圆：全部习题

圆心分别为点 $A$ 和 $B$ 的两个圆外切，半径分别为 $5$ 和 $3$。一条与两圆都相切的外公切线与射线 $AB$ 交于点 $C$。$BC$ 等于多少？

如下图，$N$ 个全等的半圆放在一个大半圆的直径上，它们的直径恰好铺满大半圆的直径，没有重叠。设 $A$ 是这些小半圆的总面积，$B$ 是在大半圆内但在小半圆外的区域的面积。比 $A : B$ 是 $1 : 18$。$N$ 等于多少？

如图，从一块圆形的饼干面团上切下七块半径为 $1$ 英寸的饼干。相邻的饼干互相相切，除了中间那块以外，每块饼干都与面团的边缘相切。剩下的边角料重新揉成一块同样厚度的饼干。这块边角料饼干的半径是多少英寸？

两个半径为 $5$ 的圆互相外切，并且分别在点 $A$ 和 $B$ 处与一个半径为 $13$ 的圆内切，如图所示。距离 $AB$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 等于多少？

三个半径为 $2$ 的圆两两相切。三个圆加上它们所围成的区域，总面积是多少？如图所示。

下图中，一个大圆里有 $13$ 个半径为 $1$ 的圆。所有的交点都是切点。在大圆内、但在所有半径为 $1$ 的圆外的区域（图中阴影部分）的面积是多少？

把半径为 $2$ 的圆的直径 $\overline{AB}$ 延长到圆外一点 $D$，使 $BD = 3$。取点 $E$，使 $ED = 5$ 且直线 $ED$ 垂直于直线 $AD$。线段 $\overline{AE}$ 与圆交于 $A$ 和 $E$ 之间的一点 $C$。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

在边长为 $1$ 的正方形内放四个全等的半圆，使它们的直径都在正方形的边上，每条直径的一个端点是正方形的顶点，并且相邻的半圆互相相切。一个以正方形中心为圆心的小圆与四个半圆都相切，如下图所示。小圆的直径可以写成 $(\sqrt{a} + b)(\sqrt{c} + d)$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 是整数。$a + b + c + d$ 等于多少？

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 的半径都是 $1$，圆心之间的距离是 $\frac12$。圆 $C_3$ 是与 $C_1$ 和 $C_2$ 都内切的最大的圆。圆 $C_4$ 与 $C_1$ 和 $C_2$ 都内切，并与 $C_3$ 外切。$C_4$ 的半径是多少？

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 86$，$AC = 97$。以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆与 $\overline{BC}$ 交于点 $B$ 和 $X$。并且 $\overline{BX}$ 和 $\overline{CX}$ 的长都是整数。$BC$ 等于多少？

如果圆弧 $\overset{\frown}{AC}$ 和 $\overset{\frown}{BC}$ 的圆心分别是 $B$ 和 $A$，那么存在一个圆，与 $\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BC}$ 以及 $\overline{AB}$ 都相切。如果 $\overset{\frown}{BC}$ 的长是 $12$，那么这个圆的周长是多少？

三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，$AB = AC = 3$。设 $M$ 是斜边 $\overline{BC}$ 的中点。点 $I$ 和 $E$ 分别在边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 上，使得 $AI > AE$ 且 $AIME$ 是圆内接四边形。已知三角形 $EMI$ 的面积是 $2$，长度 $CI$ 可以写成 $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$，其中 $a$、$b$、$c$ 是正整数，且 $b$ 不能被任何质数的平方整除。$a + b + c$ 的值是多少？

一个四边形内接于半径为 $200\sqrt2$ 的圆。这个四边形有三条边长为 $200$。第四条边长是多少？

半圆 $\Gamma$ 的直径 $\overline{AB}$ 长为 $14$。圆 $\Omega$ 在点 $P$ 处与 $\overline{AB}$ 相切，并与 $\Gamma$ 交于点 $Q$ 和 $R$。如果 $QR = 3\sqrt3$ 且 $\angle QPR = 60^\circ$，那么 $\triangle PQR$ 的面积是 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a$ 和 $c$ 是互质的正整数，$b$ 是不能被任何质数的平方整除的正整数。$a + b + c$ 等于多少？

三个同心圆的半径分别为 $1$、$2$、$3$。一个边长为 $s$ 的等边三角形的三个顶点分别在三个圆上。$s^2$ 等于多少？

画出长方形 $ABCD$ 和 $EFGH$，使 $D, E, C, F$ 共线。并且 $A, D, H, G$ 都在同一个圆上。如果 $BC = 16$，$AB = 107$，$FG = 17$，$EF = 184$，那么 $CE$ 的长是多少？

