16. 等比数列 · Mastering AMC 10/12

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等比数列的项

在本节中，你将能够 认出公比，用 $g_n = g_1 r^{n-1}$ 直接跳到任意一项，并且不求 $r$ 也能把两项联系起来。

两个数列的公比相同：一个从 27 开始，另一个从 99 开始，第一个数列的第 15 项等于第二个数列的第 11 项。求第一个数列的第 9 项。你根本不需要求出公比本身。

在等差数列中，你每次加上同一个数。在等比数列中，你每次乘以同一个数：这个数就是公比 $r$ 。

从第 1 项走到第 $n$ 项，恰好要乘以 $r$ 共 $n - 1$ 次。所以 $g_n = g_1 r^{n-1}$ 。同样的想法可以联系任意两项： $g_n = g_m r^{n-m}$ 。

注意：三个等间隔的项中，中间那一项是两端两项的等比中项： $g_8^2 = g_5 \cdot g_{11}$ ，因为两边都等于 $g_1^2 r^{14}$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把项数 n 从 1 调到 6。每根柱子是前一根的多少倍？读一读 g₆ = 3 × 2⁵：为什么指数是 5，而不是 6？
试一试： 把公比设为 −2。各项的符号会怎样？大小还是每次翻倍吗？
试一试： 把公比设为 1/2。各项在变小，但每次都缩小相同的倍数。这个倍数仍然是公比。

认识概念

定义 16.0.1 · 等比数列

等比数列是相邻两项之比都相同的一列数。

1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots, 1024

是一个等比数列，因为相邻两项之比总是 $2$ 。

定义 16.0.2 · 等比数列的记号

一般地，等比数列的各项可以记作

g_1, g_2, g_3, g_4, \ldots, g_n

其中

$r$ 是相邻两项的公比
$n$ 是项数

定理 16.0.4 · 等比数列的第 n 项

通项公式：

g_n = g_1 \cdot r^{n-1}

g_n = g_m \cdot r^{n-m}

看例题先预测，再揭晓

例 16.1

AIME

两个等比数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 和 $b_1, b_2, b_3, \ldots$ 的公比相同，且 $a_1 = 27$ ， $b_1 = 99$ ， $a_{15} = b_{11}$ 。求 $a_9$ 。

1
设公比为 $r$ 。用第 $n$ 项公式写出 $a_{15}$ 和 $b_{11}$ 。

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自己做

习题 16.1.1

MATHCOUNTS

一个各项都是正数的等比数列，第五项是 $11$ ，第十一项是 $5$ 。这个数列的第八项是多少？

习题 16.1.2

MATHCOUNTS

一个等差数列的第三项和第四项，分别是一个等比数列的第一项和第二项。如果这个等差数列的前两项是 $5, 2$ ，那么这个等比数列的第四项是多少？

习题 16.1.3

MATHCOUNTS

数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 按此顺序构成一个等比数列。如果 $b$ 比 $a$ 大 3， $c$ 比 $b$ 大 9，那么 $d$ 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 16.2.1（补充题）

AIME

如果一个 3 位数的 3 个数字互不相同，并且从左往右读构成一个等比数列，就称它为“等比数”。求最大的等比数与最小的等比数之差。

习题 16.2.5（补充题）

AMC 10

正整数 $a$ 、 $b$ 和 $2009$ 满足 $a < b < 2009$ ，它们构成一个公比为整数的等比数列。 $a$ 是多少？

习题 16.2.6（补充题）

AIME

在一个由四个正整数组成的递增数列中，前三项构成等差数列，后三项构成等比数列，并且第一项与第四项相差 $30$ 。求这四项之和。

过关检测（第 16.0a 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

16.0b0%

等比级数

在本节中，你将能够 一行算出等比数列的和，并在 $|r| < 1$ 时求出无穷多项的和。

一个无穷级数的和是 2005。把每一项平方，新级数的和是原来的十倍。原来的公比是多少？

要计算 $g_1 + g_1 r + \cdots + g_1 r^{n-1}$ ，把这个和乘以 $r$ 再相减（错位相减）。几乎所有项都抵消了，于是得到 $S_n = g_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$ 。

当 $|r| < 1$ 时， $r^n$ 越来越接近 0，累计和就稳定在 $\frac{g_1}{1 - r}$ 。当 $|r| \ge 1$ 时，它永远不会稳定下来。

注意：把等比级数的每一项平方，得到的仍是等比级数，首项为 $g_1^2$ ，公比为 $r^2$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 设 r = 1/2，逐步增大 n。每加一项后，累计和离 2 还差多少？这个差距会怎样变化？
试一试： 试试 r = 1 和 r = −1。为什么极限线消失了？
试一试： 打开“把每一项平方”。各项的平方构成一个新的等比级数：它的公比是多少？和是多少？

