数论 · 第 25 章

代数数论

先把数换成字母，再因式分解：平方差、立方和与立方差、西蒙因式分解技巧和苏菲·热尔曼恒等式，专破竞赛中的数论题。

这一章讲什么？

25.1 换元、分组、分解：二次式的因式分解
25.2 三次式的因式分解
25.3 西蒙因式分解技巧
25.4 高次幂与苏菲·热尔曼恒等式
25.6 练习题

你需要先会

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25.10%

换元、分组、分解：二次式的因式分解

在本节中，你将能够 把数换成字母，再用平方差公式因式分解。

a 整除 b 和 c，并且 a + b + c = 100。代入 b = ax、c = ay，这个和就能分解：a(1 + x + y) = 100。

数论题里常常藏着代数。给麻烦的部分起个名字，比如 $x = 4^{n}$ 或 $b = ax$ ，然后找因式分解。

主角是平方差公式 $x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)$ 。它就是第 12 章的定理 12.2.1，现在用在整数上：一个大数变成两个较小数的积。

注意：两个因式的积等于一个固定的数，就意味着可以把因数对一一列出来。计数就是从这里来的。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 取 a = 10，b = 2。验证 100 − 4 = 8 × 12。你还能找到另一对平方相差 96 的数吗？
试一试： 令 x = 4ⁿ，改写 16ⁿ − 2·4ⁿ + 1。出现了哪个平方？
试一试： 取 b = 1，a = 4、16、64（4 的幂）。哪个因式 a − 1 总是 3 的倍数？n 取哪些值时 7 整除 4ⁿ − 1？

认识概念

概念 25.0.1 · 代数数论的常用技巧

换元，把数变成字母
把项分组
寻找因式分解
有时还要用到模运算、整除或其他数论技巧

定理 25.1.1 · 指数运算法则

x^{-a} = \frac{1}{x^{a}}

x^{a} \times x^{b} = x^{a+b}

x^{a} \div x^{b} = x^{a-b}

\left(x^{a}\right)^{b} = x^{ab}

这些法则与第 12 章的定理 12.0.1 相同。

定理 25.1.2 · 平方差公式

x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)

与定理 12.2.1 是同一个恒等式。在数论中，它把一个大数变成两个较小数的积。

看例题先预测，再揭晓

例 25.1

AIME

求满足下列条件的有序三元组 $(a, b, c)$ 的个数： $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正整数， $a$ 是 $b$ 的因数， $a$ 是 $c$ 的因数，并且 $a + b + c = 100$ 。

1
$a$ 整除 $b$ 和 $c$ 。代入 $b = ax$ 、 $c = ay$ ，其中 $x, y$ 是正整数。 $a + b + c = 100$ 变成什么？

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例 25.2

Omega Learn

从 $1$ 到 $100$ （含两端）中，有多少个 $n$ 使 $16^{n} - 2 \times 4^{n} + 1$ 是 $49$ 的倍数？

1
令 $x = 4^{n}$ 。那么 $16^{n} = (4^{n})^{2} = x^{2}$ 。式子变成什么？

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自己做

习题 25.6.1

AMC 10

存在正整数 $n$ 使得 $(n + 1)! + (n + 2)! = n! \cdot 440$ 。 $n$ 的各位数字之和是多少？

习题 25.6.10

AMC 10

Jonie 的四个表兄弟姐妹的年龄是互不相同的一位正整数。其中两人的年龄相乘得 $24$ ，另外两人的年龄相乘得 $30$ 。Jonie 这四个表兄弟姐妹的年龄之和是多少？

习题 25.6.24（补充题）

AMC 10

有多少个满足 $m \ge n$ 的正整数有序对 $(m, n)$ ，使得它们的平方相差 $96$ ？

竞赛角真实竞赛题

习题 25.6.9

AMC 10/12

下列哪一个等于

(2 + 3)\left(2^{2} + 3^{2}\right)\left(2^{4} + 3^{4}\right)\left(2^{8} + 3^{8}\right)\left(2^{16} + 3^{16}\right)\left(2^{32} + 3^{32}\right)\left(2^{64} + 3^{64}\right)?

