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AMC 10/12
几何 · 第 33 章

四边形

正方形、长方形、菱形、平行四边形和梯形：它们的面积公式、对角线的性质，以及怎样把任意四边形切成好处理的三角形。

这一章讲什么？
你需要先会
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33.10%

正方形

在本节中，你将能够 求正方形的面积，以及斜放在另一个正方形里的正方形的面积。

正方形是最对称的四边形。把一个正方形斜放在另一个正方形里，剩下的四个角是 4 个一模一样的直角三角形。

边长为 ss 的正方形，面积是 s2s^2，周长是 4s4s。对角线为 dd 的正方形，面积是 d22\frac{d^2}{2}。

注意：

当正方形 EFGHEFGH 的四个顶点分别在正方形 ABCDABCD 的四条边上时，它的边是一个角上三角形的斜边，这个三角形的直角边是 AEAE 和 EBEB。所以 [EFGH]=AE2+EB2[EFGH] = AE^2 + EB^2。

动手探索先玩，再学公式

正方形 EFGH 在正方形 ABCD 内，AE = 6，EB = 2：[EFGH]/[ABCD] = 5/8

EB2
ABCD2√102√102√102√10EFGH
正方形
  • 4 条边都相等：是
  • 4 个角都是直角：是
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：是
  • 对角线互相平分：是
[EFGH] : [ABCD] = 40 : 64 = 5/8

AE = 6，EB = 2。正方形 EFGH 的面积是 6² + 2² = 40；ABCD 的面积是 64。比值 5/8。

认识概念

定理 33.1.1 · 正方形的面积

边长为 ss 的正方形，面积是

s2s^2

周长是

4s.4s.

自己做

习题 33.6.3

AMC 10

正方形 EFGHEFGH 的四个顶点分别在正方形 ABCDABCD 的四条边上。点 EE 在 ABAB 上，且 AE=7⋅EBAE = 7 \cdot EB。EFGHEFGH 的面积与 ABCDABCD 的面积之比是多少？

习题 33.6.12（补充题）

AMC 10/12

4 个全等的长方形如图摆放。外面大正方形的面积是里面小正方形面积的 44 倍。每个长方形长边与短边的长度之比是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.2

AMC 10

这个单位正方形内的 5 个阴影小正方形全等，并且内部互不重叠。中间那个正方形每条边的中点，都与另外 4 个小正方形中某一个的顶点重合，如图所示。它们共同的边长是 a−2b\frac{a - \sqrt{2}}{b}，其中 aa 和 bb 是正整数。a+ba + b 是多少？

习题 33.6.6

AMC 12

设 ABCDABCD 是正方形。分别以 AB‾,BC‾,CD‾,\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, 和 DA‾\overline{DA} 为底，在正方形外侧作等边三角形，E,F,GE, F, G 和 HH 依次是这些等边三角形的中心。正方形 EFGHEFGH 的面积与正方形 ABCDABCD 的面积之比是多少？

习题 33.6.13（补充题）

AMC 10

在正方形 ABCDABCD 中，点 EE 和 HH 分别在 AB‾\overline{AB} 和 DA‾\overline{DA} 上，使得 AE=AHAE = AH。点 FF 和 GG 分别在 BC‾\overline{BC} 和 CD‾\overline{CD} 上，点 II 和 JJ 在 EH‾\overline{EH} 上，使得 FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH}，GJ‾⊥EH‾\overline{GJ} \perp \overline{EH}。见下图。三角形 AEHAEH、四边形 BFIEBFIE、四边形 DHJGDHJG 和五边形 FCGJIFCGJI 的面积都是 11。FI2FI^2 是多少？

习题 33.6.14（补充题）

AMC 10

一个底面为正方形的封闭盒子要用一张正方形包装纸包起来。盒子放在包装纸的正中央，底面的顶点都落在这张正方形纸的中线上，如图所示。把包装纸的四个角向上折过盒子的侧面，在盒子顶面的中心（点 AA；从上往下看，如图，AA 就是纸的中心）会合。盒子的底面边长为 ww，高为 hh。这张包装纸的面积是多少？

过关检测（第 33.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个正方形的周长是 3636。它的面积是多少？

