多项式的根：全部习题

设函数 $f$ 满足 $f\left(\frac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1$。求使 $f(3z) = 7$ 的所有 $z$ 值之和。

设 $x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = 0$ 的根是 $a$、$b$、$c$，$x^3 + rx^2 + sx + t = 0$ 的根是 $a + b$、$b + c$、$c + a$。求 $t$。

对于某些实数 $a$、$b$、$c$，多项式

有三个互不相同的根，并且 $g(x)$ 的每个根也都是多项式

的根。$f(1)$ 是多少？

设 $P(x)$ 是有理系数多项式，$P(x)$ 除以多项式 $x^2 + x + 1$ 的余数是 $x + 2$，$P(x)$ 除以多项式 $x^2 + 1$ 的余数是 $2x + 1$。具有这两个性质且次数最低的多项式是唯一的。这个多项式各项系数的平方和是多少？

设 $P(x)$ 是具有以下性质且次数最低的唯一多项式：

• $P(x)$ 的首项系数是 $1$，
• $1$ 是 $P(x) - 1$ 的根，
• $2$ 是 $P(x - 2)$ 的根，
• $3$ 是 $P(3x)$ 的根，并且
• $4$ 是 $4P(x)$ 的根。

$P(x)$ 的根中除了一个以外都是整数。那个不是整数的根可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是 $3$ 次的，首项系数都是 $1$，并且它们的根都是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中的元素。函数 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 具有如下性质：存在实数 $a < b < c < d$，使得满足 $f(x) \le 0$ 的所有实数 $x$ 组成的集合恰好是闭区间 $[a, b]$ 与开区间 $(c, d)$ 的并。可能的函数 $f(x)$ 有多少个？

已知方程 $x^2 + kx + 6 = 0$ 和 $x^2 - kx + 6 = 0$。如果把两个方程的根适当排列后，第二个方程的每个根都比第一个方程对应的根大 $5$，那么 $k$ 等于：

方程

所有根的积是多少？

设 $P(x)$ 是一个多项式，$P(x)$ 除以 $x - 19$ 的余数是 $99$，$P(x)$ 除以 $x - 99$ 的余数是 $19$。$P(x)$ 除以 $(x - 19)(x - 99)$ 的余数是什么？

方程 $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ 的实根可以写成 $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c}$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 是正整数。求 $a + b + c$。

设 $x_1 < x_2 < x_3$ 是方程 $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ 的三个实根。求 $x_2(x_1 + x_3)$。

$y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 - 4x^3 + ax^2$ 的图像除了在三个 $x$ 值处与直线 $y = bx + c$ 相交以外，都位于这条直线的上方。这三个值中最大的是多少？

方程 $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0$ 恰有两个实根，其中一个是 $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$，其中 $m$、$n$、$r$ 是整数，$m$ 和 $r$ 互质，且 $r > 0$。求 $m + n + r$。

设 $P(x)$ 是一个非零多项式，对每个实数 $x$ 都有 $(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)$，并且 $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$。那么 $P\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

设 $P(x)$ 是一个复系数二次多项式，它的 $x^2$ 系数是 $1$。假设方程 $P(P(x)) = 0$ 有四个互不相同的解 $x = 3, 4, a, b$。求 $(a + b)^2$ 所有可能值之和。

一个实系数、首项系数为 $1$ 的二次多项式，如果方程 $p(p(x)) = 0$ 恰好有三个实数解，就称它是不敬的。在所有不敬的二次多项式中，有唯一一个多项式 $\tilde{p}(x)$ 使其根的和最大。$\tilde{p}(1)$ 是多少？