14. 多项式的根 · Mastering AMC 10/12

14.10%

用根表示多项式

在本节中，你将能够 用根写出多项式，并且用代入代替除法来求余数。

用长除法把 $x^{51} + 51$ 除以 $x + 1$ 要做 51 轮。代入 $x = -1$ 只要一步。

一个多项式由它的根和首项系数完全确定： $P(x) = a_n(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)$ 。所以像 $(k - r_1)(k - r_2)\cdots(k - r_n)$ 这样的乘积，其实就是 $\frac{P(k)}{a_n}$ 。

除以 $x - r$ 时，余数是一个数，而这个数就是 $P(r)$ 。综合除法能让你看到这一点：最下面一行的最后一格总是等于 $P(r)$ 。它等于 $0$ 时，你就找到了一个因式。

动手探索先玩，再学公式

r4

P(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6

除以

x - 4

x³1

x²-6

x11

常数项-6

P(x) 除以 x - 4 的综合除法：系数、乘积和最下面一行
4	1	-6	11	-6
4

捷径：代入 x = 4

P(4) = 4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 - 6

余数 = ?

试一试： 按“播放”，用 x³ − 6x² + 11x − 6 除以 x − 4。余数是多少？再按“求值”：P(4) 和它一样吗？
试一试： 把 r 分别设成 1、2、3。余数为 0 说明 x − r 是什么？
试一试： 试试 r = 0。为什么余数总是常数项？

认识概念

定理 14.1.1 · 用根表示多项式

多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

可以写成

a_n(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)\cdots(x - r_n),

其中 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ 是这个多项式的 $n$ 个根。

推论 14.1.2 · 用根表示首一多项式

多项式

P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

（首项系数是 $1$ ）可以写成

(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)\cdots(x - r_n),

其中 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ 是这个多项式的 $n$ 个根。

概念 14.1.3 · 求差的乘积

如果题目要求像 $(k - r)(k - s)(k - t)$ 这样的式子，其中 $r$ 、 $s$ 、 $t$ 是一个首一多项式 $P$ 的根，那么由上面的表示，它就是 $P(k)$ 。对于不是首一的多项式，方法一样，只是这个乘积等于

\frac{P(k)}{a_n},

其中 $a_n$ 是 $x^n$ 项的系数。

次数3

首项系数 a1

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6

r = 1,\; s = 2,\; t = 3

和

r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6

2 个根之积的和

rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{11}{1} = 11

积

rst = -\frac{d}{a} = -\frac{-6}{1} = 6

求值

P(\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2} - 1)(\frac{9}{2} - 2)(\frac{9}{2} - 3) = \frac{105}{8}

定理 14.1.4 · 代数基本定理

一个 $n$ 次多项式（最高次项的次数是 $n$ ）在计入重数的情况下恰有 $n$ 个复数根。例如，一个重根算作 $2$ 个根。

定理 14.1.5 · 余数定理

多项式 $P(x)$ 除以 $x - r$ 的余数是 $P(r)$ 。

推论 14.1.6 · 因式定理

如果 $P(r) = 0$ ，那么 $x - r$ 整除多项式 $P(x)$ 。这是余数定理的直接推论。

看例题先预测，再揭晓

例 14.1

AHSME

求 $x^{51} + 51$ 除以 $x + 1$ 的余数。

P(x) = x^{51} + 51

除以

x + 1

P(x) 除以 x + 1 的综合除法：系数、乘积和最下面一行
-1	1	0 ⋯ 050 个 0	51
-1

捷径：代入 x = -1

P(-1) = (-1)^{51} + 51

余数 = ?

1
用 $x + 1$ 做长除法要做 $51$ 轮。哪个定理能让你跳过它？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 14.2

USAMO

多项式方程 $x^4 - 18x^3 + kx^2 + 200x - 1984 = 0$ 有 $2$ 个根的积是 $-32$ 。求 $k$ 。

1
由韦达定理，四个根的积是多少？

先预测一下：
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例 14.3

AIME

对于互不相同的复数 $z_1, z_2, \ldots, z_{673}$ ，多项式

(x - z_1)^3(x - z_2)^3 \cdots (x - z_{673})^3

可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018} + 19x^{2017} + g(x)$ ，其中 $g(x)$ 是一个复系数多项式，次数至多为 $2016$ 。和