2

一个正方形的对角线长 1010。它的面积是多少？

3

正方形 EFGHEFGH 的四个顶点分别在边长为 55 的正方形 ABCDABCD 的四条边上。如果 AE=4AE = 4，EB=1EB = 1，EFGHEFGH 的面积是多少？

33.20%

长方形

在本节中，你将能够 运用长方形的面积和它的对角线：每条对角线都把长方形分成两个直角三角形。

长方形是直角三角形的家：每条对角线都把它切成两个直角三角形。

底为 bb、高为 hh 的长方形，面积是 bhbh，周长是 2b+2h2b + 2h，对角线长 b2+h2\sqrt{b^2 + h^2}。

注意：

平行于边的直线把长方形切成更小的长方形。用两个字母（比如 xx 和 yy）给各段命名，各块的面积就是 x2x^2、xyxy 和 y2y^2。

动手探索先玩，再学公式

长方形：面积 32，周长 24

8484ABCD
长方形
  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：是
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：否
  • 对角线互相平分：是
长方形：面积 32，周长 24

长方形。面积 32，周长 24。4 个角都是直角；两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线相等；对角线互相平分。

认识概念

定理 33.2.1 · 长方形的面积

底为 bb、高为 hh 的长方形，面积是

bhbh

周长是

2b+2h.2b + 2h.

看例题先预测，再揭晓

例 33.1

AIME

设 ABCDABCD 是正方形，点 EE、FF 分别在 AB‾\overline{AB} 和 BC‾\overline{BC} 上。过 EE 且平行于 BC‾\overline{BC} 的直线与过 FF 且平行于 AB‾\overline{AB} 的直线，把 ABCDABCD 分成两个正方形和两个不是正方形的长方形。两个正方形的面积之和是正方形 ABCDABCD 面积的 910\frac{9}{10}。求 AEEB+EBAE\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}。

几何图形 (总数在例题最后一步揭晓)

图形：四边形 ABCD；线段 EQ；线段 RF；AE = x；EB = y。

  1. 1

    设 AE=xAE = x，EB=yEB = y。正方形 ABCDABCD 的边长是多少？

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自己做

习题 33.6.4

AMC 10

这道题在书中还以 32.2.24 的编号出现。

长方形 ABCDABCD 中，AB=3AB = 3，BC=4BC = 4。点 EE 是从 BB 向对角线 AC‾\overline{AC} 所作垂线的垂足。△AED\triangle AED 的面积是多少？

习题 33.6.26（补充题）

AMC 10

一块长方形地板的尺寸是 aa 英尺乘 bb 英尺，其中 aa 和 bb 是正整数，且 b>ab > a。一位艺术家在地板上画了一个长方形，长方形的边与地板的边平行。地板上没有涂色的部分在涂色长方形周围形成一圈宽 11 英尺的边框，并且占整块地板面积的一半。有序数对 (a,b)(a, b) 有多少种可能？

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.21（补充题）

AMC 10

长方形 ABCDABCD 中，DC=2⋅CBDC = 2 \cdot CB，点 EE 和 FF 在 AB‾\overline{AB} 上，使得 ED‾\overline{ED} 和 FD‾\overline{FD} 三等分 ∠ADC\angle ADC，如图所示。△DEF\triangle DEF 的面积与长方形 ABCDABCD 的面积之比是多少？

习题 33.6.23（补充题）

AMC 10

长方形 ABCDABCD 中，AB=6AB = 6，AD=30AD = 30，GG 是 AD‾\overline{AD} 的中点。把线段 ABAB 延长，超过 BB 22 个单位到点 EE，FF 是 ED‾\overline{ED} 与 BC‾\overline{BC} 的交点。四边形 BFDGBFDG 的面积是多少？

习题 33.6.30（补充题）

AMC 12

如图，ABCDABCD 是边长为 11 的正方形。长方形 JKHGJKHG 与 EBCFEBCF 全等。BEBE 是多少？

过关检测（第 33.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个长方形的面积是 4848，一条边长 66。它的周长是多少？

