12. 代数变形 · Mastering AMC 10/12

12.00%

指数运算法则

在本节中，你将能够 用指数运算法则，把幂与幂之间的方程变成指数与指数之间的方程。

$2^3 \cdot 2^5$ 是三个 2 再乘上五个 2：一共八个 2，所以它等于 $2^8$ 。每条指数法则其实都是在这样数因数的个数。

原书把这些法则放在第 12.1 节之前，所以这里单独给它们一个简短的小节。

当方程两边都是同底数的幂时，指数必须相等。注意：这能把 $3^a = 81^b$ 这样吓人的方程变成普通的一次方程： $81 = 3^4$ ，所以 $a = 4b$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 选中两行，按“相乘”。哪条指数法则把 3 和 5 变成了 8？
试一试： 先选 x⁵ = 32，再选 x³ = 8，按“相除（#1 ÷ #2）”。x² 是多少？x 是多少？
试一试： 选中第 1 行，把“指数”设为 −1，按“取 -1 次方”。为什么 x⁻³ 等于 1/8？

认识概念

定理 12.0.1 · 指数运算法则

对任意非零的 $x$ ：

x^{-a} = \frac{1}{x^{a}}

x^{a} \times x^{b} = x^{a+b}

x^{a} \div x^{b} = x^{a-b}

\left(x^{a}\right)^{b} = x^{ab}

自己做

习题 12.6.7

AMC 10

$x$ 取什么值时， $10^{x} \cdot 100^{2x} = 1000^{5}$ ？

习题 12.6.3

AMC 10

实数 $a$ 和 $b$ 满足方程 $3^a = 81^{b+2}$ 和 $125^b = 5^{a-3}$ 。 $ab$ 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.19（补充题）

AIME

方程 $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ 有三个实根。已知它们的和是 $m/n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

过关检测（第 12.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.10%

二项式展开

在本节中，你将能够 展开和的平方与和的立方，并且不求出 x，就能从 x + 1/x 一路爬到更高次的幂。

如果 $x + 1/x = 4$ ，能不能不求 $x$ 就算出 $x^4 + 1/x^4$ ？能：平方两次就行。

和的平方就是一块面积： $(x+y)$ 乘 $(x+y)$ 的正方形可以拆成 $x^2$ 、两个 $xy$ 长方形和 $y^2$ 。

留意和与积。如果题目给了 $x + y$ 和 $xy$ ，那么 $x^2 + y^2$ 、 $(x - y)^2$ 和 $x^3 + y^3$ 都能直接算出来，不需要开平方。

$x$ 和 $1/x$ 这一对很特别，因为它们的积是 $1$ 。每次把 $x^n + 1/x^n$ 平方，交叉项都只是 $2$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 点一块 xy。一共有几块 xy？这就是 2xy 的来历。
试一试： 切换到 4xy，按“取出中间的正方形”。剩下的面积是多少？
试一试： 切换到 (x+y)³，数一数每种颜色各有几块。两个 3 是从哪里来的？

认识概念

定理 12.1.1 · 二项式的平方展开

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x - y)^2 + 4xy

(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x + y)^2 - 4xy

(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2\left(x^2 + y^2\right)

(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

定理 12.1.2 · 二项式的立方展开

(x + y)^3 = x^3 + 3xy(x + y) + y^3

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3xy(x - y) - y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)\left(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz\right)

定理 12.1.3

如果

x + \frac{1}{x} = a

那么

x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2

x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a

x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(a^2 - 2\right)^2 - 2

看例题先预测，再揭晓

例 12.1

AMC 10

设数 $a$ 满足方程 $4 = a + a^{-1}$ 。 $a^4 + a^{-4}$ 的值是多少？

1
你可以解出 $a$ ，但 $a = 2 \pm \sqrt{3}$ 很麻烦。不如把 $a + \frac{1}{a} = 4$ 两边平方。 $a^2 + \frac{1}{a^2}$ 是多少？

先预测一下：
你的预测

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例 12.2

已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^3 - \frac{1}{x^3}$ 。

1
定理 12.1.2 中哪个恒等式是差的立方？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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自己做

习题 12.6.11

AMC 10

实数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34$ 。 $x + y$ 是多少？

习题 12.6.12（补充题）

若 $x + \frac{1}{x} = 4$ ，则 $x^8 + \frac{1}{x^8}$ 的值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.6

AMC 10

实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x + y = 4$ 和 $x \cdot y = -2$ 。下式的值是多少？

x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?