习题 25.6.19（补充题）

AMC 10

存在唯一的严格递增非负整数数列 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$ ，使得

\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.

$k$ 是多少？

过关检测（第 25.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

25.20%

三次式的因式分解

在本节中，你将能够 分解立方和与立方差，并用它们求余数。

n³ + 1 会是质数吗？把它分解成 (n + 1)(n² − n + 1)，你就会发现：几乎不可能。

立方也能分解（第 12 章的定理 12.3.1 和 12.3.2）。第二个因式是一个二次式：立方差是 $x^{2} + xy + y^{2}$ ，立方和是 $x^{2} - xy + y^{2}$ 。

一个相关的事实： $1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$ 。在模 $n + 5$ 下计算时，任何多项式里的 $n$ 都可以换成 $-5$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 这里 a = 5，b = 2。用两个因式验证 125 − 8 = 3 × 39。
试一试： 切换到 a³ + b³。哪个因式总能整除这个和？
试一试： 为什么 1³ + … + n³ = (n(n+1)/2)² 在模 n + 5 时很有用？把 n 换成 −5。

认识概念

定理 25.2.1 · 立方差公式

x^{3} - y^{3} = (x - y)\left(x^{2} + xy + y^{2}\right)

与定理 12.3.1 是同一个恒等式。

定理 25.2.2 · 立方和公式

x^{3} + y^{3} = (x + y)\left(x^{2} - xy + y^{2}\right)

与定理 12.3.2 是同一个恒等式。

看例题先预测，再揭晓

例 25.3

AIME

求所有满足下列条件的正整数 $n$ 之和： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + n^{3}$ 除以 $n + 5$ 的余数是 $17$ 。

可以输入任意整数，也可以输入幂，例如 2^50。

1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

$1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3}$
= 3,025
= 5² × 11²
$\frac{n(n+1)}{2}$
= 55
= 5 × 11

✓ 因式乘回去正好等于原数

55^{2} = 3{,}025

1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} \equiv 10 \pmod{15}

因为

n \equiv -5

，平方

\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}

相当于

\left(\frac{(-5)(-4)}{2}\right)^{2}

。

1
前 $n$ 个立方数之和有一个封闭公式。是哪一个？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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竞赛角真实竞赛题

习题 25.6.4

AMC 10

最大的三位正整数 $n$ 是多少，使得前 $n$ 个正整数之和不是前 $n$ 个正整数之积的因数？

习题 25.6.27（补充题）

AMC 10/12

对每个整数 $n \ge 2$ ，设 $S_n$ 是所有乘积 $jk$ 之和，其中 $j$ 和 $k$ 是整数且 $1 \le j < k \le n$ 。使 $S_n$ 能被 $3$ 整除的最小的 $10$ 个 $n$ 之和是多少？

过关检测（第 25.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

25.30%

西蒙因式分解技巧

在本节中，你将能够 用西蒙因式分解技巧，把含 xy、x、y 项的式子变成一个积。

ab − 4a − 4b + 8 = 0 看起来卡住了。两边同时加上 8，它就变成 (a − 4)(b − 4) = 8。

西蒙技巧（第 12 章的定理 12.4.2）是加上一个合适的常数，让 $xy + kx + jy$ 能分解成 $(x + j)(y + k)$ 再减去 $jk$ 。

一旦得到“一个积等于一个数”，就把这个数的因数对全部列出来（包括负的），再留下符合题意的那些。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“两边加上神奇数”。8 有多少组因数对满足 b > a > 0？
试一试： 别忘了负数（注 25.3.2）。负的因数对能给出真实的地板吗？
试一试： 宽为 1 的边框要求 a ≥ 3。哪些因数对留了下来？

认识概念

定理 25.3.1 · 西蒙因式分解技巧（SFFT）

xy + kx + jy + jk = (x + j)(y + k)

