代数 · 第 17 章

特殊数列

连续整数、奇数、平方数和立方数之和的公式，再加上裂项相消的和与积，以及会循环的数列。

这一章讲什么？

17.0 幂的和
17.1 裂项相消
17.2 练习题

你需要先会

在 YouTube 上打开

17.00%

幂的和

在本节中，你将能够 一步算出 1 + 2 + ⋯ + n、奇数之和、偶数之和、平方和与立方和。

棱长为 1 到 7 的七个正方体叠成一座塔。它的表面积其实是一个伪装起来的平方和，而一个公式就能把它们一次加完。

本节的每个公式都把一个很长的和变成一个简短的乘积。图形告诉你为什么：和的各部分拼在一起，正好是一个正方形或长方形，而这个图形的面积就是公式的结果。

注意：奇数就是让正方形长大的一层层 L 形，所以 $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ 。立方数是更大的 L 形，它们拼出边长为 $1 + 2 + \cdots + n$ 的正方形。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 奇数：按“再加一层”。你加上的是哪一个 L 形？现在得到的是哪个正方形？
试一试： 切换到“偶数”。为什么 2 + 4 + ⋯ + 2n 是一个 n × (n + 1) 的长方形，而不是正方形？
试一试： 平方数，n = 4：一份一份地加上去。最后的长方形有多宽、多高？
试一试： 立方数，n = 3：比较 1 + 8 + 27 和 (1 + 2 + 3)²。为什么每一层 L 形里恰好有 k³ 个小方格？

认识概念

定理 17.0.1 · 连续整数求和公式

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

定理 17.0.2 · 奇数求和公式

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

简单地说，前 $n$ 个奇数之和是 $n^2$ 。

定理 17.0.3 · 偶数求和公式

2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)

直观地想：把每一项里的 $2$ 提出来：

2(1 + 2 + 3 + \cdots + n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1).

定理 17.0.4 · 平方和公式

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

定理 17.0.5 · 立方和公式

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

自己做

习题 17.2.15（补充题）

AMC 10挑战

前 $m$ 个正奇数之和比前 $n$ 个正偶数之和大 $212$ 。 $n$ 的所有可能值之和是多少？

习题 17.2.3

AMC 10

体积分别为 $1$ 、 $8$ 、 $27$ 、 $64$ 、 $125$ 、 $216$ 和 $343$ 立方单位的七个正方体竖直叠成一座塔，从下到上正方体的体积依次减小。除最下面的正方体外，每个正方体的底面都完全落在它下面那个正方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

竞赛角真实竞赛题

习题 17.2.4

AMC 12

下面是一个整数三角阵的第 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 行：

\begin{array}{ccccccccc} &&&& 1 &&&& \\ &&& 1 && 1 &&& \\ && 1 && 3 && 1 && \\ & 1 && 5 && 5 && 1 & \\ 1 && 7 && 11 && 7 && 1 \end{array}

从第二行起，每一行的两端各放一个 $1$ ，每个内部的数比上一行中斜上方两个数之和大 $1$ 。第 $2023$ 行的 $2023$ 个数之和的个位数字是多少？

过关检测（第 17.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

17.10%

裂项相消

在本节中，你将能够 通过相邻项抵消来压缩很长的和与积，并识别会循环的数列。

分数 $\frac{1}{k^2 + k}$ 可以拆成 $\frac1k - \frac1{k+1}$ 。把一串这样的项加起来，几乎所有部分都会抵消。

裂项相消的和像一条链：每一项的后半部分和下一项的前半部分抵消，就像一节节收拢的望远镜。写出开头几项和最后几项，划掉相互抵消的部分，留下剩余的就行。

乘积也可以裂项相消：在 $\frac21 \cdot \frac32 \cdot \frac43$ 中，每个分子都和下一个分母约掉。

递推数列也可能绕回自身。一旦各项开始重复，像 $x_{975}$ 这样很大的下标其实只是一个伪装起来的小下标。找出周期，再把下标约小。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 一直按“抵消下一对”，直到不能再按为止。哪两块留了下来？
试一试： 改变“最后的 k”。留下的哪一块会变，哪一块不动？
试一试： 在“裂项相消”卡片上按“演示给我看”。随着最后的 k 越来越大，这个乘积趋向多少？

认识概念

概念 17.1.1 · 裂项相消

把开头几项和最后几项展开，把能抵消的项都消掉。

看例题先预测，再揭晓

例 17.1

AIME

数列定义为 $a_k = \dfrac{1}{k^2 + k}$ ， $k \ge 1$ 。已知 $a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} = \dfrac{1}{29}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 是正整数且 $m < n$ ，求 $m + n$ 。

1
把分母因式分解： $k^2 + k = k(k+1)$ 。哪两个简单分数的差等于 $\frac{1}{k(k+1)}$ ？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

在 YouTube 上打开

例 17.2

Omega Learn

数列 $a_n$ 定义为 $a_n = 3^{1+2+3+\cdots+n}$ ， $n$ 取所有正整数。Sohil 想计算下面这个式子： $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots$ 。因为字写得太潦草，他在所有形如 $\frac{a_n}{a_n + 1}$ 的分数（例如 $\frac{3^1}{3^1 + 1}, \frac{3^{(1+2)}}{3^{(1+2)} + 1}, \ldots$ ）前面，把乘号误写成了加号。新的式子的值是多少？

