四边形：全部习题

凸四边形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$CD = 13$，$AD = 12$，$\angle ABC = 90^\circ$，如图所示。这个四边形的面积是多少？

这个单位正方形内的 5 个阴影小正方形全等，并且内部互不重叠。中间那个正方形每条边的中点，都与另外 4 个小正方形中某一个的顶点重合，如图所示。它们共同的边长是 $\frac{a - \sqrt{2}}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数。$a + b$ 是多少？

正方形 $EFGH$ 的四个顶点分别在正方形 $ABCD$ 的四条边上。点 $E$ 在 $AB$ 上，且 $AE = 7 \cdot EB$。$EFGH$ 的面积与 $ABCD$ 的面积之比是多少？

长方形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$。点 $E$ 是从 $B$ 向对角线 $\overline{AC}$ 所作垂线的垂足。$\triangle AED$ 的面积是多少？

一张正方形纸片的边长为 $1$，顶点依次为 $A, B, C,$ 和 $D$。如图所示，把纸片折起来，使顶点 $C$ 落在边 $\overline{AD}$ 上的点 $C'$ 处，此时边 $\overline{BC}$ 与边 $\overline{AB}$ 交于点 $E$。已知 $C'D = \frac{1}{3}$。$\triangle AEC'$ 的周长是多少？

设 $ABCD$ 是正方形。分别以 $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD},$ 和 $\overline{DA}$ 为底，在正方形外侧作等边三角形，$E, F, G$ 和 $H$ 依次是这些等边三角形的中心。正方形 $EFGH$ 的面积与正方形 $ABCD$ 的面积之比是多少？

梯形 $ABCD$ 中，$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$，$BC = CD = 43$，$\overline{AD} \perp \overline{BD}$。设 $O$ 是对角线 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点，$P$ 是 $\overline{BD}$ 的中点。已知 $OP = 11$，长度 $AD$ 可以写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。$m + n$ 是多少？

一个等腰梯形的两腰长都是 $1$，一条底是另一条底的 2 倍。它的面积最大是多少？

设 $ABCD$ 是等腰梯形，平行的两底为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$，且 $AB > CD$。从 $ABCD$ 内一点向四个顶点连线段，把梯形分成 4 个三角形，从以 $\overline{CD}$ 为底的三角形开始按顺时针方向，它们的面积依次是 $2, 3, 4,$ 和 $5$，如下图所示。比值 $\frac{AB}{CD}$ 是多少？

设 $ABCD$ 是面积为 $15$ 的平行四边形。点 $P$ 和 $Q$ 分别是 $A$ 和 $C$ 在直线 $BD$ 上的投影；点 $R$ 和 $S$ 分别是 $B$ 和 $D$ 在直线 $AC$ 上的投影。见图，图中也标出了这些点的相对位置。

已知 $PQ = 6$，$RS = 8$，设 $d$ 表示 $\overline{BD}$ 的长度，它是 $ABCD$ 较长的那条对角线。$d^2$ 可以写成 $m + n\sqrt{p}$ 的形式，其中 $m$、$n$、$p$ 是正整数，且 $p$ 不能被任何质数的平方整除。$m + n + p$ 是多少？

等腰梯形 $ABCD$ 的两条平行边是 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$，$BC < AD$，$AB = CD$。平面上有一点 $P$，满足 $PA = 1$，$PB = 2$，$PC = 3$，$PD = 4$。$\frac{BC}{AD}$ 是多少？

4 个全等的长方形如图摆放。外面大正方形的面积是里面小正方形面积的 $4$ 倍。每个长方形长边与短边的长度之比是多少？

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 和 $H$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{DA}$ 上，使得 $AE = AH$。点 $F$ 和 $G$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，点 $I$ 和 $J$ 在 $\overline{EH}$ 上，使得 $\overline{FI} \perp \overline{EH}$，$\overline{GJ} \perp \overline{EH}$。见下图。三角形 $AEH$、四边形 $BFIE$、四边形 $DHJG$ 和五边形 $FCGJI$ 的面积都是 $1$。$FI^2$ 是多少？

一个底面为正方形的封闭盒子要用一张正方形包装纸包起来。盒子放在包装纸的正中央，底面的顶点都落在这张正方形纸的中线上，如图所示。把包装纸的四个角向上折过盒子的侧面，在盒子顶面的中心（点 $A$；从上往下看，如图，$A$ 就是纸的中心）会合。盒子的底面边长为 $w$，高为 $h$。这张包装纸的面积是多少？

