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AMC 10/12
几何 · 第 34 章

圆

披萨块、饼边和相切的圆：扇形与弧，把相切的圆变成直角三角形的半径，圆幂定理，以及圆内接四边形的特殊规律。

这一章讲什么？
你需要先会
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34.10%

圆的面积

在本节中，你将能够 把扇形面积和弧长看成整个圆的几分之几来求，角度用度或弧度都可以。

一块披萨是整张饼的一部分。如果这一块的角是 45°，它就占面积的 45360=18\frac{45}{360} = \frac18，饼边也占 18\frac18。

每道扇形题都只是一个比例：圆心角360∘\frac{\text{圆心角}}{360^\circ}。把它乘以 πr2\pi r^2 得到面积，乘以 2πr2\pi r 得到弧长。

用弧度时，这个比例是 θ2π\frac{\theta}{2\pi}，所以弧长是 rθr\theta，扇形面积是 12r2θ\frac12 r^2\theta。 阴影部分的题目，就是把这些小块加加减减。

动手探索先玩，再学公式

半径 4，圆心角 90°：弧长 ≈ 6.28，扇形面积 ≈ 12.57

半径4
圆心角90°
90°r = 4
弧长 = 2π ≈ 6.28扇形面积 = 4π ≈ 12.57

半径 4，圆心角 90°：弧长 ≈ 6.28，扇形面积 ≈ 12.57

认识概念

定理 34.1.1 · 面积与周长

半径为 rr 的圆满足

面积=πr2,周长=2πr.\text{面积} = \pi r^2, \qquad \text{周长} = 2\pi r.

半径为 2 的圆切成 16 个扇形，拼成约 6.28 × 2 的近似长方形：面积 ≈ 12.57

半径 r2
扇形个数16
≈ πr（周长的一半）
6.28 × 2 ≈ 12.57底 = 周长的一半，高 = 半径

半径为 2 的圆切成 16 个扇形，拼成约 6.28 × 2 的近似长方形：面积 ≈ 12.57

定理 34.1.2 · 圆的弧

对于半径为 rr、角度为 a∘a^\circ 的弧：

扇形面积=πr2×a∘360∘=π×半径2×扇形占整个圆的比例\text{扇形面积} = \pi r^2 \times \frac{a^\circ}{360^\circ} = \pi \times \text{半径}^2 \times \text{扇形占整个圆的比例}
弧长=2πr×a∘360∘=2π×半径×扇形占整个圆的比例\text{弧长} = 2\pi r \times \frac{a^\circ}{360^\circ} = 2\pi \times \text{半径} \times \text{扇形占整个圆的比例}

定义 34.1.3 · 弧的角度

弧的角度是这条弧在圆心处所对的角（即圆心角）。

看例题先预测，再揭晓

例 34.1

AMC 10

两条不同的直线经过三个同心圆的圆心，三个圆的半径分别为 33、22 和 11。图中阴影部分的面积是非阴影部分面积的 813\frac{8}{13}。两条直线所成锐角的弧度数是多少？（注：π\pi 弧度等于 180180 度。）

阴影部分构造器 (总数在例题最后一步揭晓)

O
  • θ 楔形，半径 3
  • θ 楔形，半径 2
  • θ 楔形，半径 1
  • 对面的 θ 楔形，半径 3
  • 对面的 θ 楔形，半径 2
  • 对面的 θ 楔形，半径 1
  • 宽楔形，半径 2
  • 宽楔形，半径 1
  • 对面的宽楔形，半径 2
  • 对面的宽楔形，半径 1
  • 圆，半径 3
  • 圆，半径 2
  • 圆，半径 1

阴影部分：加上 θ 楔形，半径 3，减去 θ 楔形，半径 2，加上 θ 楔形，半径 1，加上 对面的 θ 楔形，半径 3，减去 对面的 θ 楔形，半径 2，加上 对面的 θ 楔形，半径 1，加上 宽楔形，半径 2，减去 宽楔形，半径 1，加上 对面的宽楔形，半径 2，减去 对面的宽楔形，半径 1

  1. 1

    整个图形就是最大的圆。它的面积是多少？这就是阴影部分加非阴影部分。

    先预测一下：
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例 34.2

AMC 10

如图，点 BB 和 CC 把线段 AD‾\overline{AD} 三等分，AB=BC=CD=2AB = BC = CD = 2。三个半径为 11 的半圆 AEB⌢\overset{\frown}{AEB}、BFC⌢\overset{\frown}{BFC} 和 CGD⌢\overset{\frown}{CGD} 的直径都在 AD‾\overline{AD} 上，并且分别在 EE、FF、GG 处与直线 EGEG 相切。一个半径为 22 的圆以 FF 为圆心。在圆内但在三个半圆外的部分（图中阴影部分）的面积可以写成

ab⋅π−c+d\frac{a}{b} \cdot \pi - \sqrt{c} + d

的形式，其中 aa、bb、cc、dd 是正整数，且 aa 与 bb 互质。a+b+c+da + b + c + d 等于多少？

阴影部分构造器 (总数在例题最后一步揭晓)

