几何 · 第 32 章

相似三角形

形状相同，大小不同：找到两组相等的角，所有长度都乘以 k，所有面积都乘以 k²。另外还有直角三角形斜边上的高的性质和角平分线定理。

这一章讲什么？

32.0 相似三角形
32.1 角平分线定理
32.2 练习题

你需要先会

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32.00%

相似三角形

在本节中，你将能够 认出相似三角形，用 k 缩放长度、用 k² 缩放面积，并利用直角三角形斜边上的高。

形状相同，大小不同：每条长度都乘以 $k$ ，每块面积都乘以 $k^2$ 。只要找到两组相等的角，这两条就都有了。

如果一个三角形是另一个三角形按比例缩放得到的，这两个三角形就相似。你很少需要量出全部三个角。找平行线（它们造出相等的角）和公共角或对顶角：两组角相等就够了。

找到之后，按对应的顺序写出比：每次都把同一个角所对的边放在分子上。

直角三角形里同时藏着三个相似的三角形。作斜边上的高，定理 32.0.3 中的每个乘积都能从一个比例式中得出。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把“相似比 k”设为 3，打开“用小三角形铺满”。几个小三角形能铺满大三角形？为什么正好是 3²？
试一试： 换一种形状，保持 k = 3。面积比变了吗，还是只取决于 k？
试一试： 设 k = 1/2。边长减半了。面积会怎样？

认识概念

定理 32.0.1 · 相似三角形

对于相似三角形：

两个三角形的各个角都相同。
所有对应边的比都相同。
面积之比是边长之比的平方。

概念 32.0.2 · 相似判定

如果两个三角形的三个角都相同，它们就相似。换句话说，一个三角形是另一个三角形按某个相似比缩放得到的。一般地，满足下列条件之一的两个三角形相似：

AA 相似（角角）：两个三角形有两组角分别相等（于是第三组角也相等）。
SAS 相似（边角边）：两组边成比例，且它们的夹角相等。
SSS 相似（边边边）：三组边都成比例。
HL 相似（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边成比例。
LL 相似（直角边、直角边）：在直角三角形中，两组直角边成比例。

注意： SSA（边边角）不能说明两个三角形相似。

认出相似三角形的一个简单办法：两个三角形的底边平行，而且它们的边落在同样的直线上（沙漏模型，或者一个三角形套在另一个三角形里面）。

定理 32.0.3 · 直角三角形的特殊性质

在直角三角形 $ABC$ 中， $B$ 是直角， $BD$ 是斜边上的高，那么下面这几个三角形相似：

\triangle ABC \sim \triangle ADB \sim \triangle BDC.

斜边上的高的长度是

BD = \frac{AB \cdot BC}{AC}.

还有：

AD \cdot CD = BD^2, \qquad AD \cdot AC = AB^2, \qquad CD \cdot CA = CB^2.

看例题先预测，再揭晓

例 32.1

AIME

在 $\triangle ABC$ 内部取一点 $P$ ，过 $P$ 作 $\triangle ABC$ 各边的平行线，得到图中的三个小三角形 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_3$ ，它们的面积分别是 $4$ 、 $9$ 、 $49$ 。求 $\triangle ABC$ 的面积。

1
每个小三角形的三条边都与 $\triangle ABC$ 的边平行。它和 $\triangle ABC$ 有什么关系？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 32.2

AMC 10

在正方形 $ABCD$ 中，点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{AD}$ 和 $\overline{AB}$ 上。线段 $\overline{BP}$ 和 $\overline{CQ}$ 垂直相交于 $R$ ，且 $BR = 6$ ， $PR = 7$ 。这个正方形的面积是多少？

1
$BP$ 是多少？

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例 32.3

AMC 10/12

四边形 $ABCD$ 满足 $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ$ ， $AC = 20$ ， $CD = 30$ 。对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 交于点 $E$ ，且 $AE = 5$ 。四边形 $ABCD$ 的面积是多少？

