代数数论：全部习题

存在正整数 $n$ 使得 $(n + 1)! + (n + 2)! = n! \cdot 440$。$n$ 的各位数字之和是多少？

对所有整数 $n \ge 9$，

的值总是下列哪一种？

设 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数字之和。例如 $S(1507) = 13$。对某个正整数 $n$，$S(n) = 1274$。下列哪个可能是 $S(n + 1)$ 的值？

最大的三位正整数 $n$ 是多少，使得前 $n$ 个正整数之和不是前 $n$ 个正整数之积的因数？

一个学生要把 $66$ 乘以循环小数

其中 $a$ 和 $b$ 是数字。他没注意到循环记号，直接算了 $66$ 乘 $1.\underline{a}\,\underline{b}$。后来他发现自己的答案比正确答案小 $0.5$。两位数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是多少？

$2^{202} + 202$ 除以 $2^{101} + 2^{51} + 1$ 的余数是多少？

计算

数列定义为 $D_0 = 0$，$D_1 = 0$，$D_2 = 1$，并且当 $n \ge 3$ 时 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$。三元组 $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})$ 的奇偶性分别是什么？其中 $E$ 表示偶数，$O$ 表示奇数。

下列哪一个等于

Jonie 的四个表兄弟姐妹的年龄是互不相同的一位正整数。其中两人的年龄相乘得 $24$，另外两人的年龄相乘得 $30$。Jonie 这四个表兄弟姐妹的年龄之和是多少？

设 $f$ 是定义在正有理数集合上的函数，对所有正有理数 $a$ 和 $b$ 都有 $f(a \cdot b) = f(a) + f(b)$。又设 $f$ 对每个质数 $p$ 都满足 $f(p) = p$。下列哪个数 $x$ 满足 $f(x) < 0$？

设 $f$ 是定义在正整数上的唯一函数，使得对所有正整数 $n$ 都有

其中求和取遍 $n$ 的所有正因数。$f(2023)$ 是多少？

奶奶刚烤好一大长方形烤盘的布朗尼。她打算用平行于烤盘边的直线切法，把它切成大小和形状都相同的长方形小块。每一刀都必须完整地切过整个烤盘。奶奶希望内部的块数和沿烤盘周边的块数相同。她最多能切出多少块布朗尼？

在 Coinland 州，硬币的面值是 $6$ 美分、$10$ 美分和 $15$ 美分。设 $x$ 是 Coinland 中不能用这些硬币恰好付清的最贵物品的价格（单位：美分）。$x$ 的各位数字之和是多少？

把一个标准的 6 面骰子掷 $n$ 次，掷出的 $n$ 个数之积共有 $936$ 种可能的值。$n$ 是多少？

正方形 $ABCD$ 的边长是 $4$。点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CD}$ 上，$AP = \frac{8}{5}$，$DQ = \frac{10}{3}$。一条路径从 $P$ 出发沿线段走到 $Q$，然后在 $ABCD$ 的边上反射继续前进（入射角与反射角相等）。如果路径碰到正方形的顶点，就在那里终止；否则它会永远走下去。路径在哪个顶点终止？

考虑所有分数 $\frac{x}{y}$ 构成的集合，其中 $x$ 和 $y$ 是互质的正整数。其中有多少个分数具有这样的性质：分子和分母都增加 $1$ 后，分数的值增加 $10\%$？

三只聪明的猴子分一堆香蕉。第一只猴子从堆里拿走一些香蕉，自己留下其中的四分之三，其余的平分给另外两只。第二只猴子从堆里拿走一些香蕉，自己留下其中的四分之一，其余的平分给另外两只。第三只猴子拿走堆里剩下的香蕉，自己留下其中的十二分之一，其余的平分给另外两只。已知每次分香蕉时每只猴子分到的都是整数个，并且最后第一、第二、第三只猴子拥有的香蕉数之比为 $3 : 2 : 1$，香蕉总数最少是多少？

存在唯一的严格递增非负整数数列 $a_1 < a_2 < \cdots < a_k$，使得

$k$ 是多少？

有多少个整数 $n$ 使 $\dfrac{n}{20 - n}$ 是某个整数的平方？

把数 $2013$ 表示成

的形式，其中 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ 和 $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ 都是正整数，并且 $a_1 + b_1$ 尽可能小。$|a_1 - b_1|$ 是多少？

对 $k > 0$，设 $I_k = 10\ldots064$，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。设 $N(k)$ 是 $I_k$ 的质因数分解中因数 $2$ 的个数。$N(k)$ 的最大值是多少？

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 $6$ 个面。每个骰子的各个面上分别印着从 $1$ 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出点数和为 $7$ 的概率是掷出点数和为 $10$ 的概率的 $\frac34$，而掷出点数和为 $12$ 的概率是 $\frac{1}{12}$。两个骰子的面数之和最少是多少？

有多少个满足 $m \ge n$ 的正整数有序对 $(m, n)$，使得它们的平方相差 $96$？

在小于或等于 $24$ 的正整数 $n$ 中，有多少个使 $n!$ 能被 $1 + 2 + \cdots + n$ 整除？

设 $\mathcal{S}$ 是在 $10$ 进制下最右边三位数字为 $256$ 的所有完全平方数的集合。设 $\mathcal{T}$ 是所有形如 $\frac{x - 256}{1000}$ 的数的集合，其中 $x$ 属于 $\mathcal{S}$。换句话说，$\mathcal{T}$ 是把 $\mathcal{S}$ 中每个数的最后三位数字去掉后得到的数的集合。求 $\mathcal{T}$ 中第十小的元素除以 $1000$ 的余数。

对每个整数 $n \ge 2$，设 $S_n$ 是所有乘积 $jk$ 之和，其中 $j$ 和 $k$ 是整数且 $1 \le j < k \le n$。使 $S_n$ 能被 $3$ 整除的最小的 $10$ 个 $n$ 之和是多少？

求满足下列条件的最大整数 $n$：

(i) $n^{2}$ 可以表示成两个连续立方数之差；

(ii) $2n + 79$ 是完全平方数。