ABCDEFGXY
  • 以 F 为圆心的圆
  • 半圆 BFC
  • AEB 的四分之一圆
  • 左边的细三角形
  • F 处左边的 30° 扇形
  • 三角形 F, E, X
  • CGD 的四分之一圆
  • 右边的细三角形
  • F 处右边的 30° 扇形
  • 三角形 F, G, Y
  • 半圆 AEB
  • 半圆 CGD

阴影部分：加上 以 F 为圆心的圆，减去 半圆 BFC，减去 AEB 的四分之一圆，加上 左边的细三角形，减去 F 处左边的 30° 扇形，加上 三角形 F, E, X，减去 CGD 的四分之一圆，加上 右边的细三角形，减去 F 处右边的 30° 扇形，加上 三角形 F, G, Y

  1. 1

    先看半径为 2 的整个圆。它的面积是多少？

    先预测一下：
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自己做

习题 34.5.3

AMC 10

如图，从一块圆形的饼干面团上切下七块半径为 11 英寸的饼干。相邻的饼干互相相切，除了中间那块以外，每块饼干都与面团的边缘相切。剩下的边角料重新揉成一块同样厚度的饼干。这块边角料饼干的半径是多少英寸？

习题 34.5.35（补充题）

AMC 10

长方形 PQRSPQRS 在一个平面内，PQ=RS=2PQ = RS = 2，QR=SP=6QR = SP = 6。先把长方形绕 RR 顺时针旋转 90∘90^\circ，再绕第一次旋转后点 SS 所在的位置顺时针旋转 90∘90^\circ。点 PP 经过的路径长是多少？

习题 34.5.19（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 15.1.8 的编号出现。

Mary 把一个圆分成 1212 个扇形。这些扇形的圆心角（以度为单位）都是整数，并且构成等差数列。最小的扇形圆心角最小可能是多少度？

习题 34.5.20（补充题）

AMC 10

一串互相套连的圆环挂在一根钉子上，每个环的粗细是 11 厘米。最上面的环外径是 2020 厘米。每个环的外径都比它上面那个环的外径小 11 厘米。最下面的环外径是 33 厘米。从最上面的环的顶端到最下面的环的底端，距离是多少厘米？

竞赛角真实竞赛题

习题 34.5.2

AMC 10

如下图，NN 个全等的半圆放在一个大半圆的直径上，它们的直径恰好铺满大半圆的直径，没有重叠。设 AA 是这些小半圆的总面积，BB 是在大半圆内但在小半圆外的区域的面积。比 A:BA : B 是 1:181 : 18。NN 等于多少？

习题 34.5.5

AMC 10

三个半径为 22 的圆两两相切。三个圆加上它们所围成的区域，总面积是多少？如图所示。

阴影部分：圆 1 加上 圆 2 加上 圆 3 加上 圆心三角形 减去 60° 扇形 1 减去 60° 扇形 2 减去 60° 扇形 3

图形：圆 1，圆 2，圆 3，圆心三角形，60° 扇形 1，60° 扇形 2，60° 扇形 3

习题 34.5.6

AMC 10

下图中，一个大圆里有 1313 个半径为 11 的圆。所有的交点都是切点。在大圆内、但在所有半径为 11 的圆外的区域（图中阴影部分）的面积是多少？

阴影部分：大圆 减去 单位圆 1 减去 单位圆 2 减去 单位圆 3 减去 单位圆 4 减去 单位圆 5 减去 单位圆 6 减去 单位圆 7 减去 单位圆 8 减去 单位圆 9 减去 单位圆 10 减去 单位圆 11 减去 单位圆 12 减去 单位圆 13

图形：大圆，单位圆 1，单位圆 2，单位圆 3，单位圆 4，单位圆 5，单位圆 6，单位圆 7，单位圆 8，单位圆 9，单位圆 10，单位圆 11，单位圆 12，单位圆 13

习题 34.5.37（补充题）

AMC 10

在半径为 22 的半圆的直径 AB‾\overline{AB} 上作三个半径为 11 的半圆。小半圆的圆心把 AB‾\overline{AB} 分成四条等长的线段，如图所示。在大半圆内、小半圆外的阴影部分面积是多少？