2

一个 5×125 \times 12 的长方形，对角线有多长？

3

一块长方形地板的尺寸是 aa 英尺乘 bb 英尺，其中 aa 和 bb 是正整数，且 b>ab > a。一位艺术家在地板上画了一个长方形，长方形的边与地板的边平行。地板上没有涂色的部分在涂色长方形周围形成一圈宽 11 英尺的边框，并且占整块地板面积的一半。有序数对 (a,b)(a, b) 有多少种可能？

33.30%

菱形

在本节中，你将能够 由菱形的对角线求它的面积和周长。

菱形就是被推歪的正方形：边长不变，对角线变了，但它们始终互相垂直。

菱形的两条对角线把它分成 4 个全等的直角三角形，直角边为 d12\frac{d_1}{2} 和 d22\frac{d_2}{2}。这一幅图就给出了两个公式。

动手探索先玩，再学公式

菱形：面积 24，周长 20

5555d₁ = 8d₂ = 6ABCD
菱形

d₁ = 8，d₂ = 6，两条对角线的夹角 θ = 90°

  • 4 条边都相等：是
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：否
  • 对角线互相垂直：是
  • 对角线互相平分：是
菱形：面积 24，周长 20
12d1d2=12×8×6=24,2d12+d22=264+36=20\tfrac12 d_1 d_2 = \tfrac12 \times 8 \times 6 = 24,\quad 2\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = 2\sqrt{64 + 36} = 20

菱形。面积 24，周长 20。4 条边都相等；两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线互相垂直；对角线互相平分。

认识概念

定理 33.3.1 · 菱形的面积

对角线为 d1d_1 和 d2d_2 的菱形，面积是

12d1d2\frac{1}{2}d_1 d_2

周长是

2d12+d22.2\sqrt{d_1^2 + d_2^2}.

概念 33.3.2 · 菱形

  1. 四条边都相等
  2. 对角相等
  3. 对角线互相垂直平分

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.20（补充题）

AMC 10

长方形 PQRSPQRS 中，PQ=8PQ = 8，QR=6QR = 6。点 AA 和 BB 在 PQ‾\overline{PQ} 上，点 CC 和 DD 在 QR‾\overline{QR} 上，点 EE 和 FF 在 RS‾\overline{RS} 上，点 GG 和 HH 在 SP‾\overline{SP} 上，使得 AP=BQ<4AP = BQ < 4，并且凸八边形 ABCDEFGHABCDEFGH 的各边都相等。这个八边形的边长可以写成 k+mnk + m\sqrt{n} 的形式，其中 kk、mm、nn 是整数，且 nn 不能被任何质数的平方整除。k+m+nk + m + n 是多少？

过关检测（第 33.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个菱形的对角线是 66 和 88。它的面积是多少？

2

一个菱形的对角线是 66 和 88。它的周长是多少？

3

一个菱形的边长是 1010，一条对角线是 1212。另一条对角线有多长？

33.40%

平行四边形

在本节中，你将能够 由底和高，或者由两条对角线及其夹角，求平行四边形的面积。

把平行四边形一端的三角形切下来移到另一端，就得到一个长方形，面积和原来一样。

让上边沿着它所在的直线滑动，高保持不变，所以面积始终是 bhbh。

注意：

平行线到处都能构成平行四边形。平行四边形的对边相等，所以一条边上的长度可以搬到对边上去。

动手探索先玩，再学公式

平行四边形：面积 30，周长 ≈22.77

6√296√29h = 5ABCD
平行四边形
  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：是
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：否
  • 对角线互相垂直：否
  • 对角线互相平分：是
平行四边形：面积 30，周长 ≈22.77
bh=6×5=30,12d1d2sin⁡θ=12×89×41×sin⁡96.65∘=30bh = 6 \times 5 = 30,\quad \tfrac12 d_1 d_2 \sin\theta = \tfrac12 \times \sqrt{89} \times \sqrt{41} \times \sin 96.65^\circ = 30

平行四边形。面积 30，周长 ≈22.77。两组对边分别平行；至少有一组对边平行；对角线互相平分。

认识概念

定理 33.4.1 · 平行四边形的面积

底为 bb、高为 hh 的平行四边形，面积是

bh.bh.