与定理 12.4.2 是同一个技巧。

看例题先预测，再揭晓

例 25.4

AMC 12

一块长方形地板的尺寸是 $a$ 英尺乘 $b$ 英尺，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，且 $b > a$ 。一位画家在地板上画了一个长方形，长方形的边与地板的边平行。地板上没涂色的部分在涂色长方形周围形成一圈宽 $1$ 英尺的边框，并且占整块地板面积的一半。有序对 $(a, b)$ 有多少种可能？

1
涂色长方形每边各少了 $1$ 英尺。它的尺寸是多少？

自己做

习题 25.6.17（补充题）

AMC 10

考虑所有分数 $\frac{x}{y}$ 构成的集合，其中 $x$ 和 $y$ 是互质的正整数。其中有多少个分数具有这样的性质：分子和分母都增加 $1$ 后，分数的值增加 $10\%$ ？

习题 25.6.20（补充题）

AMC 10

有多少个整数 $n$ 使 $\dfrac{n}{20 - n}$ 是某个整数的平方？

竞赛角真实竞赛题

习题 25.6.13

AMC 10

奶奶刚烤好一大长方形烤盘的布朗尼。她打算用平行于烤盘边的直线切法，把它切成大小和形状都相同的长方形小块。每一刀都必须完整地切过整个烤盘。奶奶希望内部的块数和沿烤盘周边的块数相同。她最多能切出多少块布朗尼？

过关检测（第 25.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

25.40%

高次幂与苏菲·热尔曼恒等式

在本节中，你将能够 分解高次幂，认出苏菲·热尔曼恒等式，并看着积裂项相消。

10⁴ + 324 是质数吗？把 324 写成 4 · 3⁴，苏菲·热尔曼恒等式就把它拆成 58 × 178。

$x^{n} - y^{n}$ 总有因式 $x - y$ ；当 $n$ 是奇数时， $x^{n} + y^{n}$ 总有因式 $x + y$ 。这就是第 12 章的定理 12.4.1。

苏菲·热尔曼恒等式是新内容： $x^{4} + 4y^{4}$ 是一个和，却能分解。它其实是伪装起来的平方差： $\left(x^{2} + 2y^{2}\right)^{2} - (2xy)^{2}$ 。

注意：当一项的因式和下一项的因式相同时，一长串乘积会塌缩成很少几项。这就是裂项求积。

动手探索先玩，再学公式

可以输入任意整数，也可以输入幂，例如 2^50。

x^{4} + 4y^{4} = \left(x^{2} - 2xy + 2y^{2}\right)\left(x^{2} + 2xy + 2y^{2}\right)

$x^{4} + 4y^{4}$
= 85
= 5 × 17
$x^{2} - 2xy + 2y^{2}$
= 5
= 5质数
$x^{2} + 2xy + 2y^{2}$
= 17
= 17质数

✓ 因式乘回去正好等于原数

两个因式的绝对值都大于 1，所以 85 是合数。

试一试： 保持 y = 1，让 x 从 1 走到 6。x⁴ + 4 什么时候是质数？
试一试： 在“苏菲·热尔曼恒等式”卡片上按“演示给我看”：10⁴ + 324 = 10⁴ + 4·3⁴。然后打开“热尔曼裂项”，把成对的因式约掉。
试一试： 选 xⁿ − yⁿ，取 y = 1。哪个因式对每个 n 都会出现？

认识概念

定理 25.4.1 · n 次幂的因式分解

奇次幂之和：

x^{2n+1} + y^{2n+1} = (x + y)\left(x^{2n} - x^{2n-1}y + x^{2n-2}y^{2} - \cdots - xy^{2n-1} + y^{2n}\right)

第二个因式中的符号正负交替。

幂之差：

x^{n} - y^{n} = (x - y)\left(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}\right)

第二个因式中的符号全是正号。

与定理 12.4.1 是同样的恒等式。

定理 25.5.1 · 苏菲·热尔曼恒等式

苏菲·热尔曼恒等式：

x^{4} + 4y^{4} = \left(x^{2} - 2xy + 2y^{2}\right)\left(x^{2} + 2xy + 2y^{2}\right)