阴影部分：大半圆 减去 左边的半圆 减去 中间的半圆 减去 右边的半圆 加上 透镜形的一部分（-1） 加上 透镜形的一部分（0） 减去 等边三角形 加上 透镜形的一部分（0） 加上 透镜形的一部分（1） 减去 等边三角形

AB

图形：大半圆，左边的半圆，中间的半圆，右边的半圆，透镜形的一部分（-1），透镜形的一部分（0），等边三角形，透镜形的一部分（0），透镜形的一部分（1），等边三角形

习题 34.5.42（补充题）

AMC 10

圆 AA、BB、CC 的半径都是 11。圆 AA 和 BB 有一个公共切点。圆 CC 与 AB‾\overline{AB} 的中点相切。在圆 CC 内、但在圆 AA 和圆 BB 外的面积是多少？

习题 34.5.11

AMC 12

如果圆弧 AC⌢\overset{\frown}{AC} 和 BC⌢\overset{\frown}{BC} 的圆心分别是 BB 和 AA，那么存在一个圆，与 AC⌢\overset{\frown}{AC}、BC⌢\overset{\frown}{BC} 以及 AB‾\overline{AB} 都相切。如果 BC⌢\overset{\frown}{BC} 的长是 1212，那么这个圆的周长是多少？

过关检测（第 34.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

半径为 66 的圆中，一个扇形的圆心角是 60∘60^\circ。它的面积是多少？

2

半径为 99 的圆上有一段长为 4π4\pi 的弧。这段弧所对的圆心角是多少度？

3

135∘135^\circ 等于多少弧度？

34.20%

圆中的长度

在本节中，你将能够 画出每一条半径，把相切的圆和切线变成直角三角形。

两个圆相切。经过两个圆心的直线一定经过切点。能画的半径都画出来，直角三角形就出现了。

三个事实能解决大部分问题。相切的两个圆：圆心相距 r1+r2r_1 + r_2（外切）或 ∣r1−r2∣|r_1 - r_2|（内切）。到切点的半径垂直于切线。

再看：到同一条公切线的两条半径互相平行。它们和连心线一起组成一个直角梯形，所以切线长是 d2−(r1−r2)2\sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}。

动手探索先玩，再学公式

半径 5 和 3 的两圆，圆心距 12：相离（d > r₁ + r₂）

r₁5
r₂3
d12
d = 12AB
相离（d > r₁ + r₂）d = 12，r₁ + r₂ = 8，|r₁ − r₂| = 2

半径 5 和 3 的两圆，圆心距 12：相离（d > r₁ + r₂）

认识概念

概念 34.2.1

做与圆有关的几何题时，一定要试着画出所有重要的半径（也就是把圆心和圆上每个重要的点连起来）。

看例题先预测，再揭晓

例 34.3

AIME

一个直径 PQ‾\overline{PQ} 长为 1010 的圆在 PP 处与一个半径为 2020 的圆内切。作正方形 ABCDABCD，使 AA 和 BB 在大圆上，CD‾\overline{CD} 在 QQ 处与小圆相切，并且小圆在 ABCDABCD 外部。AB‾\overline{AB} 的长可以写成 m+nm + \sqrt{n} 的形式，其中 mm 和 nn 是整数。求 m+nm + n。

  1. 1

    设大圆的圆心为 OO。两圆在 PP 处相切，所以 OO、小圆圆心和 PP 在同一条直线上，QQ 也在这条直线上。QQ 到 OO 的距离是多少？

    先预测一下：
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例 34.4

AIME

机加工车间的一种切削工具形状是一个带缺口的圆，如图所示。圆的半径是 50\sqrt{50} 厘米，ABAB 长 66 厘米，BCBC 长 22 厘米。角 ABCABC 是直角。求 BB 到圆心距离（单位：厘米）的平方。

  1. 1

    把圆心 OO 放在原点，设 B=(a,b)B = (a, b)，AA 在 BB 的正上方，CC 在它的右边。AA 和 CC 的坐标是什么？

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自己做

习题 34.5.34（补充题）

AMC 10

点 AA 和 BB 在以 OO 为圆心的圆上，∠AOB=60∘\angle AOB = 60^\circ。第二个圆与第一个圆内切，并与 OA‾\overline{OA} 和 OB‾\overline{OB} 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