认识概念

定理 16.0.5 · 有限等比数列所有项的和

当 $r \ne 1$ 时，

S_n = g_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

定理 16.0.6 · 无穷等比数列所有项的和

当 $-1 < r < 1$ 时，

S_\infty = \frac{g_1}{1 - r}

看例题先预测，再揭晓

例 16.2

AIME

对于 $-1 < r < 1$ ，设 $S(r)$ 表示等比级数

12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots

的和。设 $-1$ 与 $1$ 之间的数 $a$ 满足 $S(a)S(-a) = 2016$ 。求 $S(a) + S(-a)$ 。

1
用无穷级数求和公式。 $S(r)$ 写成分数是什么？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 16.3

AIME

一个无穷等比级数的和是 2005。把原级数的每一项平方得到一个新级数，它的和是原级数之和的 10 倍。原级数的公比是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的整数。求 $m + n$ 。

1
设首项为 $a$ ，公比为 $r$ 。“和是 2005”给出什么方程？

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自己做

习题 16.2.4（补充题）

AMC 10

一个无穷等比级数的和是正数 $S$ ，级数的第二项是 $1$ 。 $S$ 的最小可能值是多少？

习题 16.2.8（补充题）

设 $p$ 和 $q$ 是实数， $|p| < 1$ ， $|q| < 1$ ，并且

p + pq + pq^2 + pq^3 + \cdots = 2 \quad\text{且}\quad q + qp + qp^2 + qp^3 + \cdots = 3.

求 $100pq$ 。

竞赛角真实竞赛题

习题 16.2.2（补充题）

AIME

一个等比数列的前 $2011$ 项之和是 $200$ ，前 $4022$ 项之和是 $380$ 。求前 $6033$ 项之和。

习题 16.2.3（补充题）

AIME

设 $n$ 是正整数， $d$ 是十进制中的一个一位数字。如果

\frac{n}{810} = 0.d25d25d25\ldots

求 $n$ 。

首项 g₁9/25

公比 r1/100

项数 n4

各项： 9/25, 9/2500, 9/250000, ≈ 3.600e-7

每加一项后的累计和

g₄ = 9/25 × (1/100)³ = ≈ 3.600e-7

g_n = g_1 \cdot r^{n-1}

S₄ = ≈ 0.3636

S_n = g_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

极限 4/11；还差 ≈ 3.636e-9

S_\infty = \frac{g_1}{1-r} = \tfrac{4}{11}

习题 16.2.10（补充题）

AIME挑战

两个不同的实数无穷等比级数，和都是 $1$ ，并且第二项相同。其中一个级数的第三项是 $1/8$ ，两个级数的第二项都可以写成 $\frac{\sqrt{m} - n}{p}$ 的形式，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数，且 $m$ 不能被任何质数的平方整除。求 $100m + 10n + p$ 。

过关检测（第 16.0b 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

16.1

练习题

在本节中，你将能够 在同一道题中综合运用等差数列和等比数列。

有些题目同时给你一个等差数列和一个等比数列，它们有公共的项。把每个条件写成方程，再用“必须是整数”来缩小范围。

第 16.1 节的其他练习题就是第 16.0a 节中“自己做”的题目。想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 16.1.4

MATHCOUNTS

正整数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 构成一个等差数列，而整数 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 构成一个等比数列。如果 $\frac{C}{B} = \frac53$ ，那么 $A + B + C + D$ 的最小可能值是多少？

16.2

补充习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题上运用本章的全部内容。

最后两个挑战：一场得分构成数列的篮球赛，以及一个在等比与等差两种步骤之间交替的 AIME 数列。先写出前几项，再找规律。

其余的补充习题分布在第 16.0a 节和第 16.0b 节中，紧挨着它们用到的知识。

竞赛角真实竞赛题

习题 16.2.7（补充题）

AMC 12

在一场高中篮球赛中，Raiders 队和 Wildcats 队在第一节结束时打平。Raiders 队四节的得分依次构成一个递增的等比数列，Wildcats 队四节的得分依次构成一个递增的等差数列。第四节结束时，Raiders 队以一分之差获胜。两队的得分都没有超过 $100$ 分。两队上半场的总得分是多少？

习题 16.2.9（补充题）

AIME挑战

一个正整数数列满足 $a_1 = 1$ 且 $a_9 + a_{10} = 646$ ，它的构造方式是：前三项成等比数列，第二、三、四项成等差数列；一般地，对所有 $n \ge 1$ ， $a_{2n-1}, a_{2n}, a_{2n+1}$ 成等比数列， $a_{2n}, a_{2n+1}$ 和 $a_{2n+2}$ 成等差数列。设 $a_n$ 是这个数列中小于 $1000$ 的最大项。求 $n + a_n$ 。