几何 · 第 30 章

三角形的面积与长度

同一个三角形，五个面积公式（底乘高、海伦公式、rs、abc/4R、鞋带公式），再加上皮克定理、中线、重心，以及适用于任意塞瓦线的斯图尔特定理。

这一章讲什么？

30.1 三角形的面积
30.2 三角形的性质
30.3 练习题

你需要先会

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30.10%

三角形的面积

在本节中，你将能够 用五种方法（底乘高、海伦公式、rs、abc/4R、鞋带公式）求三角形的面积，并挑出最快的一种。

同一个三角形，五个面积公式：½bh、海伦公式、rs、abc/4R 和鞋带公式。每一个都在某类题里最快。你的任务是学会分辨该用哪个。

看题目给了你什么。给了底和高？用 $\frac12 bh$ 。给了三条边？用海伦公式。给了内切圆半径或外接圆半径？用 $K = rs$ 或 $K = \frac{abc}{4R}$ 。给了坐标？用鞋带公式。

这些公式还能倒过来用。知道了面积和三边， $r = \frac{K}{s}$ 和 $R = \frac{abc}{4K}$ 就白送给你了。

等高的三角形，面积之比等于底之比。靠这一条事实就能解开例 30.1。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 沿虚线拖动 A。底和高都不变，那么面积会怎样？
试一试： 依次按“海伦公式”“内切圆”“外接圆”。每个公式给出的面积都一样吗？
试一试： 在海伦公式（13-14-15 三角形）上点“演示给我看”。读出 r 和 R，验证 K = rs 和 K = abc/4R。
试一试： 在皮克定理下方的鞋带公式实验室里拖动一个顶点。数一数 i 和 b：i + b/2 − 1 还相等吗？

认识概念

定理 30.1.1 · 用底和高求面积

底为 $b$ 、高为 $h$ 的三角形，面积是

\frac{1}{2} \cdot b \cdot h.

定理 30.1.2 · 海伦公式

三边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，半周长为 $s = \frac{a+b+c}{2}$ 的三角形，面积是

\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

定义 30.1.3 · 内心

三角形的内心是三条角平分线的交点。这个点也是内切圆的圆心，它到三条边的距离相等。

定义 30.1.4 · 内切圆半径

三角形的内切圆半径是三角形内切圆的半径。

定理 30.1.5 · 直角三角形的内切圆半径

直角三角形的内切圆半径 $r$ 为

r = \frac{1}{2}(a + b - c),

其中 $a$ 和 $b$ 是直角边， $c$ 是斜边。

定理 30.1.6 · 用内切圆半径求面积

内切圆半径为 $r$ （三角形内切圆的半径）、半周长为 $s$ 的三角形，面积是

\text{面积} = \text{内切圆半径} \cdot \text{半周长}, \qquad A = rs.

定义 30.1.8 · 外心

三角形的外心是三条垂直平分线的交点（垂直平分线是平分一条线段并与它垂直的直线）。这个点也是外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等。

定义 30.1.9 · 外接圆半径

三角形的外接圆半径是三角形外接圆的半径。

定理 30.1.10 · 用外接圆半径求面积

外接圆半径为 $R$ （三角形外接圆的半径）、三边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的三角形，面积是

A = \frac{abc}{4R}.

定理 30.1.12 · 坐标形式的鞋带公式

设多边形 $P$ 的顶点按顺时针顺序依次为 $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_n, b_n)$ 。那么 $P$ 的面积 $A$ 为

A = \frac{1}{2}\left|(a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1) - (b_1 a_2 + b_2 a_3 + \cdots + b_n a_1)\right|.

也可以按逆时针顺序列出顶点，只要最后取绝对值就行。

鞋带公式的名字来自这样一幅图：把坐标排成一列，在最下面重复写一遍第一组坐标，再把要相乘的坐标连起来，交叉的连线看起来就像鞋带。

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
A	1	1	2	7
B	7	2	42	6
C	3	6	3	6
A	1	1	Σ 47	Σ 19

面积 = ½ × |47 − 19| = 14

有向: 14 (逆时针)

注 30.1.13 · 理解鞋带公式的直观方法

鞋带公式的步骤：

把多边形的所有顶点坐标竖着排成一列。
在这一列的最下面重复写一遍第一组坐标。
设 $A$ 为所有向右（右下方向）对角线上两数之积的和。
设 $B$ 为所有向左（左下方向）对角线上两数之积的和。
计算

\frac{1}{2}|A - B|.

