相似三角形：全部习题

如图，一张边长分别为 $3$、$4$、$5$ 英寸的三角形纸片，折叠后点 $A$ 落在点 $B$ 上。折痕的长度是多少英寸？

图中有三个单位正方形，以及连接两对顶点的两条线段。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

梯形 $ABCD$ 中 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$，$BC = CD = 43$，且 $\overline{AD} \perp \overline{BD}$。设 $O$ 是对角线 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点，$P$ 是 $\overline{BD}$ 的中点。已知 $OP = 11$，长度 $AD$ 可以写成 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何质数的平方整除。$m + n$ 是多少？

直角三角形 $ABC$ 的两条直角边长为 $AB = 20$，$BC = 21$。包括 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 在内，从顶点 $B$ 到斜边 $\overline{AC}$ 上一点，能画出多少条长度为整数的线段？

在四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD \cong \angle ADC$，$\angle ABD \cong \angle BCD$，$AB = 8$，$BD = 10$，$BC = 6$。长度 $CD$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

在 $\triangle ABC$ 中，$C$ 是直角，点 $D$ 在 $\overline{AB}$ 内部，点 $E$ 在 $\overline{BC}$ 内部，使得 $AC = CD$，$DE = EB$，且 $AC : DE = 4 : 3$。比值 $AD : DB$ 是多少？

三角形 $ABC$ 中 $AB = 50$，$AC = 10$，面积为 $120$。设 $D$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，$E$ 是 $\overline{AC}$ 的中点。$\angle BAC$ 的角平分线分别与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 交于 $F$ 和 $G$。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 3$。点 $E$ 在 $B$ 与 $C$ 之间，点 $F$ 在 $E$ 与 $C$ 之间，使得 $BE = EF = FC$。线段 $\overline{AE}$ 和 $\overline{AF}$ 分别与 $\overline{BD}$ 交于 $P$ 和 $Q$。比 $BP : PQ : QD$ 可以写成 $r : s : t$，其中 $r$、$s$、$t$ 的最大公因数是 $1$。$r + s + t$ 是多少？

三角形 $ABC$ 中 $AB = 13$，$BC = 14$，$AC = 15$。设 $P$ 是 $\overline{AC}$ 上满足 $PC = 10$ 的点。直线 $BP$ 上恰有两个点 $D$ 和 $E$，使得四边形 $ABCD$ 和 $ABCE$ 都是梯形。距离 $DE$ 是多少？

三角形 $ABC$ 中 $AB = 50$，$AC = 10$，面积为 $120$。设 $D$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，$E$ 是 $\overline{AC}$ 的中点。$\angle BAC$ 的角平分线分别与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 交于 $F$ 和 $G$。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

设 $\triangle ABC$ 是不等边三角形。点 $P$ 在 $\overline{BC}$ 上，使得 $\overline{AP}$ 平分 $\angle BAC$。过 $B$ 且垂直于 $\overline{AP}$ 的直线，与过 $A$ 且平行于 $\overline{BC}$ 的直线交于点 $D$。已知 $BP = 2$，$PC = 3$。$AD$ 是多少？

下图中有一个边长为 $4$ 和 $8$ 的长方形，以及一个边长为 $5$ 的正方形。如图，正方形的三个顶点分别在长方形的三条不同的边上。同时在正方形内和长方形内的区域面积是多少？

设 $ABCD$ 是菱形，$\angle ADC = 46^\circ$。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 的中点，$F$ 是 $\overline{BE}$ 上使得 $\overline{AF}$ 垂直于 $\overline{BE}$ 的点。$\angle BFC$ 是多少度？

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 6$，$BC = 3$。在边 $\overline{AB}$ 上取点 $M$，使得 $\angle AMD = \angle CMD$。$\angle AMD$ 是多少度？

如图，在一组等距的平行线上画了一个角。阴影区域 $C$ 的面积与阴影区域 $B$ 的面积之比是 $11/5$。求阴影区域 $D$ 与阴影区域 $A$ 的面积之比。

设 $P$ 是三角形 $ABC$ 的内部一点，从各顶点经过 $P$ 作直线延长到对边。设 $a$、$b$、$c$、$d$ 表示图中所示线段的长度。若 $a + b + c = 43$，$d = 3$，求乘积 $abc$。

在三角形 $ABC$ 中，$AB = 13$，$BC = 14$，$CA = 15$。互不相同的点 $D$、$E$、$F$ 分别在线段 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{DE}$ 上，使得 $\overline{AD} \perp \overline{BC}$，$\overline{DE} \perp \overline{AC}$，$\overline{AF} \perp \overline{BF}$。线段 $\overline{DF}$ 的长度可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

