几何 · 第 29 章

导角

直线、三角形、平行线、多边形和圆：五条简单的角度规则串在一起，就能攻破出人意料的难题。

这一章讲什么？

29.1a 直线、三角形与等腰链
29.1b 多边形的角
29.1c 圆中的角
29.2 练习题

你需要先会

只需扎实的初中数学基础。一切从这里开始。

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29.1a0%

直线、三角形与等腰链

在本节中，你将能够 利用直线、相交直线、平行线、三角形内角和以及等腰三角形来导角。

侦探从不亲眼看到案发经过，她只顺着线索往下追。五条规则（直线、三角形、平行线、多边形和圆）就是你手里的全部线索。

先看书中的三条基本规则。一条直线上的角加起来是 $180^\circ$ 。三角形的三个内角加起来是 $180^\circ$ 。在三角形中，等边对等角（等角也对等边）：这就是等腰三角形。

导角就是给一个未知角起个名字，比如 $x$ ，再把其他所有角都用它表示出来。

注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。大多数导角链都靠这一条推动。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动三角形的任意一个顶点。撕下来的三个角总是沿一条直线排开。那么三个角的和是多少？
试一试： 切换到“平行线”，倾斜截线。哪些角总是相等？哪些角两两相加等于 180°？
试一试： 打开“等腰链”，从顶点开始把角依次标成 x、2x、3x。按下“让链闭合”：为什么 3x 必须等于 (180° − x) ÷ 2？

认识概念

概念 29.1.1 · 互余的角

互余的角是和为 $90^\circ$ 的两个角。

概念 29.1.2 · 互补的角

互补的角是和为 $180^\circ$ 的两个角。

概念 29.1.3 · 相交直线

两条直线相交时，对顶角相等。对顶角是两条相交直线形成的、彼此相对的每一对角。这里的“对顶”是说它们共用同一个顶点（角的顶点），并且彼此相对。

概念 29.1.4 · 平行线

一条直线与两条平行线相交时，同位角相等。所以交点处的每个角不是 $a$ 就是 $b$ ，并且 $a + b = 180^\circ$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 29.1

AMC 10

三角形 $ABC$ 中， $AB = 2 \cdot AC$ 。点 $D$ 、 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上，使得 $\angle BAE = \angle ACD$ 。设 $F$ 是线段 $AE$ 与 $CD$ 的交点，并且 $\triangle CFE$ 是等边三角形。 $\angle ACB$ 是多少？

1
把这两个相等的角记作 $x$ ： $\angle BAE = \angle ACD = x$ 。三角形 $CFE$ 是等边三角形。 $\angle FCE$ 是多少？

先预测一下：
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例 29.2

AIME

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 在边 $\overline{AC}$ 上且严格位于 $A$ 与 $C$ 之间，点 $E$ 在边 $\overline{AB}$ 上且严格位于 $A$ 与 $B$ 之间，使得 $AE = ED = DB = BC$ 。 $\angle ABC$ 的度数是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

1
把顶角记作 $\angle A = x$ 。三角形 $AED$ 中 $AE = ED$ 。哪个角等于 $x$ ？ $\angle ADE$ 是多少？

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自己做

习题 29.2.15（补充题）

AMC 10

一个三角形中两个角的和是直角的 $\frac{6}{5}$ ，并且这两个角中一个比另一个大 $30^\circ$ 。这个三角形中最大的角是多少度？

习题 29.2.10（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 15.1.9 的编号出现。

有多少个互不相似的三角形，它们三个角的度数是互不相同的正整数，并且成等差数列？

竞赛角真实竞赛题

习题 29.2.13（补充题）

AHSME

在附图中， $ABCD$ 是正方形， $ABE$ 是等边三角形，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的外部。 $\measuredangle AED$ 是多少度？

习题 29.2.12（补充题）

AMC 10/12

如下图，点 $E$ 位于直线 $CD$ 所分的、与点 $A$ 相对的半平面内，使得 $\angle CDE = 110^\circ$ 。点 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上，使得 $DE = DF$ ，且 $ABCD$ 是正方形。 $\angle AFE$ 是多少度？

习题 29.2.8（补充题）

AHSME

$\triangle ABC$ 是以 $AC$ 为底的等腰三角形。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $CB$ 和 $AB$ 上，使得 $AC = AP = PQ = QB$ 。 $\angle B$ 的度数是：

习题 29.2.19（补充题）

AMC 10挑战

四边形 $ABCD$ 中， $AB = BC = CD$ ，角 $ABC = 70^\circ$ ，角 $BCD = 170^\circ$ 。角 $BAD$ 是多少度？

过关检测（第 29.1a 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.1b0%

多边形的角

在本节中，你将能够 求出任意多边形的内角和外角，并认出值得记住的那几个。

沿着任意一个多边形走一圈，你正好转过一整圈。仅凭这一个事实，就能求出每个外角，进而求出每个内角。

从 $n$ 边形的一个顶点出发，画出所有对角线。你会得到 $n - 2$ 个三角形，所以内角和是 $(n - 2) \cdot 180^\circ$ 。正多边形的 $n$ 个内角平分这个和。

