特殊数列：全部习题

求乘积

的值。

设 $f(x) = x^2(1 - x)^2$。求和式

的值。

体积分别为 $1$、$8$、$27$、$64$、$125$、$216$ 和 $343$ 立方单位的七个正方体竖直叠成一座塔，从下到上正方体的体积依次减小。除最下面的正方体外，每个正方体的底面都完全落在它下面那个正方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

下面是一个整数三角阵的第 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 行：

从第二行起，每一行的两端各放一个 $1$，每个内部的数比上一行中斜上方两个数之和大 $1$。第 $2023$ 行的 $2023$ 个数之和的个位数字是多少？

Hiram 的代数笔记共 $50$ 页，印在 $25$ 张纸上；第一张纸上是第 $1$ 页和第 $2$ 页，第二张纸上是第 $3$ 页和第 $4$ 页，依此类推。有一天，他去吃午饭前把笔记留在桌上，他的室友决定从笔记中间借走几页。Hiram 回来后发现，室友拿走的是连续的若干张纸，而剩下所有纸上的页码的平均数恰好是 $19$。室友借走了多少张纸？

设 $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$，且

（$n = 2, 3, 4, \ldots$），那么 $P_{1991}$ 最接近下列哪个数？

设 $A$ 是除 $2$、$3$、$5$ 外没有其他质因数的正整数组成的集合。$A$ 中元素的倒数构成的无穷和

可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

求和 $\dfrac{1}{1(3)} + \dfrac{1}{3(5)} + \cdots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \cdots + \dfrac{1}{255(257)}$。

考虑一个由 $n$ 个正整数组成的递减数列 $x_1 > x_2 > \cdots > x_n$，它满足以下条件：数列前 $3$ 项的平均数是 $2025$。对所有 $4 < k < n$，前 $k$ 项的平均数比前 $k - 1$ 项的平均数小 $1$。$n$ 的最大可能值是多少？

斐波那契数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ 以两个 $1$ 开头，之后每一项都是前两项之和。在斐波那契数列各项的个位上，十个数字中哪一个最后出现？

如果一个由三个整数组成的严格递增等差数列满足：三项的平方和等于中间项与公差平方的乘积，就称它为“特殊”数列。求所有特殊数列的第三项之和。

求值

选取一个整数数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$，使得对每个 $n \ge 3$ 都有 $a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$。如果前 $1492$ 项之和是 $1985$，前 $1985$ 项之和是 $1492$，那么这个数列前 $2001$ 项之和是多少？

设 $u_0 = \frac14$，对 $k \ge 0$，$u_{k+1}$ 由递推式

确定。这个数列趋向一个极限，记为 $L$。使

成立的 $k$ 的最小值是多少？

前 $m$ 个正奇数之和比前 $n$ 个正偶数之和大 $212$。$n$ 的所有可能值之和是多少？

数列 $\{a_n\}$ 定义为

数列 $\{b_n\}$ 定义为

求 $\dfrac{b_{32}}{a_{32}}$。

由 $a_{n+2} = \dfrac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$（$n \ge 1$）定义的数列 $(a_i)$ 的各项都是正整数。求 $a_1 + a_2$ 的最小可能值。