习题 12.6.24（补充题）

AIME挑战

设实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x^4y^5 + y^4x^5 = 810$ 和 $x^3y^6 + y^3x^6 = 945$ 。求 $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3$ 的值。

过关检测（第 12.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.20%

二次式的因式分解

在本节中，你将能够 认出平方差并把它分解，即使两个平方藏在根号里也不放过。

√(49 − x²) − √(25 − x²) = 3。把它乘上它的搭档 √(49 − x²) + √(25 − x²)，根号就消失了。

平方差总能分解： $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ 。这个式子要会正着读，也要会反着读。

从左往右读，它把一个数或式子拆成乘积。从右往左读，差乘以对应的和，交叉项就消掉了。根号就是这样去掉的。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“剪下并移动长条”，把长条移过去。新长方形的边长是多少？
试一试： 这里 a = 7，b = 5。为什么 49 − 25 和 2 × 12 相等？
试一试： 在习题 12.6.9 中，两个根式分别扮演 a 和 b。你知道 a − b。那么 a² − b² 呢？

认识概念

定理 12.2.1 · 平方差公式

平方差：

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

自己做

习题 12.6.9

AMC 10

设实数 $x$ 满足

\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{25 - x^2} = 3.

$\sqrt{49 - x^2} + \sqrt{25 - x^2}$ 的值是多少？

习题 12.6.8

AMC 12

已知 $x$ 和 $y$ 是互不相同的非零实数，且 $x + \frac{2}{x} = y + \frac{2}{y}$ 。 $xy$ 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.5

AMC 10

若 $y + 4 = (x - 2)^2$ ， $x + 4 = (y - 2)^2$ ，且 $x \neq y$ ， $x^2 + y^2$ 的值是多少？

习题 12.6.14（补充题）

AMC 10

当 $x < 0$ 时，下列哪一个与 $\sqrt{\dfrac{x}{1 - \frac{x-1}{x}}}$ 相等？

过关检测（第 12.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.30%

三次式的因式分解

在本节中，你将能够 分解立方和与立方差，并把它们用在互为倒数的一对数上。

x − 1/x = 3。只用一次因式分解，求出 x³ − 1/x³。

立方也能分解，但第二个因式是一个二次式：立方差是 $x^2 + xy + y^2$ ，立方和是 $x^2 - xy + y^2$ 。

当 $y = 1/x$ 时，中间项 $xy$ 就是 $1$ 。所以 $x^3 - 1/x^3$ 可以拆成 $x - 1/x$ 乘以 $x^2 + 1 + 1/x^2$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 这里 a = 5，b = 2。用两个因式验证 125 − 8 = 3 × 39。
试一试： 切换到 a³ + b³。哪个因式变了？哪个符号变了号？
试一试： 令 b = 1。为什么 a³ − 1 总能被 a − 1 整除？

认识概念

定理 12.3.1 · 立方差公式

立方差：

x^3 - y^3 = (x - y)\left(x^2 + xy + y^2\right)

定理 12.3.2 · 立方和公式

立方和：

x^3 + y^3 = (x + y)\left(x^2 - xy + y^2\right)

看例题先预测，再揭晓

例 12.3

已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^3 - \frac{1}{x^3}$ 。

1
这还是例 12.2。这次取 $y = \frac{1}{x}$ ，把 $x^3 - \frac{1}{x^3}$ 按立方差分解。得到什么？

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自己做

习题 12.6.13（补充题）

MATHCOUNTS

若 $\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 4$ ，则 $\left(a^3 - \frac{1}{a^3}\right)$ 的绝对值是多少？

