-\theta)}，把角度混进了弧度制的指数里；它的意思是 ei(π−θ)=−e−iθe^{i(\pi-\theta)} = -e^{-i\theta}。原书的正切公式 eiθ+ei(180−θ)eiθ+ei(−θ) i\frac{e^{i\theta} + e^{i(180-\theta)}}{e^{i\theta} + e^{i(-\theta)}}\,i 符号错了（它等于 −tan⁡θ-\tan\theta）：因子应该是 −i=1i-i = \frac1i，而不是 ii。

去学习:定理 44.3.1 · 用复数表示正弦和余弦第 44.3 节 三角中的复数

原书第 132 页已数值验证

注 7.7.2

用这些替换，你可以直接硬算出三角式的值，不需要原本必需的那些巧妙恒等变形。

去学习:注 44.3.2

原书第 132 页