对角线为 d1d_1 和 d2d_2 的平行四边形，面积是

12d1d2sin⁡θ,\frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta,

其中 θ\theta 是两条对角线的夹角（原书称之为平行四边形的“中心角”）。

概念 33.4.2 · 平行四边形的性质

  1. 对角线互相平分
  2. 对边相等
  3. 对角相等
  4. 邻角互补

看例题先预测，再揭晓

例 33.2

AIME

在 △ABC\triangle ABC 中，AB=425AB = 425，BC=450BC = 450，AC=510AC = 510。在三角形内部取一点 PP，过 PP 作平行于三角形三边的线段。如果这三条线段的长度都等于 dd，求 dd。

平行截线 (总数在例题最后一步揭晓)

D′FDE′F′E450510425ABCP
过 P 的三条线段
D′F = ? (例题最后一步揭晓) · DE′ = ? (例题最后一步揭晓) · F′E = ? (例题最后一步揭晓)

过 P 作三边的平行线段，长分别为 ?, ?, ?

  1. 1

    看顶点 CC 处。CC、E′E'、PP、FF 组成什么图形？这说明 CFCF 等于什么？

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习题 33.6.19（补充题）

AMC 10

凸四边形 ABCDABCD 中，AB=9AB = 9，CD=12CD = 12。对角线 ACAC 与 BDBD 交于 EE，AC=14AC = 14，且 △AED\triangle AED 与 △BEC\triangle BEC 的面积相等。AEAE 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.10

AMC 12

设 ABCDABCD 是面积为 1515 的平行四边形。点 PP 和 QQ 分别是 AA 和 CC 在直线 BDBD 上的投影；点 RR 和 SS 分别是 BB 和 DD 在直线 ACAC 上的投影。见图，图中也标出了这些点的相对位置。

已知 PQ=6PQ = 6，RS=8RS = 8，设 dd 表示 BD‾\overline{BD} 的长度，它是 ABCDABCD 较长的那条对角线。d2d^2 可以写成 m+npm + n\sqrt{p} 的形式，其中 mm、nn、pp 是正整数，且 pp 不能被任何质数的平方整除。m+n+pm + n + p 是多少？

习题 33.6.25（补充题）

AIME

在下图中，ABCDABCD 是长方形，边长 AB=3AB = 3，BC=11BC = 11；AECFAECF 也是长方形，边长 AF=7AF = 7，FC=9FC = 9，如图所示。两个长方形内部公共的阴影部分面积是 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

过关检测（第 33.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个平行四边形有一条边长 99，这条边与对边之间的距离是 44。它的面积是多少？

2

一个平行四边形的对角线是 1010 和 66，夹角为 30∘30^\circ。它的面积是多少？

3

在平行四边形 ABCDABCD 中，∠A=70∘\angle A = 70^\circ。∠B\angle B 是多少度？

33.50%

梯形

在本节中，你将能够 求梯形的面积，并利用它的对角线分出的三角形。

两底取平均，再乘以高。为什么？两个同样的梯形能拼成一个平行四边形。

两底为 b1b_1、b2b_2，高为 hh 的梯形，面积是 b1+b22⋅h\frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h。

注意：

画出两条对角线。两腰上的两个三角形面积总是相等，两底上的两个三角形相似，相似比为 b1:b2b_1 : b_2。

动手探索先玩，再学公式

梯形：面积 16，周长 ≈16.25

5√173√17h = 4ABCD
梯形

两个梯形拼成一个平行四边形：底 b₁ + b₂ = 8，高 4，面积 32。一个梯形是它的一半。

  • 4 条边都相等：否
  • 4 个角都是直角：否
  • 两组对边分别平行：否
  • 至少有一组对边平行：是
  • 对角线相等：是
  • 对角线互相垂直：是
  • 对角线互相平分：否
梯形：面积 16，周长 ≈16.25

梯形。面积 16，周长 ≈16.25。至少有一组对边平行；对角线相等；对角线互相垂直。

认识概念

定理 33.5.1 · 梯形的面积

两底为 b1b_1 和 b2b_2、高为 hh 的梯形，面积是

b1+b22⋅h.\frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h.