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
A	1	1	0	6
B	6	0	24	0
C	7	4	35	8
D	2	5	2	5
A	1	1	Σ 61	Σ 19

面积 = ½ × |61 − 19| = 21

有向: 21 (逆时针)

A = \tfrac12\left|\sum x_k y_{k+1} - \sum x_{k+1} y_k\right|

定理 30.1.14 · 皮克定理

如果一个多边形的顶点坐标都是整数（即顶点都是格点），那么这个多边形的面积是

i + \frac{b}{2} - 1,

其中 $i$ 是多边形内部的格点个数， $b$ 是多边形边界上的格点个数。

看例题先预测，再揭晓

例 30.1

AIME

如图，从三角形 $ABC$ 的三个顶点出发、经过同一个内部点作直线，把三角形分成六个小三角形。其中四个小三角形的面积已在图中标出。求三角形 $ABC$ 的面积。

1
把两个未知面积记为 $x$ （在 $35$ 旁边，靠近 $C$ ）和 $y$ （在 $40$ 旁边，靠近 $A$ ）。等高的三角形，面积之比等于底之比。哪两个小三角形分别以 $BD$ 和 $DC$ 为底，并且高相同？

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自己做

习题 30.3.8（补充题）

AMC 10

一个三角形的三边长为 $15$ 、 $20$ 和 $25$ ，求它最短的高。

习题 30.3.12（补充题）

AMC 10

一个三角形的三边长为 $10$ 、 $10$ 和 $12$ 。一个长方形的宽为 $4$ ，面积等于这个三角形的面积。这个长方形的周长是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 30.3.1

AMC 10

求阴影部分的面积。

习题 30.3.2

AMC 10

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角。点 $D$ 是从 $B$ 出发的高的垂足， $AD = 3$ ， $DC = 4$ 。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

习题 30.3.9（补充题）

AMC 10/12

一个三边之比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形内接于半径为 $3$ 的圆。这个三角形的面积是多少？

习题 30.3.10（补充题）

AMC 10

一个直角三角形的两条直角边（它们也是高）长为 $2\sqrt3$ 和 $6$ 。这个三角形的第三条高有多长？

习题 30.3.11（补充题）

AMC 12

三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ ， $AC = 15$ ， $\overline{BC}$ 上的高长为 $12$ 。 $BC$ 的两个可能值之和是多少？

习题 30.3.20（补充题）

AMC 10

从三角形的两个顶点各向对边作一条线段，把三角形分成三个三角形和一个四边形。三个三角形的面积分别是 $3$ 、 $7$ 和 $7$ ，如图所示。阴影四边形的面积是多少？

过关检测（第 30.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

30.20%

三角形的性质

在本节中，你将能够 用中线、重心和斯图尔特定理求三角形内部的长度。

从三角形的一个顶点连到对边的线段叫作塞瓦线。知道了它的长度，你就知道了很多：斯图尔特定理把整个三角形变成一个方程。

中线是最有名的塞瓦线。三条中线交于重心，重心在每条中线上从顶点出发三分之二的位置。

在直角三角形中，斜边上的中线恰好等于斜边的一半。斜边的中点就是外接圆的圆心。

对任意一条塞瓦线，斯图尔特定理把三条边、两段 $m$ 和 $n$ 以及塞瓦线 $d$ 联系起来： $man + dad = bmb + cnc$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 沿 BC 拖动 D。观察 man + dad 和 bmb + cnc。它们有过不相等的时候吗？
试一试： 按“中线”，再改变三边。打开“显示公式”：d² = ½(b² + c²) − ¼a² 成立吗？
试一试： 在“中线”模式下把三边设为 10、8、6。比较 AD 与 BD、DC。为什么会这样？
试一试： 打开“三条中线”。AG : GM 是多少？

认识概念

定义 30.2.1 · 中线

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

定理 30.2.2 · 直角三角形斜边上的中线

在直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $C$ ，从 $C$ 出发的中线与 $AB$ 交于点 $M$ 。那么

AM = BM = CM.

在直角三角形中， $AB$ 是外接圆的直径， $MA$ 、 $MB$ 、 $MC$ 都是外接圆的半径。

定义 30.2.3 · 重心

三角形三条中线的交点叫作重心。

定理 30.2.4 · 重心把每条中线分成 2 : 1

三角形的重心在每条中线上，位于从顶点到对边中点的 $\frac{2}{3}$ 处。

定义 30.2.5 · 塞瓦线

塞瓦线是从三角形的一个顶点连到对边上任意一点的线段。中线和角平分线都是特殊的塞瓦线。

定理 30.2.6 · 斯图尔特定理

在三角形 $ABC$ 中，顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 。如果作塞瓦线 $AD$ ，使 $BD = m$ ， $DC = n$ ， $AD = d$ ，那么

man + dad = bmb + cnc.

推论 30.2.8 · 角平分线的斯图尔特定理

如果 $AD$ 是角平分线，那么

d^2 + mn = bc.

这由斯图尔特定理和角平分线定理得到。

推论 30.2.9 · 中线的斯图尔特定理

如果 $AD$ 是中线，那么

d^2 = \frac{1}{2}(b^2 + c^2) - \frac{1}{4}a^2.