习题 34.5.36（补充题）

AMC 10

圆心为 OO 和 PP 的两个圆半径分别为 22 和 44，并且外切。以 OO 为圆心的圆上有点 AA 和 BB，以 PP 为圆心的圆上有点 CC 和 DD，使 AD‾\overline{AD} 和 BC‾\overline{BC} 是两圆的外公切线。凹六边形 AOBCPDAOBCPD 的面积是多少？

习题 34.5.22（补充题）

AIME

图中有二十个全等的圆排成三行，围在一个长方形里。这些圆彼此相切，并与长方形的边相切，如图所示。长方形较长边与较短边之比可以写成 12(p−q)\frac12\left(\sqrt{p} - q\right)，其中 pp 和 qq 是正整数。求 p+qp + q。

竞赛角真实竞赛题

习题 34.5.1

AMC 10

圆心分别为点 AA 和 BB 的两个圆外切，半径分别为 55 和 33。一条与两圆都相切的外公切线与射线 ABAB 交于点 CC。BCBC 等于多少？

习题 34.5.4

AMC 10

两个半径为 55 的圆互相外切，并且分别在点 AA 和 BB 处与一个半径为 1313 的圆内切，如图所示。距离 ABAB 可以写成 mn\frac{m}{n} 的形式，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。m+nm + n 等于多少？

习题 34.5.9

AMC 10/12

圆 C1C_1 和 C2C_2 的半径都是 11，圆心之间的距离是 12\frac12。圆 C3C_3 是与 C1C_1 和 C2C_2 都内切的最大的圆。圆 C4C_4 与 C1C_1 和 C2C_2 都内切，并与 C3C_3 外切。C4C_4 的半径是多少？

习题 34.5.21（补充题）

AMC 10

一个半径为 11 的圆与一个半径为 22 的圆相切。△ABC\triangle ABC 的各边与这两个圆相切，如图所示，并且边 AB‾\overline{AB} 和 AC‾\overline{AC} 相等。△ABC\triangle ABC 的面积是多少？

习题 34.5.24（补充题）

AMC 10

如下图，在以 JK‾\overline{JK} 为直径的半圆内部，画出圆心分别在 AA 和 BB、半径分别为 22 和 11 的两个半圆，它们与大半圆共用底边所在的直线。两个小半圆互相外切，并都与最大的半圆内切。以 PP 为圆心画一个圆，与两个小半圆外切，并与最大的半圆内切。以 PP 为圆心的圆的半径是多少？

习题 34.5.41（补充题）

AMC 10

圆 AA、BB、CC 两两外切，并且都与圆 DD 内切。圆 BB 和 CC 全等。圆 AA 的半径为 11，并经过 DD 的圆心。圆 BB 的半径是多少？

习题 34.5.32（补充题）

AIME

圆 C1C_1 和 C2C_2 外切，并且都与圆 C3C_3 内切。C1C_1 和 C2C_2 的半径分别为 44 和 1010，三个圆的圆心共线。C3C_3 的一条弦同时是 C1C_1 和 C2C_2 的外公切线。已知这条弦的长是 mnp\frac{m\sqrt{n}}{p}，其中 mm、nn、pp 是正整数，mm 与 pp 互质，且 nn 不能被任何质数的平方整除，求 m+n+pm + n + p。

习题 34.5.8

AMC 10

在边长为 11 的正方形内放四个全等的半圆，使它们的直径都在正方形的边上，每条直径的一个端点是正方形的顶点，并且相邻的半圆互相相切。一个以正方形中心为圆心的小圆与四个半圆都相切，如下图所示。小圆的直径可以写成 (a+b)(c+d)(\sqrt{a} + b)(\sqrt{c} + d)，其中 aa、bb、cc、dd 是整数。a+b+c+da + b + c + d 等于多少？

过关检测（第 34.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

半径为 77 和 22 的两个圆，圆心相距 1313。一条外公切线段（两个切点之间的部分）有多长？

2

一个半径为 33 的圆与一个半径为 1010 的圆内切。它们的圆心相距多远？

3

点 AA 和 BB 在以 OO 为圆心的圆上，∠AOB=60∘\angle AOB = 60^\circ。第二个圆与第一个圆内切，并与 OA‾\overline{OA} 和 OB‾\overline{OB} 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

34.30%

圆幂定理

在本节中，你将能够 使用圆幂定理：过同一点的每条弦或割线，被这一点分成的两段长度之积都相同。

过点 P 任意画一条弦，把它被 P 分成的两段相乘。转动这条弦再算一次：乘积永远不变。这个数就是这个点的“幂”。

点 PP 的幂是 OP2−r2OP^2 - r^2：在圆内为负，在圆上为零，在圆外为正。过 PP 的每条弦或割线都满足 PA⋅PB=∣OP2−r2∣PA \cdot PB = |OP^2 - r^2|。