四边形 ABCD：13.33 + 6.67 + 3.33 + 6.67 = 30

K13.336.673.336.67ABCD
13.33 + 6.67 + 3.33 + 6.67 = 30

ABCD 被分成 4 块：13.33 + 6.67 + 3.33 + 6.67 = 30。

看例题先预测，再揭晓

例 33.3

AMC 12

设 ABCDABCD 是等腰梯形，BC‾∥AD‾\overline{BC} \parallel \overline{AD}，AB=CDAB = CD。点 XX、YY 在对角线 AC‾\overline{AC} 上，XX 在 AA 与 YY 之间，如图所示。已知 ∠AXD=∠BYC=90∘\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ，AX=3AX = 3，XY=1XY = 1，YC=2YC = 2。ABCDABCD 的面积是多少？

分成三角形 (总数在例题最后一步揭晓)

312ABCDXY
四边形 ABCD

ABCD。

  1. 1

    对角线 ACAC 有多长？

    先预测一下：
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自己做

习题 33.6.24（补充题）

AMC 10

梯形 ABCDABCD 的两底为 AB‾\overline{AB} 和 CD‾\overline{CD}，对角线交于 KK。已知 AB=9AB = 9，DC=12DC = 12，△AKD\triangle AKD 的面积是 2424。梯形 ABCDABCD 的面积是多少？

四边形 ABCD，被分成 4 块

K24912ABCD
4 块：△ABK、△BCK、△CDK、△DAK

ABCD 被分成 4 块。

习题 33.6.27（补充题）

AMC 10

梯形 ABCDABCD 中，AB‾\overline{AB} 平行于 DC‾\overline{DC}，EE 是 BC‾\overline{BC} 的中点，FF 是 DA‾\overline{DA} 的中点。ABEFABEF 的面积是 FECDFECD 面积的 2 倍。AB/DCAB/DC 是多少？

习题 33.6.17（补充题）

AMC 10

考虑如图所示的十二边形 ABCDEFGHIJKLABCDEFGHIJKL。它的每条边长都是 44，每两条相邻的边都成直角。设 AG‾\overline{AG} 与 CH‾\overline{CH} 交于 MM。四边形 ABCMABCM 的面积是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.8

AMC 12

一个等腰梯形的两腰长都是 11，一条底是另一条底的 2 倍。它的面积最大是多少？

习题 33.6.9

AMC 12

设 ABCDABCD 是等腰梯形，平行的两底为 AB‾\overline{AB} 和 CD‾\overline{CD}，且 AB>CDAB > CD。从 ABCDABCD 内一点向四个顶点连线段，把梯形分成 4 个三角形，从以 CD‾\overline{CD} 为底的三角形开始按顺时针方向，它们的面积依次是 2,3,4,2, 3, 4, 和 55，如下图所示。比值 ABCD\frac{AB}{CD} 是多少？

各部分：PAB 4, PBC 3, PCD 2, PDA 5；整个图形 14

4325ABCDP
整体 = 14

各部分：PAB 4, PBC 3, PCD 2, PDA 5；整个图形 14

习题 33.6.11

AMC 10/12

等腰梯形 ABCDABCD 的两条平行边是 AD‾\overline{AD} 和 BC‾\overline{BC}，BC<ADBC < AD，AB=CDAB = CD。平面上有一点 PP，满足 PA=1PA = 1，PB=2PB = 2，PC=3PC = 3，PD=4PD = 4。BCAD\frac{BC}{AD} 是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 33.6.22（补充题）

AMC 10

梯形 ABCDABCD 的两条平行边 AB‾\overline{AB} 和 CD‾\overline{CD} 的长分别是 3333 和 2121。另外两条边的长是 1010 和 1414。角 AA 和角 BB 都是锐角。ABCDABCD 较短的那条对角线有多长？

习题 33.6.7

AMC 10/12

这道题在书中还以 32.2.3 的编号出现。

梯形 ABCDABCD 中，AB‾∥CD‾\overline{AB} \parallel \overline{CD}，BC=CD=43BC = CD = 43，AD‾⊥BD‾\overline{AD} \perp \overline{BD}。设 OO 是对角线 AC‾\overline{AC} 与 BD‾\overline{BD} 的交点，PP 是 BD‾\overline{BD} 的中点。已知 OP=11OP = 11，长度 ADAD 可以写成 mnm\sqrt{n} 的形式，其中 mm 和 nn 是正整数，且 nn 不能被任何质数的平方整除。m+nm + n 是多少？