\left| \sum_{1 \le j < k \le 673} z_j z_k \right|

可以表示为 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

1
这个多项式有 $2019$ 个根：每个 $z_j$ 出现三次。由韦达定理，它们的和是 $-20$ 。 $S = z_1 + z_2 + \cdots + z_{673}$ 是多少？

先预测一下：
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自己做

习题 14.5.3（补充题）

AHSME

设 $P(x)$ 是一个多项式， $P(x)$ 除以 $x - 19$ 的余数是 $99$ ， $P(x)$ 除以 $x - 99$ 的余数是 $19$ 。 $P(x)$ 除以 $(x - 19)(x - 99)$ 的余数是什么？

习题 14.4.1

AMC 10

这道题在书中还以 13.2.8 的编号出现。

设函数 $f$ 满足 $f\left(\frac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$ 。求使 $f(3z) = 7$ 的所有 $z$ 值之和。

竞赛角真实竞赛题

习题 14.4.3

AMC 10

这道题在书中还以 13.2.13 的编号出现。

对于某些实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，多项式

g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10

有三个互不相同的根，并且 $g(x)$ 的每个根也都是多项式

f(x) = x^4 + x^3 + bx^2 + 100x + c

的根。 $f(1)$ 是多少？

习题 14.4.4

AMC 10/12

设 $P(x)$ 是有理系数多项式， $P(x)$ 除以多项式 $x^2 + x + 1$ 的余数是 $x + 2$ ， $P(x)$ 除以多项式 $x^2 + 1$ 的余数是 $2x + 1$ 。具有这两个性质且次数最低的多项式是唯一的。这个多项式各项系数的平方和是多少？

习题 14.4.5

AMC 10

设 $P(x)$ 是具有以下性质且次数最低的唯一多项式：

$P(x)$ 的首项系数是 $1$ ，
$1$ 是 $P(x) - 1$ 的根，
$2$ 是 $P(x - 2)$ 的根，
$3$ 是 $P(3x)$ 的根，并且
$4$ 是 $4P(x)$ 的根。

$P(x)$ 的根中除了一个以外都是整数。那个不是整数的根可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

过关检测（第 14.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.20%

对称多项式

在本节中，你将能够 解偶数次的对称多项式：除以中间那一项的幂，再代入 y = x + 1/x。

$x + \frac1x = \sqrt5$ ，求 $x^{11} - 7x^7 + x^3$ 。你根本用不着求出 $x$ 本身。

看 $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1$ ：它的系数正着读和倒着读一样。这就是一个对称多项式。

除以 $x^2$ ，各项就两两配对： $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 和 $x + \frac1x$ 。它们都是关于 $y = x + \frac1x$ 的多项式，所以一个 4 次方程就变成了二次方程。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“除以 x^2”。哪些项能配成 x^k 和 1/x^k 的一对？
试一试： 改写成 y 的式子。剩下的是关于 y 的哪个二次式？解出它。
试一试： 每个 y 都给出一个关于 x 的二次方程。为什么 y = 2 只给出 x = 1？

认识概念

定义 14.2.1 · 对称多项式

如果多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

满足

a_n = a_0,\quad a_{n-1} = a_1,\quad a_{n-2} = a_2,\quad a_{n-3} = a_3,\ \ldots

就称它是对称的。简单地说，首尾对应位置的系数相等。

概念 14.2.2 · 解偶数次的对称多项式方程

要解一个偶数次的对称多项式 $P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ：

除以 $x^{n/2}$ 。
把 $x^k$ 项和 $\frac{1}{x^k}$ 项放在一起。
换元

y = x + \frac{1}{x},

把式子中的每一项都用 $y$ 表示。

解出降次后的多项式。

看例题先预测，再揭晓

例 14.4

AMC 10

实数 $x$ 满足方程 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ 。 $x^{11} - 7x^7 + x^3$ 的值是多少？

1
提出 $x^7$ 。括号里剩下什么？

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例 14.5

Omega Learn

求出 $10000x^4 - 5000x^3 + 825x^2 - 50x + 1 = 0$ 的两个根。

1
这些系数不对称，但比较一下： $10000$ 和 $1$ ， $5000$ 和 $50$ 。哪个 $k$ 能使 $10000 = k^2 \cdot 1$ 且 $5000 = k \cdot 50$ ？