长方形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$。点 $E$ 是从 $B$ 向对角线 $\overline{AC}$ 所作垂线的垂足。$\triangle AED$ 的面积是多少？

四边形 $ABCD$ 的四个内角成等差数列。三角形 $ABD$ 与三角形 $DCB$ 相似，且 $\angle DBA = \angle DCB$，$\angle ADB = \angle CBD$。此外，这两个三角形各自的三个角也都成等差数列。$ABCD$ 中最大的两个角之和最大可能是多少度？

考虑如图所示的十二边形 $ABCDEFGHIJKL$。它的每条边长都是 $4$，每两条相邻的边都成直角。设 $\overline{AG}$ 与 $\overline{CH}$ 交于 $M$。四边形 $ABCM$ 的面积是多少？

设 $ABCD$ 是正方形，点 $E$、$F$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上。过 $E$ 且平行于 $\overline{BC}$ 的直线与过 $F$ 且平行于 $\overline{AB}$ 的直线，把 $ABCD$ 分成两个正方形和两个不是正方形的长方形。两个正方形的面积之和是正方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{9}{10}$。求 $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}$。

凸四边形 $ABCD$ 中，$AB = 9$，$CD = 12$。对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $E$，$AC = 14$，且 $\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 的面积相等。$AE$ 是多少？

长方形 $PQRS$ 中，$PQ = 8$，$QR = 6$。点 $A$ 和 $B$ 在 $\overline{PQ}$ 上，点 $C$ 和 $D$ 在 $\overline{QR}$ 上，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{RS}$ 上，点 $G$ 和 $H$ 在 $\overline{SP}$ 上，使得 $AP = BQ < 4$，并且凸八边形 $ABCDEFGH$ 的各边都相等。这个八边形的边长可以写成 $k + m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $k$、$m$、$n$ 是整数，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。$k + m + n$ 是多少？

长方形 $ABCD$ 中，$DC = 2 \cdot CB$，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{ED}$ 和 $\overline{FD}$ 三等分 $\angle ADC$，如图所示。$\triangle DEF$ 的面积与长方形 $ABCD$ 的面积之比是多少？

梯形 $ABCD$ 的两条平行边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 的长分别是 $33$ 和 $21$。另外两条边的长是 $10$ 和 $14$。角 $A$ 和角 $B$ 都是锐角。$ABCD$ 较短的那条对角线有多长？

长方形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 30$，$G$ 是 $\overline{AD}$ 的中点。把线段 $AB$ 延长，超过 $B$ $2$ 个单位到点 $E$，$F$ 是 $\overline{ED}$ 与 $\overline{BC}$ 的交点。四边形 $BFDG$ 的面积是多少？

梯形 $ABCD$ 的两底为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$，对角线交于 $K$。已知 $AB = 9$，$DC = 12$，$\triangle AKD$ 的面积是 $24$。梯形 $ABCD$ 的面积是多少？

在下图中，$ABCD$ 是长方形，边长 $AB = 3$，$BC = 11$；$AECF$ 也是长方形，边长 $AF = 7$，$FC = 9$，如图所示。两个长方形内部公共的阴影部分面积是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

一块长方形地板的尺寸是 $a$ 英尺乘 $b$ 英尺，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，且 $b > a$。一位艺术家在地板上画了一个长方形，长方形的边与地板的边平行。地板上没有涂色的部分在涂色长方形周围形成一圈宽 $1$ 英尺的边框，并且占整块地板面积的一半。有序数对 $(a, b)$ 有多少种可能？

梯形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}$ 平行于 $\overline{DC}$，$E$ 是 $\overline{BC}$ 的中点，$F$ 是 $\overline{DA}$ 的中点。$ABEF$ 的面积是 $FECD$ 面积的 2 倍。$AB/DC$ 是多少？

$ABCD$ 是一张长方形纸片，把它折起来，使顶点 $B$ 与边 $AD$ 上的点 $B'$ 重合。折痕是 $EF$，$E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $CD$ 上。已知 $AE = 8$，$BE = 17$，$CF = 3$。长方形 $ABCD$ 的周长是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

凸四边形 $KLMN$ 中，边 $\overline{MN}$ 垂直于对角线 $\overline{KM}$，边 $\overline{KL}$ 垂直于对角线 $\overline{LN}$，$MN = 65$，$KL = 28$。过 $L$ 且垂直于边 $\overline{KN}$ 的直线与对角线 $\overline{KM}$ 交于 $O$，$KO = 8$。求 $MO$。

如图，$ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形。长方形 $JKHG$ 与 $EBCF$ 全等。$BE$ 是多少？