切线就是两个交点合二为一的割线，所以 PT2PT^2 也等于这个幂。这正是从一点出发的两条切线长相等的原因。

动手探索先玩，再学公式

P 在圆内。PA·PB = 5.85 × 3.72 = 21.75。PC·PD = 3.43 × 6.34 = 21.75。幂 r² − OP² = 21.75

直线 120°
直线 2110°
P
PA·PB = 5.85 × 3.72 = 21.75PC·PD = 3.43 × 6.34 = 21.75r² − OP² = 21.75

P 在圆内。PA·PB = 5.85 × 3.72 = 21.75。PC·PD = 3.43 × 6.34 = 21.75。幂 r² − OP² = 21.75

认识概念

定理 34.3.1 · 圆幂定理：两条切线

从圆外一点 PP 向圆作两条切线，两条切线长相等：

PS=PT.PS = PT.

定理 34.3.2 · 圆幂定理：点在圆内

如果圆心为 OO、半径为 rr 的圆的两条弦 ABAB 和 CDCD 相交于圆内一点 PP，那么

PA⋅PB=PC⋅PD=r2−OP2.PA \cdot PB = PC \cdot PD = r^2 - OP^2.

定理 34.3.3 · 圆幂定理：点在圆外

如果圆心为 OO 的圆的两条割线 ABAB 和 CDCD 相交于圆外一点 PP，那么

PA⋅PB=PC⋅PD=OP2−r2,PA \cdot PB = PC \cdot PD = OP^2 - r^2,

其中 rr 是圆的半径。

注 34.3.4

只要题目把圆和弦长放在一起，圆幂定理就很有用：过同一点的弦（或割线）被这一点分成的两段，乘积总是相同的。

看例题先预测，再揭晓

例 34.5

AMC 12

设 AB‾\overline{AB} 是半径为 525\sqrt2 的圆的一条直径。设 CD‾\overline{CD} 是圆的一条弦，它与 AB‾\overline{AB} 交于点 EE，满足 BE=25BE = 2\sqrt5 且 ∠AEC=45∘\angle AEC = 45^\circ。CE2+DE2CE^2 + DE^2 等于多少？

点的幂 (总数在例题最后一步揭晓)

直线 10°
直线 245°
E
EA·EB = ? (例题最后一步揭晓) × ? (例题最后一步揭晓) = 43.25EC·ED = ? (例题最后一步揭晓) × ? (例题最后一步揭晓) = 43.25r² − OP² = 43.25

P 在圆内。EA·EB = ? × ? = 43.25。EC·ED = ? × ? = 43.25。幂 r² − OP² = 43.25

  1. 1

    CE2+DE2=(CE+DE)2−2 CE⋅DE=CD2−2 CE⋅DECE^2 + DE^2 = (CE + DE)^2 - 2\,CE \cdot DE = CD^2 - 2\,CE\cdot DE。先求乘积：由圆幂定理，CE⋅DE=AE⋅EB=r2−OE2CE \cdot DE = AE \cdot EB = r^2 - OE^2。已知 OE=OB−BE=52−25OE = OB - BE = 5\sqrt2 - 2\sqrt5，它等于多少？

    先预测一下：
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例 34.6

AIME

设 ABCDABCD 是平行四边形，∠BAD<90∘\angle BAD < 90^\circ。一个与边 DA‾\overline{DA}、AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC} 都相切的圆与对角线 AC‾\overline{AC} 交于点 PP 和 QQ，AP<AQAP < AQ，如图所示。已知 AP=3AP = 3，PQ=9PQ = 9，QC=16QC = 16。那么 ABCDABCD 的面积可以写成 mnm\sqrt{n} 的形式，其中 mm 和 nn 是正整数，且 nn 不能被任何质数的平方整除。求 m+nm + n。

  1. 1

    点 AA 的幂：从 AA 出发的切线长的平方等于 AP⋅AQAP \cdot AQ。从 AA 出发的切线长是多少？

    先预测一下：

竞赛角真实竞赛题

习题 34.5.7

AMC 12

把半径为 22 的圆的直径 AB‾\overline{AB} 延长到圆外一点 DD，使 BD=3BD = 3。取点 EE，使 ED=5ED = 5 且直线 EDED 垂直于直线 ADAD。线段 AE‾\overline{AE} 与圆交于 AA 和 EE 之间的一点 CC。△ABC\triangle ABC 的面积是多少？