先预测一下：
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竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.7（补充题）

AIME挑战

这道题在书中还以 12.6.25 的编号出现。

方程 $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0$ 恰有两个实根，其中一个是 $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $r$ 是整数， $m$ 和 $r$ 互质，且 $r > 0$ 。求 $m + n + r$ 。

过关检测（第 14.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.30%

多项式变换

在本节中，你将能够 构造根被取倒数或被平移的新多项式，并用牛顿和计算根的幂和。

要求 $\frac1r + \frac1s + \frac1t$ ？把系数倒过来，从新多项式上直接读出答案。

很多时候你并不需要求出根，只需要一个有合适的根的多项式。把系数倒过来排，每个根 $r$ 就变成 $\frac1r$ 。把 $x$ 换成 $x - k$ ，每个根就都增大 $k$ 。

对于幂和 $r^k + s^k + t^k$ ，牛顿和用系数和前面的幂和求出每一个。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“下一行”。S₁ 只用到 a₃ 和 a₂。求 S₂ 时又多用到哪个系数？
试一试： 根是 1、2、3。每个 S_k 都等于 1 + 2^k + 3^k 吗？和检验那一栏比一比。
试一试： 加上第 5 行。为什么 k 大于次数之后，k·a 那一项就消失了？

认识概念

概念 14.3.1 · 倒数根

如果

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

的根是 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，那么

Q(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n

的根是

\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \ldots, \frac{1}{r_n}.

把一个多项式的系数倒过来排，它的根就变成原来各根的倒数。

次数3

首项系数 a1

P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 4) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8

r = -2,\; s = 1,\; t = 4

和

r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3

2 个根之积的和

rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6

积

rst = -\frac{d}{a} = -\frac{8}{1} = -8

倒数根

Q(x) = 8x^{3} - 6x^{2} - 3x + 1

\text{根：} -\frac{1}{2},\ 1,\ \frac{1}{4}

概念 14.3.2 · 根增大或减小

如果

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

的根是 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，那么

Q(x) = a_n (x - k)^n + a_{n-1}(x - k)^{n-1} + \cdots + a_1(x - k) + a_0

的根是

r_1 + k, r_2 + k, r_3 + k, \ldots, r_n + k.

次数3

首项系数 a1

平移 k2

P(x) = (x + 2)x(x - 1) = x^{3} + x^{2} - 2x

r = -2,\; s = 0,\; t = 1

和

r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1

2 个根之积的和

rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2

积

rst = -\frac{d}{a} = -\frac{0}{1} = 0

平移

Q(x) = P(x - 2) = x^{3} - 5x^{2} + 6x

\text{根：} 0,\ 2,\ 3

注 14.3.4

求关于根的复杂式子时，多项式变换很有用。例如，对于根为 $r, s, t$ 的多项式，要求

\frac{1}{(r - 3)^3} + \frac{1}{(s - 3)^3} + \frac{1}{(t - 3)^3},

不要展开后用韦达定理硬算。而是构造一个根为

\frac{1}{r - 3}, \frac{1}{s - 3}, \frac{1}{t - 3}

的新多项式，再用常规的韦达技巧求它的根的立方和。一种方法是在新多项式中利用因式分解 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right)$ 。

定理 14.3.5 · 牛顿和

设 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 的根是 $r_1, r_2, \ldots, r_n$ ，并设

S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k.

那么

\begin{aligned} a_n S_1 + a_{n-1} &= 0 \\ a_n S_2 + a_{n-1}S_1 + 2a_{n-2} &= 0 \\ a_n S_3 + a_{n-1}S_2 + a_{n-2}S_1 + 3a_{n-3} &= 0 \end{aligned}

依此类推。这里当 $j$ 为负数时 $a_j = 0$ （ $k > n$ 时会遇到这种情况）。

用文字说：

用首项系数 $a_n$ 乘 $S_k$ 。
用下一个系数 $a_{n-1}$ 乘 $S_{k-1}$ ，再用 $a_{n-2}$ 乘 $S_{k-2}$ ，依此类推，把这些乘积加起来。
到 $S_0$ 时停下：不乘 $S_0$ ，而是把最后那个系数乘以 $k$ 。（如果系数先用完了，就直接停下。）
令总和等于 $0$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 14.6