注意：外角往往是更快的路。它就是 $360^\circ \div n$ ，而内角 $= 180^\circ -$ 外角。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把边数从 3 一步步调到 10。每次从一个顶点能分出几个三角形？为什么这就得到 (n − 2) · 180°？
试一试： 打开“角度表”。逐行检查：内角 + 外角是不是总等于 180°？
试一试： 按下“绕周长走一圈”。回到起点时，你一共转了多少度？

认识概念

定理 29.1.5

对于一个 $n$ 边形：

\text{内角和} = (n-2)\cdot 180^\circ

\text{正多边形的每个内角} = \frac{(n-2)}{n}\cdot 180^\circ

\text{正多边形的每个外角} = \frac{360^\circ}{n}

事实 29.1.6 · 重要的内角

正多边形的重要内角：

边数	内角
3	$60^\circ$
4	$90^\circ$
5	$108^\circ$
6	$120^\circ$
8	$135^\circ$
9	$140^\circ$
10	$144^\circ$

自己做

习题 29.2.14（补充题）

AMC 10

四边形 $ABCD$ 的各角满足 $\angle A = 2\angle B = 3\angle C = 4\angle D$ 。 $\angle A$ 是多少度（四舍五入到最接近的整数）？

习题 29.2.16（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 15.1.8 的编号出现。

Mary 把一个圆分成 $12$ 个扇形。这些扇形的圆心角（以度为单位）都是整数，并且成等差数列。最小的扇形圆心角最小可能是多少度？

竞赛角真实竞赛题

习题 29.2.4

AMC 10

如下图，把正方形 $ABCD$ 绕它的中心顺时针旋转 $20^\circ$ ，得到正方形 $EFGH$ 。 $\angle EAB$ 是多少度？

习题 29.2.5

MATHCOUNTS

一个正方形位于一个正六边形的内部，一些顶点的标记如图所示。 $\angle ABC$ 是多少度？

习题 29.2.7

AMC 10

拱心石拱是一种古老的建筑结构。它由全等的等腰梯形沿不平行的两边拼接而成，如图所示。两端的两个梯形的底边是水平的。在一个由 $9$ 个梯形拼成的拱中，设 $x$ 是梯形较大内角的度数。 $x$ 是多少？

过关检测（第 29.1b 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.1c0%

圆中的角

在本节中，你将能够 利用圆周角、弦、切线和圆内接四边形在圆中导角。

站在圆的另一侧任意一点，看一段固定的弧。不管站在哪里，你看它的角度都相同：恰好是圆心处那个角的一半。

圆会白送你许多相等的角。本节的每个角都来自同一个想法：一个角等于它所对的弧的一半。两条弦在圆内相交，角等于两段弧的平均数；两条割线在圆外相交，角等于两段弧之差的一半；切线和弦所成的角，等于它们之间那段弧的一半。

注意：所有半径都相等，所以连出半径就能得到等腰三角形。而且半径与切线成 $90^\circ$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 P 拖到大弧上的任意位置。P 处的角会变吗？把它和 O 处的圆心角比一比。
试一试： 拖动 A 和 B，直到 AB 成为直径。现在 P 处的角是多少？
试一试： 把 P 拖到 A 和 B 之间的小弧上。这个角会怎样变化？它现在对着哪一段弧？

认识概念

定理 29.1.7 · 圆周角定理

一段弧所对的圆心角（也就是这段弧的度数）是它在圆上任意一点所对的圆周角的 2 倍。

\text{圆心角} = 2 \times \text{圆周角}

推论 29.1.8 · 直径所对的直角

一边是直径的圆内接三角形一定是直角三角形。

定义 29.1.9 · 弦

弦是连接圆上任意两个不同点的线段。直径是圆中最长的弦。

定理 29.1.10

任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。图中， $AB$ 和 $CD$ 的垂直平分线交于圆心 $O$ 。

推论 29.1.11

全等的弦到圆心的距离相等。
如果圆中的两条弦全等，那么它们所截的弧也全等。
如果圆中的两条弦全等，那么它们所对的两个圆心角也全等。

定理 29.1.12

从圆外一点 $P$ 引两条割线，分别交圆于 $A, B$ 和 $C, D$ 。 $P$ 处的角等于它所截的两段弧之差的一半：

\angle APC = \frac{\overset{\frown}{BD} - \overset{\frown}{AC}}{2}

定理 29.1.13

如果两条弦 $AB$ 和 $CD$ 交于 $P$ ，那么 $\angle BPC$ 和 $\angle APD$ 都等于两段弧的平均数：

\angle BPC = \angle APD = \frac{\overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{AD}}{2}