习题 34.5.10

AMC 10

在 △ABC\triangle ABC 中，AB=86AB = 86，AC=97AC = 97。以 AA 为圆心、ABAB 为半径的圆与 BC‾\overline{BC} 交于点 BB 和 XX。并且 BX‾\overline{BX} 和 CX‾\overline{CX} 的长都是整数。BCBC 等于多少？

习题 34.5.16

AIME

画出长方形 ABCDABCD 和 EFGHEFGH，使 D,E,C,FD, E, C, F 共线。并且 A,D,H,GA, D, H, G 都在同一个圆上。如果 BC=16BC = 16，AB=107AB = 107，FG=17FG = 17，EF=184EF = 184，那么 CECE 的长是多少？

习题 34.5.38（补充题）

AIME

在右图中，画了两个半径分别为 88 和 66 的圆，圆心相距 1212。过其中一个交点 PP 作一条直线，使弦 QP‾\overline{QP} 和 PR‾\overline{PR} 等长。求 QPQP 长度的平方。

习题 34.5.39（补充题）

AIME挑战

三角形 ABCABC 内接于圆 ω\omega。点 PP 和 QQ 在边 AB‾\overline{AB} 上，AP<AQAP < AQ。射线 CPCP 和 CQCQ 分别再次与 ω\omega 交于 SS 和 TT（不同于 CC）。如果 AP=4AP = 4，PQ=3PQ = 3，QB=6QB = 6，BT=5BT = 5，AS=7AS = 7，那么 ST=mnST = \frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

过关检测（第 34.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

圆的弦 AB‾\overline{AB} 和 CD‾\overline{CD} 交于 PP。如果 PA=4PA = 4，PB=6PB = 6，PC=3PC = 3，那么 PDPD 等于多少？

2

从圆外一点 PP 作切线 PT‾\overline{PT}，长为 66。从 PP 出发的一条割线与圆交于 AA 和 BB，PA=4PA = 4，且 PA<PBPA < PB。PBPB 等于多少？

3

点 PP 到半径为 55 的圆的圆心距离为 1313。从 PP 到圆的切线段有多长？

34.40%

圆内接四边形

在本节中，你将能够 认出圆内接四边形，并使用它的对角规律、托勒密定理和婆罗摩笈多公式。

圆上的四个点很特别。对角之和为 180°，而且对角线“知道”各边的长：这就是托勒密定理。

留意藏起来的圆。两个相对的直角，或者两个对着同一条边的相等的角，都说明这四个点共圆。

托勒密定理把边长和对角线联系起来：AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC。对长方形来说，它就是勾股定理。

动手探索先玩，再学公式

半径 5 的圆内接四边形 ABCD：对角 ∠A + ∠C = 97.5° + 82.5° = 180°，∠B + ∠D = 180°

ABCD
∠A + ∠C = 98° + 83° = 180°∠B + ∠D = 80° + 100° = 180°

半径 5 的圆内接四边形 ABCD：对角 ∠A + ∠C = 97.5° + 82.5° = 180°，∠B + ∠D = 180°

认识概念

定理 34.4.1 · 圆内接四边形的性质

在圆内接四边形中，

对角之和=180∘.\text{对角之和} = 180^\circ.

你可以在四边形外面画一个圆，再利用圆的导角性质，比如圆周角定理。（这就是定理 29.1.21。）

概念 34.4.2

有时题目并没有说四边形内接于圆。如果它的对角之和为 180∘180^\circ，或者它的角满足圆周角定理（例如两个相等的角对着同一条边），那么它就是圆内接四边形。这时圆内接四边形的所有性质、圆的所有性质你都可以用，因为这个四边形可以内接于一个圆。

圆内接四边形：∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°，∠B + ∠D 也等于 180°

90° + 90° = 180°
92.5° + 87.5° = 180°

∠A 是它所对的弧的一半，∠C 是另一段弧的一半。两段弧合起来是整个圆，360°。

∠A = 90°，∠C = 90°，和是 180°。∠B = 92.5°，∠D = 87.5°，和也是 180°。

定理 34.4.3 · 托勒密定理

在圆内接四边形 ABCDABCD 中，两条对角线的积等于两组对边乘积之和：

AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC.AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.

