手册 · 第 6 章

对数

什么是对数，以及让它好用的那些公式：积、商、幂的法则和换底公式。

原书第 124–126 页 · 8 个条目

6.1 基本定义

定义 6.1.1 · 对数

对数是一个数需要乘方的次数（幂指数），使它变成另一个数。

对数写作

a = \log_b n

其中 $b$ 是底数， $n$ 是真数。

说白了，我们在问：底数要自乘多少次才得到 $n$ ？也就是说，底数要取几次幂才能得到 $n$ ？

去学习:定义 41.1.1 · 对数第 41.1 节基本定义

原书第 124 页

定理 6.1.2 · 对数式与指数式的互化

\log_x y = a \implies x^a = y

这个箭头两个方向都成立： $x^a = y$ 也意味着 $\log_x y = a$ 。

去学习:定理 41.1.2 · 对数式与指数式的互化

原书第 124 页已数值验证

6.2 对数公式

定理 6.2.1 · 重要公式

\log_a a^r = r

\log_a bc = \log_a b + \log_a c

\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c

\log_a b^c = c \log_a b

\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

\log_b a = \frac{\log_d a}{\log_d b}

更正

原书把第五行印成 $\frac{\log_b}{\log_a} \cdot \frac{\log_c}{\log_b} = \frac{\log_c}{\log_a}$ ，漏掉了真数；它的意思是 $\frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} = \frac{\log c}{\log a}$ （各个对数取同一个底）。