1
先算容易的那一半。 $[ACD]$ 是多少？

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自己做

习题 32.2.1

AMC 10

如图，一张边长分别为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 英寸的三角形纸片，折叠后点 $A$ 落在点 $B$ 上。折痕的长度是多少英寸？

习题 32.2.27（补充题）

AMC 10

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 8$ ， $BC = 6$ 。点 $M$ 是对角线 $\overline{AC}$ 的中点， $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{ME} \perp \overline{AC}$ 。 $\triangle AME$ 的面积是多少？

习题 32.2.29（补充题）

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 3$ 。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，使得 $DF = 1$ ， $GC = 2$ 。直线 $AF$ 和 $BG$ 交于 $E$ 。求 $\triangle AEB$ 的面积。

竞赛角真实竞赛题

习题 32.2.2

AMC 10

图中有三个单位正方形，以及连接两对顶点的两条线段。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

习题 32.2.4

AMC 10

直角三角形 $ABC$ 的两条直角边长为 $AB = 20$ ， $BC = 21$ 。包括 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 在内，从顶点 $B$ 到斜边 $\overline{AC}$ 上一点，能画出多少条长度为整数的线段？

习题 32.2.6

AMC 10

在 $\triangle ABC$ 中， $C$ 是直角，点 $D$ 在 $\overline{AB}$ 内部，点 $E$ 在 $\overline{BC}$ 内部，使得 $AC = CD$ ， $DE = EB$ ，且 $AC : DE = 4 : 3$ 。比值 $AD : DB$ 是多少？

习题 32.2.8

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 3$ 。点 $E$ 在 $B$ 与 $C$ 之间，点 $F$ 在 $E$ 与 $C$ 之间，使得 $BE = EF = FC$ 。线段 $\overline{AE}$ 和 $\overline{AF}$ 分别与 $\overline{BD}$ 交于 $P$ 和 $Q$ 。比 $BP : PQ : QD$ 可以写成 $r : s : t$ ，其中 $r$ 、 $s$ 、 $t$ 的最大公因数是 $1$ 。 $r + s + t$ 是多少？

习题 32.2.12

AMC 10/12

下图中有一个边长为 $4$ 和 $8$ 的长方形，以及一个边长为 $5$ 的正方形。如图，正方形的三个顶点分别在长方形的三条不同的边上。同时在正方形内和长方形内的区域面积是多少？

习题 32.2.13

AMC 10B

设 $ABCD$ 是菱形， $\angle ADC = 46^\circ$ 。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 的中点， $F$ 是 $\overline{BE}$ 上使得 $\overline{AF}$ 垂直于 $\overline{BE}$ 的点。 $\angle BFC$ 是多少度？

习题 32.2.24（补充题）

AMC 10

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 3$ ， $BC = 4$ 。点 $E$ 是从 $B$ 向对角线 $\overline{AC}$ 所作垂线的垂足。 $\triangle AED$ 的面积是多少？

过关检测（第 32.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

32.10%

角平分线定理

在本节中，你将能够 用角平分线定理，把对边分成与两条邻边成比例的两段。

角平分线把对边分成两段，两段之比等于它旁边两条边之比。较长的边分到较长的那一段。

证明靠的是面积。三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 从 $A$ 出发的高相同，而 $D$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等。用两种方法比较这两块面积，比例就出来了。

两条角平分线交于内心。把定理用两次，就知道内心分每条角平分线所成的比是（该顶点处两条边之和）:（对边）。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动 A，直到 AB 大约是 AC 的两倍。现在 BD : DC 是多少？
试一试： 让 AB = AC。D 落在哪里？为什么？
试一试： 再打开“也画 B 的角平分线”。两条角平分线交于 F。把 AF : FD 和 (AB + AC) : BC 比较一下。

认识概念

定理 32.1.1 · 角平分线定理

如果直线 $AD$ 平分三角形 $ABC$ 的角 $A$ （ $D$ 在 $BC$ 上），那么

\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}.