定理 34.4.4 · 婆罗摩笈多公式

边长为 a,b,c,da, b, c, d 的圆内接四边形的面积为

A=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d),A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},

其中 s=a+b+c+d2s = \dfrac{a+b+c+d}{2} 是半周长。

求圆内接四边形的面积：

  1. 求出周长，再除以 2。
  2. 用它分别减去每条边长，得到 4 个值。
  3. 把这 4 个值相乘。
  4. 对乘积开平方。

看例题先预测，再揭晓

例 34.7

AMC 10

等腰三角形 ABCABC 中 AB=AC=36AB = AC = 3\sqrt6，一个半径为 525\sqrt2 的圆在 BB 处与直线 ABAB 相切，在 CC 处与直线 ACAC 相切。经过顶点 AA、BB、CC 的圆的面积是多少？

  1. 1

    设半径为 525\sqrt2 的圆的圆心为 OO，画出半径 OBOB、OCOC。∠ABO\angle ABO 和 ∠ACO\angle ACO 各是多少？

    先预测一下：
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例 34.8

AIME

一个六边形内接于圆。它有五条边长为 8181，第六条边记作 AB‾\overline{AB}，长为 3131。求从 AA 出发可以画出的三条对角线的长度之和。

圆内接四边形实验室 (总数在例题最后一步揭晓)

四边形ABCD
ABCDEF
AC·BD = ? (例题最后一步揭晓) × ? (例题最后一步揭晓) = ? (例题最后一步揭晓)AB·CD + DA·BC = 31 × 81 + ? × 81 = ? (例题最后一步揭晓)

半径 73.27 的圆内接四边形 ABCD：对角 ∠A + ∠C = 67.11° + 112.89° = 180°，∠B + ∠D = 180°；托勒密 AC·BD = ? = AB·CD + AD·BC = ?

  1. 1

    把六边形记作 ABCDEFABCDEF，设 x=ACx = AC，y=ADy = AD，z=AEz = AE。等弧对等弦。还有哪些对角线等于 zz 和 yy？

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自己做

习题 34.5.13

AMC 10

一个四边形内接于半径为 2002200\sqrt2 的圆。这个四边形有三条边长为 200200。第四条边长是多少？

习题 34.5.29（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 34.7 的编号出现。

等腰三角形 ABCABC 中 AB=AC=36AB = AC = 3\sqrt6，一个半径为 525\sqrt2 的圆在 BB 处与直线 ABAB 相切，在 CC 处与直线 ACAC 相切。经过顶点 AA、BB、CC 的圆的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 34.5.12

AMC 10

三角形 ABCABC 是等腰直角三角形，AB=AC=3AB = AC = 3。设 MM 是斜边 BC‾\overline{BC} 的中点。点 II 和 EE 分别在边 AC‾\overline{AC} 和 AB‾\overline{AB} 上，使得 AI>AEAI > AE 且 AIMEAIME 是圆内接四边形。已知三角形 EMIEMI 的面积是 22，长度 CICI 可以写成 a−bc\frac{a - \sqrt{b}}{c}，其中 aa、bb、cc 是正整数，且 bb 不能被任何质数的平方整除。a+b+ca + b + c 的值是多少？

习题 34.5.23（补充题）

AMC 10

设 ABCDABCD 是圆内接四边形。ABCDABCD 的边长是互不相同的小于 1515 的整数，且 BC⋅CD=AB⋅DABC \cdot CD = AB \cdot DA。BDBD 的最大可能值是多少？

习题 34.5.26（补充题）

AMC 10

三角形 ABCABC 是边长为 66 的等边三角形。设 OO 是这个三角形内切圆的圆心。经过 AA、OO、CC 的圆的面积是多少？

过关检测（第 34.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

ABCDABCD 是圆内接四边形，∠A=75∘\angle A = 75^\circ。∠C\angle C 是多少度？

2

圆内接四边形 ABCDABCD 中 AB=3AB = 3，BC=4BC = 4，CD=5CD = 5，DA=6DA = 6。AC⋅BDAC \cdot BD 等于多少？

3

一个圆内接四边形的边长为 22、33、44、55。它的面积是多少？

34.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章所有关于圆的工具。

练习题的其余部分，从 AMC 10 热身题到两道压轴的 AIME 题。先画出半径，再判断：扇形、切线、圆幂定理，还是圆内接四边形？

竞赛角真实竞赛题

习题 34.5.14

AMC 12

半圆 Γ\Gamma 的直径 AB‾\overline{AB} 长为 1414。圆 Ω\Omega 在点 PP 处与 AB‾\overline{AB} 相切，并与 Γ\Gamma 交于点 QQ 和 RR。如果 QR=33QR = 3\sqrt3 且 ∠QPR=60∘\angle QPR = 60^\circ，那么 △PQR\triangle PQR 的面积是 abc\frac{a\sqrt{b}}{c}，其中 aa 和 cc 是互质的正整数，bb 是不能被任何质数的平方整除的正整数。a+b+ca + b + c 等于多少？