可以把八个半径为 $34$ 的圆放在 $\triangle ABC$ 中并都与 $\overline{BC}$ 相切，使这些圆依次相切，第一个圆与 $\overline{AB}$ 相切，最后一个圆与 $\overline{AC}$ 相切，如图所示。类似地，可以用同样的方式放 $2024$ 个半径为 $1$ 的圆，都与 $\overline{BC}$ 相切。$\triangle ABC$ 的内切圆半径可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

设 $S$ 是坐标平面上与方程为 $x^2 + y^2 = 4$、$x^2 + y^2 = 64$ 和 $(x - 5)^2 + y^2 = 3$ 的三个圆都相切的所有圆组成的集合。$S$ 中所有圆的面积之和是多少？

Mary 把一个圆分成 $12$ 个扇形。这些扇形的圆心角（以度为单位）都是整数，并且构成等差数列。最小的扇形圆心角最小可能是多少度？

一串互相套连的圆环挂在一根钉子上，每个环的粗细是 $1$ 厘米。最上面的环外径是 $20$ 厘米。每个环的外径都比它上面那个环的外径小 $1$ 厘米。最下面的环外径是 $3$ 厘米。从最上面的环的顶端到最下面的环的底端，距离是多少厘米？

一个半径为 $1$ 的圆与一个半径为 $2$ 的圆相切。$\triangle ABC$ 的各边与这两个圆相切，如图所示，并且边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 相等。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

图中有二十个全等的圆排成三行，围在一个长方形里。这些圆彼此相切，并与长方形的边相切，如图所示。长方形较长边与较短边之比可以写成 $\frac12\left(\sqrt{p} - q\right)$，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。求 $p + q$。

设 $ABCD$ 是圆内接四边形。$ABCD$ 的边长是互不相同的小于 $15$ 的整数，且 $BC \cdot CD = AB \cdot DA$。$BD$ 的最大可能值是多少？

如下图，在以 $\overline{JK}$ 为直径的半圆内部，画出圆心分别在 $A$ 和 $B$、半径分别为 $2$ 和 $1$ 的两个半圆，它们与大半圆共用底边所在的直线。两个小半圆互相外切，并都与最大的半圆内切。以 $P$ 为圆心画一个圆，与两个小半圆外切，并与最大的半圆内切。以 $P$ 为圆心的圆的半径是多少？

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 8$，$BC = 10$，$D$ 是 $\overline{BC}$ 的中点。$\triangle ADB$ 和 $\triangle ADC$ 的内切圆半径之和是多少？

三角形 $ABC$ 是边长为 $6$ 的等边三角形。设 $O$ 是这个三角形内切圆的圆心。经过 $A$、$O$、$C$ 的圆的面积是多少？

三角形 $ABC$ 中 $AB = 27$，$AC = 26$，$BC = 25$。设 $I$ 是 $\triangle ABC$ 三条内角平分线的交点。$BI$ 等于多少？

半径分别为 $1$、$2$、$3$ 的三个圆两两外切。由三个切点确定的三角形面积是多少？

等腰三角形 $ABC$ 中 $AB = AC = 3\sqrt6$，一个半径为 $5\sqrt2$ 的圆在 $B$ 处与直线 $AB$ 相切，在 $C$ 处与直线 $AC$ 相切。经过顶点 $A$、$B$、$C$ 的圆的面积是多少？

一个边长为 $5$、$12$、$13$ 的三角形既有内切圆，也有外接圆。这两个圆的圆心之间的距离是多少？

设 $\triangle PQR$ 是直角三角形，$PQ = 90$，$PR = 120$，$QR = 150$。设 $C_1$ 是它的内切圆。作 $\overline{ST}$，$S$ 在 $\overline{PR}$ 上，$T$ 在 $\overline{QR}$ 上，使 $\overline{ST}$ 垂直于 $\overline{PR}$ 且与 $C_1$ 相切。作 $\overline{UV}$，$U$ 在 $\overline{PQ}$ 上，$V$ 在 $\overline{QR}$ 上，使 $\overline{UV}$ 垂直于 $\overline{PQ}$ 且与 $C_1$ 相切。设 $C_2$ 是 $\triangle RST$ 的内切圆，$C_3$ 是 $\triangle QUV$ 的内切圆。$C_2$ 和 $C_3$ 的圆心之间的距离可以写成 $\sqrt{10n}$。$n$ 等于多少？

