特殊三角形

从顶部顶点作的高落在底边的中点上，所以它把三角形切成两个 30°-60°-90° 三角形。每个的斜边都是 $a$，短直角边都是 $\frac{a}{2}$。

长直角边（也就是高）是短直角边的 $\sqrt{3}$ 倍：$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。也可以用勾股定理得到：$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}a^2$。

面积 $= \frac12 \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac12 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。

在边长为 $a + b$ 的正方形里放四个这样的三角形，每个角上放一个。中间空出的是一个边长为 $c$ 的斜放的正方形，所以空出的面积是 $c^2$。

现在把同样的四个三角形挪成两个 $a \times b$ 的长方形。空出的部分变成一个 $a \times a$ 的正方形和一个 $b \times b$ 的正方形：面积是 $a^2 + b^2$。

大正方形和四个三角形都没有变，所以两次空出的面积相等：$c^2 = a^2 + b^2$。

如果 $a^2 + b^2 = c^2$，两边同乘 $k^2$：$(ka)^2 + (kb)^2 = (kc)^2$。所以 $ka, kb, kc$ 也是一组勾股数。从表中挑一组验证：$20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$。

两条直角边相等（两个底角相等），所以由勾股定理得 $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$，$c = \sqrt{2}\,a$。两条直角边互相垂直，所以一条作底、另一条作高：面积是 $\frac12 a \cdot a$。这个三角形就是正方形沿对角线切开后的一半。

把三角形沿长直角边翻折。两个三角形拼成一个三个角都是 $60^\circ$ 的三角形：边长为 $2a$ 的等边三角形。所以斜边是 $2a$。

由勾股定理得长直角边：$\sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}\,a$。面积 $= \frac12 \cdot a \cdot \sqrt{3}\,a = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。

向边 $14$ 作高 $h$。它把这条边分成 $x$ 和 $14 - x$。在两半中分别用勾股定理：$13^2 - x^2 = h^2 = 15^2 - (14 - x)^2$。

展开：$169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2$，所以 $28x = 140$，$x = 5$。于是 $h = \sqrt{169 - 25} = 12$，两部分就是 $5, 12, 13$ 和 $9, 12, 15$。