注 25.5.2

留意四次方，随时准备用苏菲·热尔曼恒等式！

四次方可能藏得很深： $2^{202} + 1 = 1^{4} + 4\left(2^{50}\right)^{4}$ 。

可以输入任意整数，也可以输入幂，例如 2^50。

x^{4} + 4y^{4} = \left(x^{2} - 2xy + 2y^{2}\right)\left(x^{2} + 2xy + 2y^{2}\right)

$x^{4} + 4y^{4}$
= 642775…205505 （61 位）
= 5 × 809 × (58 位合数)
$x^{2} - 2xy + 2y^{2}$
= 253530…725505 （31 位）
= 5 × (30 位合数)
$x^{2} + 2xy + 2y^{2}$
= 253530…096001 （31 位）
= 809 × (28 位合数)

✓ 因式乘回去正好等于原数

(253530\ldots725505\,(\text{31 位})) \times (253530\ldots096001\,(\text{31 位})) = 642775\ldots205505\,(\text{61 位})

两个因式的绝对值都大于 1，所以 642775…205505 （61 位） 是合数。

竞赛角真实竞赛题

习题 25.6.6

AMC 10

$2^{202} + 202$ 除以 $2^{101} + 2^{51} + 1$ 的余数是多少？

习题 25.6.7

AIME

计算

\frac{(10^{4} + 324)(22^{4} + 324)(34^{4} + 324)(46^{4} + 324)(58^{4} + 324)}{(4^{4} + 324)(16^{4} + 324)(28^{4} + 324)(40^{4} + 324)(52^{4} + 324)}.

过关检测（第 25.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

苏菲·热尔曼恒等式把 $5^{4} + 4 = 629$ 分解开。较小的因式 $x^{2} - 2xy + 2y^{2}$ （取 $x = 5$ ， $y = 1$ ）是多少？

用平方差和立方差公式分解 $2^{12} - 1$ 。它最大的质因数是多少？

在下面的裂项求积中，每一项 $x^{4} + 324$ 都拆成 $(x - 3)^{2} + 9$ 和 $(x + 3)^{2} + 9$ 。约掉每一对相同的因式。分母中留下的是哪个因式？

25.6

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用换元、因式分解和数论。

现在把所有方法混在一起用。这些题会用到阶乘、数字和、奇偶性、硬币和骰子，每一道都藏着一个因式分解。卡住了的话，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 25.6.2

AMC 10

这道题在书中还以 22.1.3 的编号出现。

对所有整数 $n \ge 9$ ，

\frac{(n + 2)! - (n + 1)!}{n!}

的值总是下列哪一种？

习题 25.6.3

AMC 10

这道题在书中还以 24.1.10 的编号出现。

设 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数字之和。例如 $S(1507) = 13$ 。对某个正整数 $n$ ， $S(n) = 1274$ 。下列哪个可能是 $S(n + 1)$ 的值？

习题 25.6.5

AMC 10

这道题在书中还以 19.2.6 的编号出现。

一个学生要把 $66$ 乘以循环小数

1.\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{a}\,\underline{b}\ldots = 1.\overline{\underline{a}\,\underline{b}},

其中 $a$ 和 $b$ 是数字。他没注意到循环记号，直接算了 $66$ 乘 $1.\underline{a}\,\underline{b}$ 。后来他发现自己的答案比正确答案小 $0.5$ 。两位数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是多少？

习题 25.6.8

AMC 12

数列定义为 $D_0 = 0$ ， $D_1 = 0$ ， $D_2 = 1$ ，并且当 $n \ge 3$ 时 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$ 。三元组 $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})$ 的奇偶性分别是什么？其中 $E$ 表示偶数， $O$ 表示奇数。