过关检测（第 33.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个梯形的两底是 77 和 1313，高是 44。它的面积是多少？

2

一个梯形的面积是 6060，高是 55，一条底是 99。另一条底有多长？

3

考虑如图所示的十二边形 ABCDEFGHIJKLABCDEFGHIJKL。它的每条边长都是 44，每两条相邻的边都成直角。设 AG‾\overline{AG} 与 CH‾\overline{CH} 交于 MM。四边形 ABCMABCM 的面积是多少？

33.6

练习题

在本节中，你将能够 综合运用所有四边形工具：分成三角形、折叠、建立坐标。

这次不提示是哪种图形。问问自己：用哪个三角形？哪组平行线？怎么折？

这里很多题用坐标会更快。把直角放在原点，让代数替你干活。

竞赛角真实竞赛题

习题 33.6.1

AMC 12

凸四边形 ABCDABCD 中，AB=3AB = 3，BC=4BC = 4，CD=13CD = 13，AD=12AD = 12，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ，如图所示。这个四边形的面积是多少？

习题 33.6.5

AMC 10

一张正方形纸片的边长为 11，顶点依次为 A,B,C,A, B, C, 和 DD。如图所示，把纸片折起来，使顶点 CC 落在边 AD‾\overline{AD} 上的点 C′C' 处，此时边 BC‾\overline{BC} 与边 AB‾\overline{AB} 交于点 EE。已知 C′D=13C'D = \frac{1}{3}。△AEC′\triangle AEC' 的周长是多少？

把 C 折到 C′：折痕 GQ 是 CC′ 的垂直平分线

GQEABCDB′C′
折痕 GQ ⊥ CC′

把 C 折到 C′：折痕 GQ 是 CC′ 的垂直平分线

习题 33.6.15（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 32.2.24 的编号出现。

长方形 ABCDABCD 中，AB=3AB = 3，BC=4BC = 4。点 EE 是从 BB 向对角线 AC‾\overline{AC} 所作垂线的垂足。△AED\triangle AED 的面积是多少？

习题 33.6.16（补充题）

AMC 12

四边形 ABCDABCD 的四个内角成等差数列。三角形 ABDABD 与三角形 DCBDCB 相似，且 ∠DBA=∠DCB\angle DBA = \angle DCB，∠ADB=∠CBD\angle ADB = \angle CBD。此外，这两个三角形各自的三个角也都成等差数列。ABCDABCD 中最大的两个角之和最大可能是多少度？

习题 33.6.18（补充题）

AIME

这道题在书中还以 33.1 的编号出现。

设 ABCDABCD 是正方形，点 EE、FF 分别在 AB‾\overline{AB} 和 BC‾\overline{BC} 上。过 EE 且平行于 BC‾\overline{BC} 的直线与过 FF 且平行于 AB‾\overline{AB} 的直线，把 ABCDABCD 分成两个正方形和两个不是正方形的长方形。两个正方形的面积之和是正方形 ABCDABCD 面积的 910\frac{9}{10}。求 AEEB+EBAE\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}。

习题 33.6.28（补充题）

AIME

ABCDABCD 是一张长方形纸片，把它折起来，使顶点 BB 与边 ADAD 上的点 B′B' 重合。折痕是 EFEF，EE 在 ABAB 上，FF 在 CDCD 上。已知 AE=8AE = 8，BE=17BE = 17，CF=3CF = 3。长方形 ABCDABCD 的周长是 m/nm/n，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

把 B 折到 B′：折痕 EF 是 BB′ 的垂直平分线

EFABCDC′B′
折痕 EF ⊥ BB′

把 B 折到 B′：折痕 EF 是 BB′ 的垂直平分线

习题 33.6.29（补充题）

AIME

凸四边形 KLMNKLMN 中，边 MN‾\overline{MN} 垂直于对角线 KM‾\overline{KM}，边 KL‾\overline{KL} 垂直于对角线 LN‾\overline{LN}，MN=65MN = 65，KL=28KL = 28。过 LL 且垂直于边 KN‾\overline{KN} 的直线与对角线 KM‾\overline{KM} 交于 OO，KO=8KO = 8。求 MOMO。