过关检测（第 12.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.40%

高次式的因式分解

在本节中，你将能够 分解更高次的幂，并用西蒙因式分解技巧处理含 xy、x、y 项的方程。

xy + x + y = 71 看起来无从下手，直到你在两边同时加上 1。

$x^n - y^n$ 总有因式 $x - y$ 。当 $n$ 是奇数时， $x^n + y^n$ 总有因式 $x + y$ 。

西蒙因式分解技巧是在补全一个长方形： $xy + x + y$ 缺了角上那一块 $1$ 。把它补上，左边就变成 $(x + 1)(y + 1)$ 。如果都是整数，就只剩下几组因数对要试。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“两边加上神奇数”按钮。xy + x + y + 1 分解成什么？
试一试： 72 的哪些因数对能给出正的 x 和 y？
试一试： 这些因数对中，哪一对还满足 x²y + xy² = 880？

认识概念

定理 12.4.1 · n 次幂的因式分解

奇次幂之和：

x^{2n+1} + y^{2n+1} = (x + y)\left(x^{2n} - x^{2n-1}y + x^{2n-2}y^2 - \cdots - xy^{2n-1} + y^{2n}\right)

第二个因式中的符号正负交替。

幂之差：

x^{n} - y^{n} = (x - y)\left(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}\right)

第二个因式中的符号全是正号。

定理 12.4.2 · 西蒙因式分解技巧（SFFT）

SFFT：

xy + kx + jy + jk = (x + j)(y + k)

看例题先预测，再揭晓

例 12.4

Omega Learn

若 $x > y$ ， $x + y = 8$ ， $xy = 4$ ，则 $x^4 - y^4$ 的值为 $a\sqrt{b}$ 。求 $a + b$ 。

1
把 $x^4 - y^4$ 按平方差分解，再分解一次。得到什么？

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自己做

习题 12.6.15（补充题）

AIME

已知 $x$ 和 $y$ 是正整数，且

xy + x + y = 71, \qquad x^2y + xy^2 = 880.

求 $x^2 + y^2$ 。

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.25（补充题）

AIME挑战

方程 $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0$ 恰好有两个实根，其中一个是 $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$ ，这里 $m$ 、 $n$ 、 $r$ 是整数， $m$ 与 $r$ 互质，且 $r > 0$ 。求 $m + n + r$ 。

过关检测（第 12.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.50%

代数方程

在本节中，你将能够 通过相加、相减、相乘和代入来组合方程，直接求出题目要的量。

a²b = 4，b²c = 3，c²a = 18。一次解一个字母会很痛苦。把三个方程乘起来！

竞赛里的方程组很少需要一次解一个未知数。先看结构：方程是不是对称的？有没有某一块反复出现？题目问的是不是一个组合量，比如 $xyz$ 或 $a + b + c + d$ ？

然后选择合适的招数。未知数以乘积形式出现时就相乘，以和的形式出现时就相加或相减，同一块反复出现时就换元代入。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 选中全部三行，按“相乘”。(abc)³ 是多少？
试一试： 把新的一行开立方。再用第 1 行除以它。a/c 是多少？
试一试： 只用这三个已知行的乘方、乘积和商，你能得到 a⁹ = 512 吗？

认识概念

概念 12.5.1 · 解代数方程的技巧

代入法
消元法
把方程相加、相减、相乘
把项分组
通分
不一定要求出每一个未知数
利用未知数之间的对称性
巧妙换元，让式子变简单
寻找常见的因式分解

看例题先预测，再揭晓

例 12.5

Omega Learn

解出下列方程组中的 $a$ ：

a^2b = 4, \qquad b^2c = 3, \qquad c^2a = 18.

1
在这三个方程中，每个字母的指数总和都是 $3$ 。把三个方程相乘。 $(abc)^3$ 是多少？

先预测一下：
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例 12.6

AMC 12

若正数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足

x + \frac{1}{y} = 4, \qquad y + \frac{1}{z} = 1, \qquad \text{且} \qquad z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},

那么 $xyz$ 的值是多少？

1
我们要求的是乘积，所以把三个方程相乘。右边 $4 \cdot 1 \cdot \frac73$ 是多少？

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例 12.7

AIME

求下列方程的正数解：

\frac{1}{x^2 - 10x - 29} + \frac{1}{x^2 - 10x - 45} - \frac{2}{x^2 - 10x - 69} = 0