习题 25.6.11

AMC 10/12

设 $f$ 是定义在正有理数集合上的函数，对所有正有理数 $a$ 和 $b$ 都有 $f(a \cdot b) = f(a) + f(b)$ 。又设 $f$ 对每个质数 $p$ 都满足 $f(p) = p$ 。下列哪个数 $x$ 满足 $f(x) < 0$ ？

习题 25.6.12

AMC 12

设 $f$ 是定义在正整数上的唯一函数，使得对所有正整数 $n$ 都有

\sum_{d \mid n} d \cdot f\left(\frac{n}{d}\right) = 1

其中求和取遍 $n$ 的所有正因数。 $f(2023)$ 是多少？

习题 25.6.14

AMC 12

在 Coinland 州，硬币的面值是 $6$ 美分、 $10$ 美分和 $15$ 美分。设 $x$ 是 Coinland 中不能用这些硬币恰好付清的最贵物品的价格（单位：美分）。 $x$ 的各位数字之和是多少？

习题 25.6.15

AMC 12

把一个标准的 6 面骰子掷 $n$ 次，掷出的 $n$ 个数之积共有 $936$ 种可能的值。 $n$ 是多少？

习题 25.6.16

AMC 10

正方形 $ABCD$ 的边长是 $4$ 。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CD}$ 上， $AP = \frac{8}{5}$ ， $DQ = \frac{10}{3}$ 。一条路径从 $P$ 出发沿线段走到 $Q$ ，然后在 $ABCD$ 的边上反射继续前进（入射角与反射角相等）。如果路径碰到正方形的顶点，就在那里终止；否则它会永远走下去。路径在哪个顶点终止？

习题 25.6.18（补充题）

AIME

三只聪明的猴子分一堆香蕉。第一只猴子从堆里拿走一些香蕉，自己留下其中的四分之三，其余的平分给另外两只。第二只猴子从堆里拿走一些香蕉，自己留下其中的四分之一，其余的平分给另外两只。第三只猴子拿走堆里剩下的香蕉，自己留下其中的十二分之一，其余的平分给另外两只。已知每次分香蕉时每只猴子分到的都是整数个，并且最后第一、第二、第三只猴子拥有的香蕉数之比为 $3 : 2 : 1$ ，香蕉总数最少是多少？

习题 25.6.21（补充题）

AMC 10

把数 $2013$ 表示成

2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},

的形式，其中 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ 和 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ 都是正整数，并且 $a_1 + b_1$ 尽可能小。 $|a_1 - b_1|$ 是多少？

习题 25.6.22（补充题）

AMC 10/12

对 $k > 0$ ，设 $I_k = 10\ldots064$ ，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。设 $N(k)$ 是 $I_k$ 的质因数分解中因数 $2$ 的个数。 $N(k)$ 的最大值是多少？

习题 25.6.23（补充题）

AMC 10

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 $6$ 个面。每个骰子的各个面上分别印着从 $1$ 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出点数和为 $7$ 的概率是掷出点数和为 $10$ 的概率的 $\frac34$ ，而掷出点数和为 $12$ 的概率是 $\frac{1}{12}$ 。两个骰子的面数之和最少是多少？

习题 25.6.25（补充题）

AMC 10

在小于或等于 $24$ 的正整数 $n$ 中，有多少个使 $n!$ 能被 $1 + 2 + \cdots + n$ 整除？

习题 25.6.26（补充题）

AIME

设 $\mathcal{S}$ 是在 $10$ 进制下最右边三位数字为 $256$ 的所有完全平方数的集合。设 $\mathcal{T}$ 是所有形如 $\frac{x - 256}{1000}$ 的数的集合，其中 $x$ 属于 $\mathcal{S}$ 。换句话说， $\mathcal{T}$ 是把 $\mathcal{S}$ 中每个数的最后三位数字去掉后得到的数的集合。求 $\mathcal{T}$ 中第十小的元素除以 $1000$ 的余数。

习题 25.6.28（补充题）

AIME

求满足下列条件的最大整数 $n$ ：

(i) $n^{2}$ 可以表示成两个连续立方数之差；

(ii) $2n + 79$ 是完全平方数。