等价地， $BD : DC = AB : AC$ ：较长的边分到较长的那一段。

看例题先预测，再揭晓

例 32.4

AMC 12

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 7$ ， $CA = 8$ 。点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上， $\overline{AD}$ 平分 $\angle BAC$ 。点 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上， $\overline{BE}$ 平分 $\angle ABC$ 。两条角平分线交于 $F$ 。比值 $AF : FD$ 是多少？

1
对 $AD$ 用角平分线定理： $BD : DC = AB : AC = 6 : 8$ ，且 $BD + DC = 7$ 。 $BD$ 是多少？

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例 32.5

AIME

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 20$ ， $AC = 11$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $D$ ，点 $M$ 是 $AD$ 的中点。设 $P$ 是 $AC$ 与 $BM$ 的交点。 $CP$ 与 $PA$ 之比可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

1
先用角平分线定理。 $BD : DC$ 是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 32.2.7

AMC 10

三角形 $ABC$ 中 $AB = 50$ ， $AC = 10$ ，面积为 $120$ 。设 $D$ 是 $\overline{AB}$ 的中点， $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中点。 $\angle BAC$ 的角平分线分别与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 交于 $F$ 和 $G$ 。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

习题 32.2.11

AMC 10A

设 $\triangle ABC$ 是不等边三角形。点 $P$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\overline{AP}$ 平分 $\angle BAC$ 。过 $B$ 且垂直于 $\overline{AP}$ 的直线，与过 $A$ 且平行于 $\overline{BC}$ 的直线交于点 $D$ 。已知 $BP = 2$ ， $PC = 3$ 。 $AD$ 是多少？

习题 32.2.20（补充题）

AIME

梯形 $ABCD$ 的边长为 $AB = 92$ ， $BC = 50$ ， $CD = 19$ ， $AD = 70$ ，且 $AB$ 平行于 $CD$ 。以 $AB$ 上的点 $P$ 为圆心画一个圆，与 $BC$ 和 $AD$ 都相切。已知 $AP = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

习题 32.2.32（补充题）

AMC 12挑战

设 $ABC$ 是一个三角形， $M$ 是 $\overline{AC}$ 的中点， $\overline{CN}$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线， $N$ 在 $\overline{AB}$ 上。设 $X$ 是中线 $\overline{BM}$ 与角平分线 $\overline{CN}$ 的交点。此外， $\triangle BXN$ 是等边三角形，且 $AC = 2$ 。 $BX^2$ 是多少？

过关检测（第 32.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

32.2

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用相似三角形、直角三角形斜边上的高和角平分线定理。

该把几招混起来用了。每道题都先找出那对相似三角形，之后的代数运算很短。卡住了的话，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 32.2.3

AMC 10/12

梯形 $ABCD$ 中 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ ， $BC = CD = 43$ ，且 $\overline{AD} \perp \overline{BD}$ 。设 $O$ 是对角线 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点， $P$ 是 $\overline{BD}$ 的中点。已知 $OP = 11$ ，长度 $AD$ 可以写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。 $m + n$ 是多少？

习题 32.2.5

AMC 10

在四边形 $ABCD$ 中， $\angle BAD \cong \angle ADC$ ， $\angle ABD \cong \angle BCD$ ， $AB = 8$ ， $BD = 10$ ， $BC = 6$ 。长度 $CD$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 32.2.9

AMC 12

三角形 $ABC$ 中 $AB = 13$ ， $BC = 14$ ， $AC = 15$ 。设 $P$ 是 $\overline{AC}$ 上满足 $PC = 10$ 的点。直线 $BP$ 上恰有两个点 $D$ 和 $E$ ，使得四边形 $ABCD$ 和 $ABCE$ 都是梯形。距离 $DE$ 是多少？

习题 32.2.10

AMC 10

这道题在书中还以 32.2.7 的编号出现。

习题 32.2.14（补充题）

AMC 10

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 6$ ， $BC = 3$ 。在边 $\overline{AB}$ 上取点 $M$ ，使得 $\angle AMD = \angle CMD$ 。 $\angle AMD$ 是多少度？

习题 32.2.15（补充题）

AIME

如图，在一组等距的平行线上画了一个角。阴影区域 $C$ 的面积与阴影区域 $B$ 的面积之比是 $11/5$ 。求阴影区域 $D$ 与阴影区域 $A$ 的面积之比。

