特殊三角形：全部习题

设 $ABC$ 是等边三角形。把边 $\overline{AB}$ 越过 $B$ 延长到点 $B'$，使 $BB' = 3 \cdot AB$。同样地，把边 $\overline{BC}$ 越过 $C$ 延长到点 $C'$，使 $CC' = 3 \cdot BC$；把边 $\overline{CA}$ 越过 $A$ 延长到点 $A'$，使 $AA' = 3 \cdot CA$。$\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

三角形 $ABC$ 的直角在 $B$，$AB = 1$，$BC = 2$。$\angle BAC$ 的平分线与 $\overline{BC}$ 交于 $D$。$BD$ 等于多少？

在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B$ 是直角，对角线 $\overline{AC}$ 垂直于 $\overline{CD}$，$AB = 18$，$BC = 21$，$CD = 14$。求 $ABCD$ 的周长。

在长方形 $ABCD$ 中，$\overline{AB} = 20$，$\overline{BC} = 10$。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 上一点，使 $\angle CBE = 15^\circ$。$\overline{AE}$ 等于多少？

有多少个互不全等的直角三角形，直角边长都是正整数，并且面积在数值上等于周长的 $3$ 倍？

点 $A, B, C$ 和 $D$ 按此顺序在一条直线上，$AB = CD$，$BC = 12$。点 $E$ 不在这条直线上，且 $BE = CE = 10$。$\triangle AED$ 的周长是 $\triangle BEC$ 周长的 2 倍。求 $AB$。

用牙签摆出一排排小等边三角形，组成一个大等边三角形。例如，图中有 $3$ 排全等的小等边三角形，最底下一排有 $5$ 个小三角形。如果大等边三角形最底下一排由 $2003$ 个小等边三角形组成，一共需要多少根牙签？

设 $A_0 = (0, 0)$。互不相同的点 $A_1, A_2, \dots$ 在 $x$ 轴上，互不相同的点 $B_1, B_2, \dots$ 在 $y = \sqrt{x}$ 的图像上。对每个正整数 $n$，$A_{n-1}B_nA_n$ 都是等边三角形。使长度 $A_0A_n \geq 100$ 的最小的 $n$ 是多少？

设 $\triangle ABC$ 是边长为 $s$ 的等边三角形，并且三角形内部存在唯一的点 $P$，使 $AP = 1$，$BP = \sqrt{3}$，$CP = 2$。$s$ 等于多少？