定理 29.1.14

如果过点 $R$ 的切线与圆相切于 $Q$ ，再画一条弦 $QP$ ，那么 $\angle RQP$ 等于角内那段弧 $QP$ 的一半。

注 29.1.15

圆对导角非常有用，所以要时刻留意圆周角定理。很多导角题都能用上它。

注 29.1.16

处理正多边形导角题的一个实用技巧：给多边形画一个外接圆，再用圆周角定理。

定理 29.1.17

相等的弦截出相等的弧。也就是说，如果两条弦一样长，那么它们在圆上截出的弧（以及扇形）也相等。

定义 29.1.18 · 切线

切线是从圆外一点引出的、与圆恰好只接触于一点的直线。

定理 29.1.19 · 切点处的直角

把圆心与直线和圆的切点连起来，这条半径与切线成直角。

定理 29.1.21 · 圆内接四边形的性质

在圆内接四边形（四个顶点都在同一个圆上）中，对角之和是 $180^\circ$ ： $p + q = 180^\circ$ ， $r + s = 180^\circ$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 29.3

AMC 10

设 $\triangle ABC$ 是等腰三角形， $BC = AC$ ， $\angle ACB = 40^\circ$ 。以 $\overline{BC}$ 为直径作圆，设 $D$ 和 $E$ 分别是这个圆与边 $\overline{AC}$ 、 $\overline{AB}$ 的另一个交点。设 $F$ 是四边形 $BCDE$ 的两条对角线的交点。 $\angle BFC$ 是多少度？

1
$BC$ 是直径， $D$ 在圆上。 $\angle BDC$ 是多少？（ $\angle BEC$ 呢？）

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竞赛角真实竞赛题

习题 29.2.2

AMC

两个全等的圆分别以点 $A$ 和 $B$ 为圆心，并且每个圆都经过另一个圆的圆心。延长经过 $A$ 和 $B$ 的直线，与两圆分别交于点 $C$ 和 $D$ 。两圆有两个交点，其中一个是 $E$ 。 $\angle CED$ 是多少度？

习题 29.2.6

AMC 10

在图中的圆里，直径 $\overline{EB}$ 与 $\overline{DC}$ 平行， $\overline{AB}$ 与 $\overline{ED}$ 平行。角 $AEB$ 与角 $ABE$ 之比是 $4 : 5$ 。角 $BCD$ 是多少度？

习题 29.2.3

AMC 10

Abdul 和 Chiang 站在一片空地上，相距 48 英尺。Bharat 站在同一片空地上，使得他望向 Abdul 和 Chiang 的两条视线所成的角是 $60^\circ$ ，并且他离 Abdul 尽可能远。Abdul 和 Bharat 之间距离（单位：英尺）的平方是多少？

习题 29.2.17（补充题）

AHSME

一个锐角等腰三角形 $ABC$ 内接于一个圆。过 $B$ 和 $C$ 作圆的切线，两条切线交于点 $D$ 。如果 $\angle ABC = \angle ACB = 2\angle D$ ，且 $x$ 是 $\angle A$ 的弧度数，那么 $x =$

过关检测（第 29.1c 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

29.2

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用本章所有的导角工具。

这些题需要同时用上好几条线索：多边形、等腰链、对称，甚至光线反射。卡住了的话，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 29.2.1

AMC 10

设 $ABCDEF$ 是一个各角相等的六边形。直线 $AB, CD,$ 和 $EF$ 围成一个面积为 $192\sqrt{3}$ 的三角形，直线 $BC, DE,$ 和 $FA$ 围成一个面积为 $324\sqrt{3}$ 的三角形。六边形 $ABCDEF$ 的周长可以表示为 $m + n\sqrt{p}$ ，其中 $m, n,$ 和 $p$ 都是正整数，且 $p$ 不能被任何质数的平方整除。 $m + n + p$ 是多少？

习题 29.2.9（补充题）

AHSME

在这个图中， $AB$ 和 $AC$ 是等腰 $\triangle ABC$ 的两条相等的边，其中内接一个等边 $\triangle DEF$ 。把 $\angle BFD$ 记作 $a$ ， $\angle ADE$ 记作 $b$ ， $\angle FEC$ 记作 $c$ 。那么：

习题 29.2.11（补充题）

MATHCOUNTS

凹四边形 $ABCD$ 关于直线 $AC$ 对称。角 $DAB$ 和角 $ABC$ 分别是 $84$ 度和 $32$ 度。虚线段分别平分角 $ABC$ 和角 $ADC$ 。两条虚线段相交所成的锐角是多少度？

习题 29.2.18（补充题）

AIME挑战

三角形 $ABC$ 是等腰三角形， $AC = BC$ ， $\angle ACB = 106^\circ$ 。点 $M$ 在三角形内部，使得 $\angle MAC = 7^\circ$ ， $\angle MCA = 23^\circ$ 。求 $\angle CMB$ 的度数。

习题 29.2.20（补充题）

AIME挑战

如图，一束光以入射角 $\alpha = 19.94^\circ$ 照射到 $\overline{BC}$ 上的点 $C$ ，并以相等的反射角反射。光束继续前进，按照“入射角等于反射角”的规则在线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 之间反射。已知 $\beta = \alpha/10 = 1.994^\circ$ ，且 $AB = BC$ ，求光束在这两条线段上一共反射多少次。计数时包括在 $C$ 处的第一次反射。