一个 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形斜边上的高，被这个三角形最短边上的中线分成长度为 $x < y$ 的两段。比值 $\frac{x}{x + y}$ 是多少？

一个边长为 $x$ 的正方形内接于一个边长为 $3$、$4$、$5$ 的直角三角形，正方形的一个顶点与三角形的直角顶点重合。一个边长为 $y$ 的正方形内接于另一个边长为 $3$、$4$、$5$ 的直角三角形，正方形的一条边落在三角形的斜边上。$\frac{x}{y}$ 是多少？

梯形 $ABCD$ 的边长为 $AB = 92$，$BC = 50$，$CD = 19$，$AD = 70$，且 $AB$ 平行于 $CD$。以 $AB$ 上的点 $P$ 为圆心画一个圆，与 $BC$ 和 $AD$ 都相切。已知 $AP = \frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$。

在梯形 $ABCD$ 中，腰 $\overline{BC}$ 垂直于底 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$，且对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 互相垂直。已知 $AB = \sqrt{11}$，$AD = \sqrt{1001}$，求 $BC^2$。

菱形 $PQRS$ 内接于长方形 $ABCD$，顶点 $P$、$Q$、$R$、$S$ 分别是边 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ 的内点。已知 $PB = 15$，$BQ = 20$，$PR = 30$，$QS = 40$。设最简分数 $\frac{m}{n}$ 表示 $ABCD$ 的周长。求 $m + n$。

在直角三角形 $\triangle ACE$ 中，$AC = 12$，$CE = 16$，$EA = 20$。点 $B$、$D$、$F$ 分别在 $\overline{AC}$、$\overline{CE}$、$\overline{EA}$ 上，使得 $AB = 3$，$CD = 4$，$EF = 5$。$\triangle DBF$ 的面积与 $\triangle ACE$ 的面积之比是多少？

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 3$，$BC = 4$。点 $E$ 是从 $B$ 向对角线 $\overline{AC}$ 所作垂线的垂足。$\triangle AED$ 的面积是多少？

一个直径为 $20$ 米的筒仓（直圆柱）立在田野中。MacDonald 位于筒仓中心以西 $20$ 米、以南 $15$ 米处。McGregor 位于筒仓中心以东 $20$ 米、以南 $g > 0$ 米处。MacDonald 和 McGregor 之间的视线与筒仓相切。$g$ 的值可以写成 $\frac{a\sqrt{b} - c}{d}$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 是正整数，$b$ 不能被任何质数的平方整除，且 $d$ 与 $\gcd(a, c)$ 互质。$a + b + c + d$ 是多少？

在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$BC = 2$，点 $E$、$F$、$G$ 分别是 $\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{AD}$ 的中点。点 $H$ 是 $\overline{GE}$ 的中点。阴影部分的面积是多少？

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 8$，$BC = 6$。点 $M$ 是对角线 $\overline{AC}$ 的中点，$E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{ME} \perp \overline{AC}$。$\triangle AME$ 的面积是多少？

长方形 $ABCD$ 中 $AB = 4$，$BC = 3$。过 $B$ 作线段 $\overline{EF}$，使 $\overline{EF}$ 垂直于 $\overline{DB}$，且 $A$ 和 $C$ 分别在 $\overline{DE}$ 和 $\overline{DF}$ 上。$EF$ 是多少？

在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 3$。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，使得 $DF = 1$，$GC = 2$。直线 $AF$ 和 $BG$ 交于 $E$。求 $\triangle AEB$ 的面积。

在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 9$，$H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$，$E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$，直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$，$F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$。求长度 $GF$。

正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，使得 $\triangle AEF$ 是等边三角形。一个以 $B$ 为顶点的正方形，各边与 $ABCD$ 的边平行，并且有一个顶点在 $\overline{AE}$ 上。这个较小正方形的边长是 $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$，其中 $a$、$b$、$c$ 是正整数，且 $b$ 不能被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$。

设 $ABC$ 是一个三角形，$M$ 是 $\overline{AC}$ 的中点，$\overline{CN}$ 是 $\angle ACB$ 的角平分线，$N$ 在 $\overline{AB}$ 上。设 $X$ 是中线 $\overline{BM}$ 与角平分线 $\overline{CN}$ 的交点。此外，$\triangle BXN$ 是等边三角形，且 $AC = 2$。$BX^2$ 是多少？