代数变形：全部习题

设 $a \neq 3$，$b \neq 4$，$c \neq 5$。下面式子化成最简形式后的值是多少？

设 $x$ 和 $y$ 是非零实数，且 $\frac{3x+y}{x-3y} = -2$。$\frac{x+3y}{3x-y}$ 的值是多少？

实数 $a$ 和 $b$ 满足方程 $3^a = 81^{b+2}$ 和 $125^b = 5^{a-3}$。$ab$ 是多少？

设 $a + 1 = b + 2 = c + 3 = d + 4 = a + b + c + d + 5$。$a + b + c + d$ 是多少？

若 $y + 4 = (x - 2)^2$，$x + 4 = (y - 2)^2$，且 $x \neq y$，$x^2 + y^2$ 的值是多少？

实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x + y = 4$ 和 $x \cdot y = -2$。下式的值是多少？

$x$ 取什么值时，$10^{x} \cdot 100^{2x} = 1000^{5}$？

已知 $x$ 和 $y$ 是互不相同的非零实数，且 $x + \frac{2}{x} = y + \frac{2}{y}$。$xy$ 是多少？

设实数 $x$ 满足

$\sqrt{49 - x^2} + \sqrt{25 - x^2}$ 的值是多少？

两个非零实数 $a$ 和 $b$ 满足 $ab = a - b$。下列哪个是 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab$ 的一个可能值？

实数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34$。$x + y$ 是多少？

若 $x + \frac{1}{x} = 4$，则 $x^8 + \frac{1}{x^8}$ 的值是多少？

若 $\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 4$，则 $\left(a^3 - \frac{1}{a^3}\right)$ 的绝对值是多少？

当 $x < 0$ 时，下列哪一个与 $\sqrt{\dfrac{x}{1 - \frac{x-1}{x}}}$ 相等？

已知 $x$ 和 $y$ 是正整数，且

求 $x^2 + y^2$。

设 $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{100}$ 是实数，满足 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$。在所有这样的 100 元数组中，$x_{76} - x_{16}$ 能达到的最大值是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

设 $x$、$y$、$z$ 是三个正数，满足方程 $xyz = 1$，$x + \frac{1}{z} = 5$，$y + \frac{1}{x} = 29$。那么 $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

已知实数 $a$、$b$、$x$、$y$ 满足方程组

求 $ax^5 + by^5$。

方程 $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ 有三个实根。已知它们的和是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$。

方程 $x^2 + 18x + 30 = 2\sqrt{x^2 + 18x + 45}$ 的实根之积是多少？

设 $A$ 是下列方程所有根的绝对值之和，求 $A^2$：

设实数 $a$、$b$、$c$、$d$ 满足方程组

存在互质的正整数 $m$ 和 $n$，使得

求 $m + n$。

设 $m$ 是方程

的最大实数解。存在正整数 $a$、$b$、$c$，使得 $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}$。求 $a + b + c$。

设实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x^4y^5 + y^4x^5 = 810$ 和 $x^3y^6 + y^3x^6 = 945$。求 $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3$ 的值。

方程 $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0$ 恰好有两个实根，其中一个是 $\frac{m + \sqrt{n}}{r}$，这里 $m$、$n$、$r$ 是整数，$m$ 与 $r$ 互质，且 $r > 0$。求 $m + n + r$。