代数 · 第 15 章

等差数列

一次次加上同一个数：求任意一项、数出项数，再用高斯配对法一口气求出所有项的和。

这一章讲什么？

15.0 等差数列
15.1 练习题

你需要先会

12.5 列方程与联立方程

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15.00%

等差数列

在本节中，你将能够 求出等差数列的任意一项，数出它的项数，并快速求出所有项的和。

从 1 开始，不断加上 $k$ 。 $k$ 取哪些值时，你会恰好落在 2005 上？先在互动工具里试几个值，再往下读。

等差数列每一步都加上同一个数 $d$ 。这一个事实就给了你三件工具：任意一项、项数，以及总和。

记住：关于某一项的每个问题，其实都是关于步数的问题。从 $a_1$ 到 $a_n$ 要走 $n - 1$ 步，每步长 $d$ 。

求和时，把首项和末项配成一对。每一对的和都相同，所以平均数就是 $\frac{\text{首项} + \text{末项}}{2}$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 d 设为 4。2005 是数列中的项吗？再试试 d = 5、6 和 12。可行的 d 有什么共同点？
试一试： 把“查看第 k 项”一次加 1。从 a₁ 到 a_k 要走多少步 d？
试一试： 打开“显示平均数与和”。为什么表示平均数的虚线正好在第一根柱子和最后一根柱子的中间？
试一试： 在下面的求和定理卡片里，按“折叠：加上倒序副本”。一共有多少列？每列有多高？

认识概念

定义 15.0.1 · 等差数列

等差数列是相邻两项之差都相同的数列。

1, 4, 7, 10, 13, \dots, 40

是一个等差数列，因为相邻两项之差总是 $3$ 。

定义 15.0.3 · 等差数列的记号

一般地，等差数列的各项可以写成

a_1, a_2, a_3, a_4, \dots, a_n

其中

$d$ 是相邻两项的公差
$n$ 是项数

定理 15.0.4 · 等差数列的第 $n$ 项

a_n = a_1 + (n - 1)d

a_n = a_m + (n - m)d

定理 15.0.5 · 等差数列的项数

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1

用文字表示：

\text{项数} = \frac{\text{末项} - \text{首项}}{\text{公差}} + 1

定理 15.0.6 · 等差数列各项的平均数

\text{各项的平均数} = \frac{a_1 + a_n}{2}

定理 15.0.7 · 等差数列所有项的和

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n

代入 $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ，得到

S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \times n

看例题先预测，再揭晓

例 15.1

AIME

对每个正整数 $k$ ，设 $S_k$ 表示首项为 $1$ 、公差为 $k$ 的递增整数等差数列。例如， $S_3$ 是数列 $1, 4, 7, 10, \dots$ 。有多少个 $k$ 的值，使得 $S_k$ 中含有 $2005$ 这一项？

1
$S_k$ 的第 $m$ 项是多少？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 15.2

AIME

把整数 $k$ 分别加到 $36$ 、 $300$ 和 $596$ 上，得到的是一个等差数列中连续三项的平方。求 $k$ 。

1
把这连续三项记作 $a - d$ 、 $a$ 、 $a + d$ 。你会得到哪三个方程？

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自己做

习题 15.1.5

AMC 10

一位杂货店老板用罐头摆了一个展台：最上面一排有一个罐头，往下每一排都比上一排多两个罐头。如果展台上一共有 $100$ 个罐头，那么它有多少排？

习题 15.1.1

AMC 10

和为 $45$ 的连续整数最多有多少个？

习题 15.1.7

AMC 10

设 $\{a_n\}$ 是一个等差数列，满足

a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100 \text{ 且 } a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.

$a_2 - a_1$ 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 15.1.2

AMC 10

把 $345$ 写成两个或更多个连续正整数组成的递增数列之和，有多少种方法？

习题 15.1.4

AMC 10

在图中的五角星里，字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 分别换成数 $3$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $9$ ，但不一定按这个顺序。线段 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{DE}$ 、 $\overline{EA}$ 两端的数之和构成一个等差数列，但不一定按这个顺序。这个等差数列的中间项是多少？

习题 15.1.6

AIME

一个等差数列各项之和为 $715$ 。把这个数列的第一项加上 $1$ ，第二项加上 $3$ ，第三项加上 $5$ ，一般地，第 $k$ 项加上第 $k$ 个正奇数。新数列各项之和为 $836$ 。求原数列的首项、末项和中间项之和。

习题 15.1.8（补充题）

AMC 10

Mary 把一个圆分成 $12$ 个扇形。这些扇形的圆心角（以度为单位）都是整数，并且构成一个等差数列。最小的扇形圆心角最小可能是多少度？

习题 15.1.10（补充题）

AIME

一个凸 $18$ 边形各内角的度数构成一个取整数值的递增等差数列。求最小角的度数。

过关检测（第 15.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

15.1

练习题

在本节中，你将能够 把等差数列和平均数、多项式以及隐藏的二次式结合起来解题。

这些题把等差数列藏了起来：藏在一个集合的平均数里、三角形的内角里、多项式的根里，或者两个数列的乘积里。每道题都有三条提示，卡住了就看看。

想在一页上看到本章的所有习题？打开习题集。

综合练习

习题 15.1.11（补充题）

已知多项式 $x^5 - 5x^4 - 35x^3 + ax^2 + bx + c$ 的根构成一个等差数列，求它的根。

竞赛角真实竞赛题

习题 15.1.3

AMC 10/12

设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果把 $S$ 中最大的整数从 $S$ 中去掉，剩下整数的平均值（算术平均数）是 $32$ 。如果再去掉 $S$ 中最小的整数，剩下整数的平均值是 $35$ 。如果接着把最大的整数放回集合，这些整数的平均值升到 $40$ 。原集合 $S$ 中最大的整数比 $S$ 中最小的整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

习题 15.1.9（补充题）

AMC 10

有多少个互不相似的三角形，其各角的度数是成等差数列的互不相同的正整数？

习题 15.1.12（补充题）

AIME挑战

数列 $1440, 1716, 1848, \ldots$ 的各项是把两个等差数列的对应项相乘得到的。求它的第八项。