三角形的面积与长度：全部习题

求阴影部分的面积。

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角。点 $D$ 是从 $B$ 出发的高的垂足，$AD = 3$，$DC = 4$。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

下图是一个正方形和四个等边三角形，每个三角形都有一条边落在正方形的一条边上，每个三角形的边长都是 $2$，并且四个三角形的第三个顶点交于正方形的中心。正方形内部、三角形外部的区域涂成阴影。阴影部分的面积是多少？

设 $ABCD$ 是长方形，$AB = 30$，$BC = 28$。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{BC}$ 和 $\overline{CD}$ 上，使得 $\triangle ABP$、$\triangle PCQ$、$\triangle QDA$ 的所有边长都是整数。$\triangle APQ$ 的周长是多少？

三角形 $AMC$ 是等腰三角形，$AM = AC$。中线 $\overline{MV}$ 和 $\overline{CU}$ 互相垂直，并且 $MV = CU = 12$。$\triangle AMC$ 的面积是多少？

平面上有点 $P$ 和 $Q$，$PQ = 8$。平面上有多少个点 $R$，使得以 $P$、$Q$、$R$ 为顶点的三角形是面积为 $12$ 平方单位的直角三角形？

长方形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 4$。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，使 $EB = 1$；点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上，使 $CG = 1$；点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上，使 $DF = 2$。线段 $\overline{AG}$ 和 $\overline{AC}$ 分别与 $\overline{EF}$ 交于 $Q$ 和 $P$。$\dfrac{PQ}{EF}$ 的值是多少？

一个三角形的三边长为 $15$、$20$ 和 $25$，求它最短的高。

一个三边之比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形内接于半径为 $3$ 的圆。这个三角形的面积是多少？

一个直角三角形的两条直角边（它们也是高）长为 $2\sqrt3$ 和 $6$。这个三角形的第三条高有多长？

三角形 $ABC$ 中，$AB = 13$，$AC = 15$，$\overline{BC}$ 上的高长为 $12$。$BC$ 的两个可能值之和是多少？

一个三角形的三边长为 $10$、$10$ 和 $12$。一个长方形的宽为 $4$，面积等于这个三角形的面积。这个长方形的周长是多少？

边长为整数、面积为正、周长小于 $15$ 的互不全等的三角形中，既不是等边三角形、也不是等腰三角形、也不是直角三角形的有多少个？

直角三角形 $T_1$ 和 $T_2$ 的面积分别为 $1$ 和 $2$。$T_1$ 的一条边与 $T_2$ 的一条边相等，$T_1$ 的另一条边与 $T_2$ 的另一条边也相等。$T_1$ 和 $T_2$ 各自剩下的（第三条）边的长度之积的平方是多少？

等腰三角形 $T$ 和 $T'$ 不全等，但面积相同、周长也相同。$T$ 的三边长为 $5$、$5$ 和 $8$，$T'$ 的三边长为 $a$、$a$ 和 $b$。下列哪个数最接近 $b$？

三角形 $ABC$ 是等边三角形，$AB = 1$。点 $E$ 和 $G$ 在 $\overline{AC}$ 上，点 $D$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 和 $\overline{FG}$ 都平行于 $\overline{BC}$。此外，三角形 $ADE$、梯形 $DFGE$ 和梯形 $FBCG$ 的周长都相同。$DE + FG$ 是多少？

平面上有点 $P$ 和 $Q$，$PQ = 8$。平面上有多少个点 $R$，使得以 $P$、$Q$、$R$ 为顶点的三角形是面积为 $12$ 平方单位的直角三角形？

三角形 $ABC$ 中，$AB = 9$，$BC : AC = 40 : 41$。这个三角形的面积最大是多少？

过直角三角形斜边上的一点，作平行于两条直角边的直线，把三角形分成一个正方形和两个较小的直角三角形。其中一个小直角三角形的面积是正方形面积的 $m$ 倍。另一个小直角三角形的面积与正方形面积之比是

从三角形的两个顶点各向对边作一条线段，把三角形分成三个三角形和一个四边形。三个三角形的面积分别是 $3$、$7$ 和 $7$，如图所示。阴影四边形的面积是多少？

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 25$，$BC = 39$，$AC = 42$。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上，$AD = 19$，$AE = 14$。三角形 $ADE$ 的面积与四边形 $BCED$ 的面积之比是多少？

设 $ABCD$ 是单位正方形。设 $Q_1$ 是 $\overline{CD}$ 的中点。对 $i = 1, 2, \ldots$，设 $P_i$ 是 $\overline{AQ_i}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点，$Q_{i+1}$ 是从 $P_i$ 向 $\overline{CD}$ 所作垂线的垂足。求