AMC 12

设 $g(x)$ 是首项系数为 $1$ 的多项式，它的三个根是 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 的三个根的倒数，其中 $1 < a < b < c$ 。用 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 表示 $g(1)$ 。

P(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 4

r \approx -1.651,\; s \approx -0.175 + 1.547i,\; t \approx -0.175 - 1.547i

和

r + s + t = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2

2 个根之积的和

rs + rt + st = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3

积

rst = -\frac{d}{a} = -\frac{4}{1} = -4

求值

Q(1) = ?

倒数根

Q(x) = x^{3} + \frac{3}{4}x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}

\text{根：} \approx -0.606,\ \approx -0.072 - 0.638i,\ \approx -0.072 + 0.638i

1
由概念 14.3.1，把 $f$ 的系数倒过来。哪个多项式的根是 $\frac1r, \frac1s, \frac1t$ ？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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自己做

习题 14.5.1（补充题）

AHSME

已知方程 $x^2 + kx + 6 = 0$ 和 $x^2 - kx + 6 = 0$ 。如果把两个方程的根适当排列后，第二个方程的每个根都比第一个方程对应的根大 $5$ ，那么 $k$ 等于：

习题 14.4.2

AIME

这道题在书中还以 13.2.12 的编号出现。

设 $x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = 0$ 的根是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $x^3 + rx^2 + sx + t = 0$ 的根是 $a + b$ 、 $b + c$ 、 $c + a$ 。求 $t$ 。

竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.4（补充题）

AIME

方程 $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ 的实根可以写成 $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数。求 $a + b + c$ 。

习题 14.5.5（补充题）

AIME

设 $x_1 < x_2 < x_3$ 是方程 $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ 的三个实根。求 $x_2(x_1 + x_3)$ 。

习题 14.5.2（补充题）

AMC 10

方程

\sqrt{5|x| + 8} = \sqrt{x^2 - 16}

所有根的积是多少？

过关检测（第 14.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

14.4

练习题

在本节中，你将能够 在一道较难的竞赛题上把根、余数和符号结合起来使用。

其他练习题放在了它们所用工具所在的课里。这一道题要看两个多项式之比的符号：它在哪里为零，在哪里没有定义，又在哪里变号。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 14.4.6

AMC 12挑战

多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是 $3$ 次的，首项系数都是 $1$ ，并且它们的根都是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中的元素。函数 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 具有如下性质：存在实数 $a < b < c < d$ ，使得满足 $f(x) \le 0$ 的所有实数 $x$ 组成的集合恰好是闭区间 $[a, b]$ 与开区间 $(c, d)$ 的并。可能的函数 $f(x)$ 有多少个？

14.5

补充习题

在本节中，你将能够 在挑战题上综合运用本章的所有思路。

重根、复合函数 $P(P(x))$ 和函数方程。卡住时，每道题都有三条提示。

先找隐藏的因式：一个可以代入的根、一个完全平方，或者一个能让多项式变简单的平移。

竞赛角真实竞赛题

习题 14.5.6（补充题）

AMC 12

$y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 4x^3 + ax^2$ 的图像除了在三个 $x$ 值处与直线 $y = bx + c$ 相交以外，都位于这条直线的上方。这三个值中最大的是多少？

习题 14.5.8（补充题）

AIME挑战

设 $P(x)$ 是一个非零多项式，对每个实数 $x$ 都有 $(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)$ ，并且 $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$ 。那么 $P\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 14.5.9（补充题）

AIME挑战

设 $P(x)$ 是一个复系数二次多项式，它的 $x^2$ 系数是 $1$ 。假设方程 $P(P(x)) = 0$ 有四个互不相同的解 $x = 3, 4, a, b$ 。求 $(a + b)^2$ 所有可能值之和。

习题 14.5.10（补充题）

AMC 10挑战

一个实系数、首项系数为 $1$ 的二次多项式，如果方程 $p(p(x)) = 0$ 恰好有三个实数解，就称它是不敬的。在所有不敬的二次多项式中，有唯一一个多项式 $\tilde{p}(x)$ 使其根的和最大。 $\tilde{p}(1)$ 是多少？