看例题先预测，再揭晓

例 30.2

AMC 12

在边长为 $1$ 的等边三角形的三条边上，各以这条边为底作一个等腰三角形，这三个等腰三角形全等。三个等腰三角形的面积之和等于等边三角形的面积。其中一个等腰三角形的腰长是多少？

1
边长为 $1$ 的等边三角形面积是多少？

先预测一下：
你的预测

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例 30.3

AMC 10

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB = 12$ ， $BC = 24$ ， $AC = 18$ 。过 $\triangle ABC$ 的内心且平行于 $\overline{BC}$ 的直线与 $\overline{AB}$ 交于 $M$ ，与 $\overline{AC}$ 交于 $N$ 。 $\triangle AMN$ 的周长是多少？

1
$I$ 是内心，所以 $BI$ 平分 $\angle B$ 。因为 $MN \parallel BC$ ，所以 $\angle MIB = \angle IBC$ （内错角）。那么 $MBI$ 是什么三角形？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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竞赛角真实竞赛题

习题 30.3.5

AMC 10

三角形 $AMC$ 是等腰三角形， $AM = AC$ 。中线 $\overline{MV}$ 和 $\overline{CU}$ 互相垂直，并且 $MV = CU = 12$ 。 $\triangle AMC$ 的面积是多少？

习题 30.3.7

AMC 10

长方形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 4$ 。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，使 $EB = 1$ ；点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上，使 $CG = 1$ ；点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上，使 $DF = 2$ 。线段 $\overline{AG}$ 和 $\overline{AC}$ 分别与 $\overline{EF}$ 交于 $Q$ 和 $P$ 。 $\dfrac{PQ}{EF}$ 的值是多少？

习题 30.3.16（补充题）

AMC 12

三角形 $ABC$ 是等边三角形， $AB = 1$ 。点 $E$ 和 $G$ 在 $\overline{AC}$ 上，点 $D$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 和 $\overline{FG}$ 都平行于 $\overline{BC}$ 。此外，三角形 $ADE$ 、梯形 $DFGE$ 和梯形 $FBCG$ 的周长都相同。 $DE + FG$ 是多少？

习题 30.3.21（补充题）

AMC 10

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 25$ ， $BC = 39$ ， $AC = 42$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上， $AD = 19$ ， $AE = 14$ 。三角形 $ADE$ 的面积与四边形 $BCED$ 的面积之比是多少？

过关检测（第 30.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

30.3

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有三角形工具。

该把几招混起来用了。这些题要用到面积公式、勾股数、海伦公式和一点代数，有时全都要用。卡住了的话，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 30.3.3

AMC 10

下图是一个正方形和四个等边三角形，每个三角形都有一条边落在正方形的一条边上，每个三角形的边长都是 $2$ ，并且四个三角形的第三个顶点交于正方形的中心。正方形内部、三角形外部的区域涂成阴影。阴影部分的面积是多少？

习题 30.3.4

AMC 10

设 $ABCD$ 是长方形， $AB = 30$ ， $BC = 28$ 。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，使得 $\triangle ABP$ 、 $\triangle PCQ$ 、 $\triangle QDA$ 的所有边长都是整数。 $\triangle APQ$ 的周长是多少？

习题 30.3.6

AMC 10

平面上有点 $P$ 和 $Q$ ， $PQ = 8$ 。平面上有多少个点 $R$ ，使得以 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 为顶点的三角形是面积为 $12$ 平方单位的直角三角形？

习题 30.3.13（补充题）

AMC 12

边长为整数、面积为正、周长小于 $15$ 的互不全等的三角形中，既不是等边三角形、也不是等腰三角形、也不是直角三角形的有多少个？

习题 30.3.14（补充题）

AMC 10

直角三角形 $T_1$ 和 $T_2$ 的面积分别为 $1$ 和 $2$ 。 $T_1$ 的一条边与 $T_2$ 的一条边相等， $T_1$ 的另一条边与 $T_2$ 的另一条边也相等。 $T_1$ 和 $T_2$ 各自剩下的（第三条）边的长度之积的平方是多少？

习题 30.3.15（补充题）

AMC 12

等腰三角形 $T$ 和 $T'$ 不全等，但面积相同、周长也相同。 $T$ 的三边长为 $5$ 、 $5$ 和 $8$ ， $T'$ 的三边长为 $a$ 、 $a$ 和 $b$ 。下列哪个数最接近 $b$ ？

习题 30.3.17（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 30.3.6 的编号出现。

平面上有点 $P$ 和 $Q$ ， $PQ = 8$ 。平面上有多少个点 $R$ ，使得以 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 为顶点的三角形是面积为 $12$ 平方单位的直角三角形？

习题 30.3.18（补充题）

AIME

三角形 $ABC$ 中， $AB = 9$ ， $BC : AC = 40 : 41$ 。这个三角形的面积最大是多少？

习题 30.3.19（补充题）

AMC 10

过直角三角形斜边上的一点，作平行于两条直角边的直线，把三角形分成一个正方形和两个较小的直角三角形。其中一个小直角三角形的面积是正方形面积的 $m$ 倍。另一个小直角三角形的面积与正方形面积之比是

习题 30.3.22（补充题）

AMC 12挑战

设 $ABCD$ 是单位正方形。设 $Q_1$ 是 $\overline{CD}$ 的中点。对 $i = 1, 2, \ldots$ ，设 $P_i$ 是 $\overline{AQ_i}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点， $Q_{i+1}$ 是从 $P_i$ 向 $\overline{CD}$ 所作垂线的垂足。求

\sum_{i=1}^{\infty} \text{三角形 } DQ_iP_i \text{ 的面积}\,.