习题 32.2.16（补充题）

AIME

设 $P$ 是三角形 $ABC$ 的内部一点，从各顶点经过 $P$ 作直线延长到对边。设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 表示图中所示线段的长度。若 $a + b + c = 43$ ， $d = 3$ ，求乘积 $abc$ 。

习题 32.2.17（补充题）

AMC 12

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ ， $BC = 14$ ， $CA = 15$ 。互不相同的点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CA}$ 、 $\overline{DE}$ 上，使得 $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ ， $\overline{DE} \perp \overline{AC}$ ， $\overline{AF} \perp \overline{BF}$ 。线段 $\overline{DF}$ 的长度可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

习题 32.2.18（补充题）

AMC 10B

一个 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形斜边上的高，被这个三角形最短边上的中线分成长度为 $x < y$ 的两段。比值 $\frac{x}{x + y}$ 是多少？

习题 32.2.19（补充题）

AMC 10

一个边长为 $x$ 的正方形内接于一个边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个边长为 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的直角三角形，正方形的一条边落在三角形的斜边上。 $\frac{x}{y}$ 是多少？

习题 32.2.21（补充题）

AIME

在梯形 $ABCD$ 中，腰 $\overline{BC}$ 垂直于底 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 互相垂直。已知 $AB = \sqrt{11}$ ， $AD = \sqrt{1001}$ ，求 $BC^2$ 。

习题 32.2.22（补充题）

AIME

菱形 $PQRS$ 内接于长方形 $ABCD$ ，顶点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 分别是边 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{DA}$ 的内点。已知 $PB = 15$ ， $BQ = 20$ ， $PR = 30$ ， $QS = 40$ 。设最简分数 $\frac{m}{n}$ 表示 $ABCD$ 的周长。求 $m + n$ 。

习题 32.2.23（补充题）

AMC 10

在直角三角形 $\triangle ACE$ 中， $AC = 12$ ， $CE = 16$ ， $EA = 20$ 。点 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 分别在 $\overline{AC}$ 、 $\overline{CE}$ 、 $\overline{EA}$ 上，使得 $AB = 3$ ， $CD = 4$ ， $EF = 5$ 。 $\triangle DBF$ 的面积与 $\triangle ACE$ 的面积之比是多少？

习题 32.2.25（补充题）

AMC 10A

一个直径为 $20$ 米的筒仓（直圆柱）立在田野中。MacDonald 位于筒仓中心以西 $20$ 米、以南 $15$ 米处。McGregor 位于筒仓中心以东 $20$ 米、以南 $g > 0$ 米处。MacDonald 和 McGregor 之间的视线与筒仓相切。 $g$ 的值可以写成 $\frac{a\sqrt{b} - c}{d}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是正整数， $b$ 不能被任何质数的平方整除，且 $d$ 与 $\gcd(a, c)$ 互质。 $a + b + c + d$ 是多少？

习题 32.2.26（补充题）

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 1$ ， $BC = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{AD}$ 的中点。点 $H$ 是 $\overline{GE}$ 的中点。阴影部分的面积是多少？

习题 32.2.28（补充题）

AMC 10

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 4$ ， $BC = 3$ 。过 $B$ 作线段 $\overline{EF}$ ，使 $\overline{EF}$ 垂直于 $\overline{DB}$ ，且 $A$ 和 $C$ 分别在 $\overline{DE}$ 和 $\overline{DF}$ 上。 $EF$ 是多少？

习题 32.2.30（补充题）

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 9$ ， $H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$ ， $E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$ ，直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$ ， $F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$ 。求长度 $GF$ 。

习题 32.2.31（补充题）

AIME挑战

正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$ 。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，使得 $\triangle AEF$ 是等边三角形。一个以 $B$ 为顶点的正方形，各边与 $ABCD$ 的边平行，并且有一个顶点在 $\overline{AE}$ 上。这个较小正方形的边长是 $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且 $b$ 不能被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ 。