1
先求前几项： $a_1 = 3^1$ ， $a_2 = 3^{1+2}$ ， $a_3 = 3^{1+2+3}$ 。 $a_3$ 是多少？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

例 17.3

AIME

已知

\begin{aligned} x_1 &= 211, \\ x_2 &= 375, \\ x_3 &= 420, \\ x_4 &= 523, \text{ 且} \\ x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} + x_{n-3} - x_{n-4} \text{（当 } n \ge 5 \text{ 时）}, \end{aligned}

求 $x_{531} + x_{753} + x_{975}$ 的值。

1
算出下一项 $x_5 = x_4 - x_3 + x_2 - x_1$ 。

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

自己做

习题 17.2.1

AMC 8

求乘积

\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}\right)\left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\right)\left(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right) \cdots \left(\frac{97 \cdot 99}{98 \cdot 98}\right)\left(\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}\right)

的值。

习题 17.2.8（补充题）

AHSME

求和 $\dfrac{1}{1(3)} + \dfrac{1}{3(5)} + \cdots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots + \dfrac{1}{255(257)}$ 。

习题 17.2.12（补充题）

求值

\left(1 - \left(\frac13\right)^2\right)\left(1 - \left(\frac14\right)^2\right)\left(1 - \left(\frac15\right)^2\right) \cdots

竞赛角真实竞赛题

习题 17.2.2

AMC 10

设 $f(x) = x^2(1 - x)^2$ 。求和式

f\left(\frac{1}{2019}\right) - f\left(\frac{2}{2019}\right) + f\left(\frac{3}{2019}\right) - f\left(\frac{4}{2019}\right) + \cdots + f\left(\frac{2017}{2019}\right) - f\left(\frac{2018}{2019}\right)

的值。

习题 17.2.6（补充题）

AHSME

设 $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ ，且

P_n = \frac{T_2}{T_2 - 1} \cdot \frac{T_3}{T_3 - 1} \cdot \frac{T_4}{T_4 - 1} \cdot \cdots \cdot \frac{T_n}{T_n - 1}

（ $n = 2, 3, 4, \ldots$ ），那么 $P_{1991}$ 最接近下列哪个数？

习题 17.2.10（补充题）

AMC 10

斐波那契数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ 以两个 $1$ 开头，之后每一项都是前两项之和。在斐波那契数列各项的个位上，十个数字中哪一个最后出现？

习题 17.2.13（补充题）

AIME

选取一个整数数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ，使得对每个 $n \ge 3$ 都有 $a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$ 。如果前 $1492$ 项之和是 $1985$ ，前 $1985$ 项之和是 $1492$ ，那么这个数列前 $2001$ 项之和是多少？

习题 17.2.14（补充题）

AMC 12

设 $u_0 = \frac14$ ，对 $k \ge 0$ ， $u_{k+1}$ 由递推式

u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2

确定。这个数列趋向一个极限，记为 $L$ 。使

|u_k - L| \le \frac{1}{2^{1000}}

成立的 $k$ 的最小值是多少？

习题 17.2.5

AMC 10挑战

Hiram 的代数笔记共 $50$ 页，印在 $25$ 张纸上；第一张纸上是第 $1$ 页和第 $2$ 页，第二张纸上是第 $3$ 页和第 $4$ 页，依此类推。有一天，他去吃午饭前把笔记留在桌上，他的室友决定从笔记中间借走几页。Hiram 回来后发现，室友拿走的是连续的若干张纸，而剩下所有纸上的页码的平均数恰好是 $19$ 。室友借走了多少张纸？

过关检测（第 17.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

17.2

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用幂的求和公式、裂项相消和循环数列。

这五道题需要一个求和公式、一个裂项相消的乘积，或者一个你得证明出来的规律。每道题都有三条提示，卡住时可以用。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 17.2.7（补充题）

AMC 12

设 $A$ 是除 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 外没有其他质因数的正整数组成的集合。 $A$ 中元素的倒数构成的无穷和

\frac11 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \frac16 + \frac18 + \frac19 + \frac1{10} + \frac1{12} + \frac1{15} + \frac1{16} + \frac1{18} + \frac1{20} + \cdots

可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

习题 17.2.9（补充题）

AMC 12B

考虑一个由 $n$ 个正整数组成的递减数列 $x_1 > x_2 > \cdots > x_n$ ，它满足以下条件：数列前 $3$ 项的平均数是 $2025$ 。对所有 $4 < k < n$ ，前 $k$ 项的平均数比前 $k - 1$ 项的平均数小 $1$ 。 $n$ 的最大可能值是多少？

习题 17.2.11（补充题）

AIME

如果一个由三个整数组成的严格递增等差数列满足：三项的平方和等于中间项与公差平方的乘积，就称它为“特殊”数列。求所有特殊数列的第三项之和。

习题 17.2.16（补充题）

AIME挑战

数列 $\{a_n\}$ 定义为

a_0 = 1, \quad a_1 = 1, \quad \text{且} \quad a_n = a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \text{（} n \ge 2 \text{）}.

数列 $\{b_n\}$ 定义为

b_0 = 1, \quad b_1 = 3, \quad \text{且} \quad b_n = b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \text{（} n \ge 2 \text{）}.

求 $\dfrac{b_{32}}{a_{32}}$ 。

习题 17.2.17（补充题）

AIME挑战

由 $a_{n+2} = \dfrac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ （ $n \ge 1$ ）定义的数列 $(a_i)$ 的各项都是正整数。求 $a_1 + a_2$ 的最小可能值。