1
$x^2 - 10x$ 这一块出现了三次。令 $y = x^2 - 10x - 29$ 。把第二个分母 $x^2 - 10x - 45$ 用 $y$ 表示。

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例 12.8

AIME

设 $(a, b, c)$ 是方程组 $x^3 - xyz = 2$ ， $y^3 - xyz = 6$ ， $z^3 - xyz = 20$ 的实数解。 $a^3 + b^3 + c^3$ 的最大可能值可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

1
设 $p = abc$ 。把每个立方用 $p$ 表示。

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自己做

习题 12.6.1

AMC 10

设 $a \neq 3$ ， $b \neq 4$ ， $c \neq 5$ 。下面式子化成最简形式后的值是多少？

\frac{a-3}{5-c} \cdot \frac{b-4}{3-a} \cdot \frac{c-5}{4-b}

习题 12.6.2

AMC 10

设 $x$ 和 $y$ 是非零实数，且 $\frac{3x+y}{x-3y} = -2$ 。 $\frac{x+3y}{3x-y}$ 的值是多少？

习题 12.6.4

AMC 10

设 $a + 1 = b + 2 = c + 3 = d + 4 = a + b + c + d + 5$ 。 $a + b + c + d$ 是多少？

习题 12.6.10

AMC 10

两个非零实数 $a$ 和 $b$ 满足 $ab = a - b$ 。下列哪个是 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab$ 的一个可能值？

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.17（补充题）

AIME

设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 是三个正数，满足方程 $xyz = 1$ ， $x + \frac{1}{z} = 5$ ， $y + \frac{1}{x} = 29$ 。那么 $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 12.6.18（补充题）

AIME

已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 、 $y$ 满足方程组

\begin{aligned} ax + by &= 3, \\ ax^2 + by^2 &= 7, \\ ax^3 + by^3 &= 16, \\ ax^4 + by^4 &= 42. \end{aligned}

求 $ax^5 + by^5$ 。

s_k = a x^k + b y^k \quad\Rightarrow\quad s_k = p\,s_{k-1} + q\,s_{k-2}

$s_{1} = ax^{1} + by^{1}$ $3$ 已知
$s_{2} = ax^{2} + by^{2}$ $7$ 已知
$s_{3} = ax^{3} + by^{3}$ $16$ 已知
$s_{4} = ax^{4} + by^{4}$ $42$ 已知
$s_{5} = ax^{5} + by^{5}$ ?

目标：

s_{5} = ax^{5} + by^{5}

用四个已知值拟合 sₖ = p·sₖ₋₁ + q·sₖ₋₂，再往后推一项。（这样写时，p = x + y，q = −xy。）

习题 12.6.20（补充题）

AIME

方程 $x^2 + 18x + 30 = 2\sqrt{x^2 + 18x + 45}$ 的实根之积是多少？

过关检测（第 12.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

12.6

练习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题上综合运用本章的各种变形技巧。

该把所有招数混在一起用了。这些 AIME 题需要放缩估界、巧妙换元、分组和对称性，常常要同时用上。每道题都有三条提示，卡住了就看看。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 12.6.16（补充题）

AIME

设 $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{100}$ 是实数，满足 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$ 。在所有这样的 100 元数组中， $x_{76} - x_{16}$ 能达到的最大值是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 12.6.21（补充题）

AIME

设 $A$ 是下列方程所有根的绝对值之和，求 $A^2$ ：

x = \sqrt{19} + \cfrac{91}{\sqrt{19} + \cfrac{91}{\sqrt{19} + \cfrac{91}{\sqrt{19} + \cfrac{91}{\sqrt{19} + \cfrac{91}{x}}}}}

习题 12.6.22（补充题）

AIME挑战

设实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 满足方程组

\begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \\ abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned}

存在互质的正整数 $m$ 和 $n$ ，使得

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.

求 $m + n$ 。

习题 12.6.23（补充题）

AIME挑战

设 $m$ 是方程

\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} + \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} = x^2 - 11x - 4

的最大实数解。存在正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，使得 $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}$ 。求 $a + b + c$ 。