习题 34.5.15

AMC 12

三个同心圆的半径分别为 11、22、33。一个边长为 ss 的等边三角形的三个顶点分别在三个圆上。s2s^2 等于多少？

习题 34.5.17

AIME

可以把八个半径为 3434 的圆放在 △ABC\triangle ABC 中并都与 BC‾\overline{BC} 相切，使这些圆依次相切，第一个圆与 AB‾\overline{AB} 相切，最后一个圆与 AC‾\overline{AC} 相切，如图所示。类似地，可以用同样的方式放 20242024 个半径为 11 的圆，都与 BC‾\overline{BC} 相切。△ABC\triangle ABC 的内切圆半径可以写成 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

习题 34.5.18

AMC 10/12挑战

设 SS 是坐标平面上与方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4、x2+y2=64x^2 + y^2 = 64 和 (x−5)2+y2=3(x - 5)^2 + y^2 = 3 的三个圆都相切的所有圆组成的集合。SS 中所有圆的面积之和是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 34.5.25（补充题）

AMC 10

在 △ABC\triangle ABC 中，AB=6AB = 6，AC=8AC = 8，BC=10BC = 10，DD 是 BC‾\overline{BC} 的中点。△ADB\triangle ADB 和 △ADC\triangle ADC 的内切圆半径之和是多少？

习题 34.5.27（补充题）

AMC 12

三角形 ABCABC 中 AB=27AB = 27，AC=26AC = 26，BC=25BC = 25。设 II 是 △ABC\triangle ABC 三条内角平分线的交点。BIBI 等于多少？

习题 34.5.28（补充题）

AMC 12

半径分别为 11、22、33 的三个圆两两外切。由三个切点确定的三角形面积是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 34.5.30（补充题）

AMC 10

一个边长为 55、1212、1313 的三角形既有内切圆，也有外接圆。这两个圆的圆心之间的距离是多少？

习题 34.5.31（补充题）

AIME

设 △PQR\triangle PQR 是直角三角形，PQ=90PQ = 90，PR=120PR = 120，QR=150QR = 150。设 C1C_1 是它的内切圆。作 ST‾\overline{ST}，SS 在 PR‾\overline{PR} 上，TT 在 QR‾\overline{QR} 上，使 ST‾\overline{ST} 垂直于 PR‾\overline{PR} 且与 C1C_1 相切。作 UV‾\overline{UV}，UU 在 PQ‾\overline{PQ} 上，VV 在 QR‾\overline{QR} 上，使 UV‾\overline{UV} 垂直于 PQ‾\overline{PQ} 且与 C1C_1 相切。设 C2C_2 是 △RST\triangle RST 的内切圆，C3C_3 是 △QUV\triangle QUV 的内切圆。C2C_2 和 C3C_3 的圆心之间的距离可以写成 10n\sqrt{10n}。nn 等于多少？

习题 34.5.33（补充题）

AMC 10

直角三角形 ABCABC 的边长为 BC=6BC = 6，AC=8AC = 8，AB=10AB = 10。一个以 OO 为圆心的圆在 BB 处与直线 BCBC 相切，并经过 AA。一个以 PP 为圆心的圆在 AA 处与直线 ACAC 相切，并经过 BB。OPOP 等于多少？

习题 34.5.40（补充题）

AMC 10

设 AB‾\overline{AB} 是一个圆的直径，CC 是 AB‾\overline{AB} 上一点，满足 2⋅AC=BC2 \cdot AC = BC。设 DD 和 EE 是圆上的点，使 DC‾⊥AB‾\overline{DC} \perp \overline{AB}，且 DE‾\overline{DE} 是另一条直径。△DCE\triangle DCE 的面积与 △ABD\triangle ABD 的面积之比是多少？

习题 34.5.43（补充题）

AMC 12

在上半平面内按层构造一组都与 xx 轴相切的圆，方法如下。第 L0L_0 层由两个半径分别为 70270^2 和 73273^2 的外切圆组成。对于 k≥1k \ge 1，把 ⋃j=0k−1Lj\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j 中的圆按它们与 xx 轴的切点排序。对于这个顺序中每一对相邻的圆，作一个与这一对中两个圆都外切的新圆。第 LkL_k 层由这样作出的 2k−12^{k-1} 个圆组成。设 S=⋃j=06LjS = \bigcup_{j=0}^{6} L_j，对每个圆 CC，用 r(C)r(C) 表示它的半径。

∑C∈S1r(C)\sum_{C \in S} \frac{1}{\sqrt{r(C)}}

等于多少？