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切，并且都与圆 $C_3$ 内切。$C_1$ 和 $C_2$ 的半径分别为 $4$ 和 $10$，三个圆的圆心共线。$C_3$ 的一条弦同时是 $C_1$ 和 $C_2$ 的外公切线。已知这条弦的长是 $\frac{m\sqrt{n}}{p}$，其中 $m$、$n$、$p$ 是正整数，$m$ 与 $p$ 互质，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除，求 $m + n + p$。

直角三角形 $ABC$ 的边长为 $BC = 6$，$AC = 8$，$AB = 10$。一个以 $O$ 为圆心的圆在 $B$ 处与直线 $BC$ 相切，并经过 $A$。一个以 $P$ 为圆心的圆在 $A$ 处与直线 $AC$ 相切，并经过 $B$。$OP$ 等于多少？

点 $A$ 和 $B$ 在以 $O$ 为圆心的圆上，$\angle AOB = 60^\circ$。第二个圆与第一个圆内切，并与 $\overline{OA}$ 和 $\overline{OB}$ 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

长方形 $PQRS$ 在一个平面内，$PQ = RS = 2$，$QR = SP = 6$。先把长方形绕 $R$ 顺时针旋转 $90^\circ$，再绕第一次旋转后点 $S$ 所在的位置顺时针旋转 $90^\circ$。点 $P$ 经过的路径长是多少？

圆心为 $O$ 和 $P$ 的两个圆半径分别为 $2$ 和 $4$，并且外切。以 $O$ 为圆心的圆上有点 $A$ 和 $B$，以 $P$ 为圆心的圆上有点 $C$ 和 $D$，使 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 是两圆的外公切线。凹六边形 $AOBCPD$ 的面积是多少？

在半径为 $2$ 的半圆的直径 $\overline{AB}$ 上作三个半径为 $1$ 的半圆。小半圆的圆心把 $\overline{AB}$ 分成四条等长的线段，如图所示。在大半圆内、小半圆外的阴影部分面积是多少？

在右图中，画了两个半径分别为 $8$ 和 $6$ 的圆，圆心相距 $12$。过其中一个交点 $P$ 作一条直线，使弦 $\overline{QP}$ 和 $\overline{PR}$ 等长。求 $QP$ 长度的平方。

三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$。点 $P$ 和 $Q$ 在边 $\overline{AB}$ 上，$AP < AQ$。射线 $CP$ 和 $CQ$ 分别再次与 $\omega$ 交于 $S$ 和 $T$（不同于 $C$）。如果 $AP = 4$，$PQ = 3$，$QB = 6$，$BT = 5$，$AS = 7$，那么 $ST = \frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

设 $\overline{AB}$ 是一个圆的直径，$C$ 是 $\overline{AB}$ 上一点，满足 $2 \cdot AC = BC$。设 $D$ 和 $E$ 是圆上的点，使 $\overline{DC} \perp \overline{AB}$，且 $\overline{DE}$ 是另一条直径。$\triangle DCE$ 的面积与 $\triangle ABD$ 的面积之比是多少？

圆 $A$、$B$、$C$ 两两外切，并且都与圆 $D$ 内切。圆 $B$ 和 $C$ 全等。圆 $A$ 的半径为 $1$，并经过 $D$ 的圆心。圆 $B$ 的半径是多少？

圆 $A$、$B$、$C$ 的半径都是 $1$。圆 $A$ 和 $B$ 有一个公共切点。圆 $C$ 与 $\overline{AB}$ 的中点相切。在圆 $C$ 内、但在圆 $A$ 和圆 $B$ 外的面积是多少？

在上半平面内按层构造一组都与 $x$ 轴相切的圆，方法如下。第 $L_0$ 层由两个半径分别为 $70^2$ 和 $73^2$ 的外切圆组成。对于 $k \ge 1$，把 $\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j$ 中的圆按它们与 $x$ 轴的切点排序。对于这个顺序中每一对相邻的圆，作一个与这一对中两个圆都外切的新圆。第 $L_k$ 层由这样作出的 $2^{k-1}$ 个圆组成。设 $S = \bigcup_{j=0}^{6} L_j$，对每个圆 $C$，用 $r(C)$ 表示它的半径。

等于多少？