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Mastering
AMC 10/12
组合计数 · 第 9 章

期望值

加权平均、公平游戏，以及竞赛概率中最好用的技巧：用指示变量配合期望的线性性。

这一章讲什么？
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9.00%

期望值与线性性

在本节中，你将能够 把期望值当作加权平均来求，并用期望的线性性把难题拆成简单的小块。

一个赌场游戏玩一次要 100 美元，有 5% 的机会赢 500 美元，有 20% 的机会赢 250 美元。你该玩吗？

玩一次能赢多少，你无法预知。但你可以求出它平均能赢多少：把每个奖金乘上它的概率，再加起来， 这就是期望值。

真正的利器是期望的线性性。要计算某个随机的数量，就把它拆成一个个只取 0 或 1 的小块， 叫作指示变量。每一小块的期望值就是它的概率。把它们加起来就行，即使这些小块互相有关联也没问题。

注意：期望值是平均值，不是保证。一颗骰子的期望值是 3.5，而你永远掷不出 3.5。

动手探索先玩，再学公式

期望值表：大奖 $500，概率 1/20；小奖 $250，概率 1/5；没中奖 $0，概率 3/4。E = Σ x·P(x) = $75；价格 $100，期望净收益 −$25

结果 · 奖金x · P(x)
大奖$500→ 25
“大奖”的概率1/20
5%
小奖$250→ 50
“小奖”的概率1/5
20%
没中奖$0→ 0
“没中奖”的概率3/4
75%
E = $75价格 $100 → 期望净收益 −$25

E = $75；期望净收益 −$25

认识概念

定义 9.0.1 · 期望值

期望值是所有结果的加权平均：每个结果按它发生的可能性大小占相应的比重。

期望值表：掷出 6 $6，概率 1/6；掷出 1 到 5 $0，概率 5/6。E = Σ x·P(x) = $1；价格 $2，期望净收益 −$1

结果 · 奖金x · P(x)
掷出 6
“掷出 6”的奖金$6
→ 1
16\tfrac{1}{6}
16.7%
掷出 1 到 5
“掷出 1 到 5”的奖金$0
→ 0
56\tfrac{5}{6}
83.3%
E = $1价格 $2 → 期望净收益 −$1

E = $1；期望净收益 −$1

一个 $\$2$ 的游戏：掷一颗骰子，掷出 6 就得到奖金。把奖金调高，直到期望奖金等于价格。

定理 9.0.2 · 期望值

随机量 XX 的期望值是

E(X)=∑xi⋅P(xi),E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i),

其中 xix_i 是 XX 所有可能的取值，P(xi)P(x_i) 是每个取值出现的概率。

用一句话说：把每个取值乘上它的概率，再加起来。

定理 9.0.4 · 期望的线性性

对于任意随机量 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n，无论独立还是相关，都有

E(x1+x2+⋯+xn)=E(x1)+E(x2)+⋯+E(xn).E(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = E(x_1) + E(x_2) + \cdots + E(x_n).

总和的期望值等于各部分期望值之和。

7 个男生和 13 个女生排成一排：19 个间隔，相邻两人不同类时亮起；每个亮起的概率是 91/190，所以 E = 19 × 91/190 = 91/10 = 9.1

相邻两个属于不同类时，它们之间的竖条会亮起。

12 个混合间隔（共 19 个指示变量）

12 个混合间隔（共 19 个）

7 个男生和 13 个女生站成一排。每个间隔是一个指示变量：两边的邻居不同时取 1。总数 $S$ 是这 19 个指示变量之和。

看例题先预测，再揭晓

例 9.1

AHSME

7 个男生和 13 个女生站成一排。设 SS 为这一排中男生和女生相邻的位置个数。例如，对于队列 GBBGGGBGBGGGBGBGGBGG，有 S=12S = 12。求 SS 的期望值。

指示变量排 (总数在例题最后一步揭晓)

相邻两个属于不同类时，它们之间的竖条会亮起。

12 个混合间隔（共 19 个指示变量）

12 个混合间隔（共 19 个）

  1. 1

    我们将使用期望的线性性。一共有多少个可能出现男生和女生相邻的位置？

    先预测一下：

例 9.2

AHSME

7 个男生和 13 个女生站成一排。设 SS 为这一排中男生和女生相邻的位置个数。例如，对于队列 GBBGGGBGBGGGBGBGGBGG，有 S=12S = 12。求 SS 的期望值。

指示变量排 (总数在例题最后一步揭晓)

相邻两个属于不同类时，它们之间的竖条会亮起。

10 个混合间隔（共 19 个指示变量）

10 个混合间隔（共 19 个）

  1. 1

    原书把例 9.1 一字不差地又印了一遍。不往上翻，自己试试。某一个特定位置是一男一女的概率是多少？

    先预测一下：

例 9.3

AMC 10

5 个球排成一圈。Chris 随机选择两个相邻的球并交换它们。然后 Silva 也这样做，她选择交换哪两个相邻的球与 Chris 的选择相互独立。经过这两次相继的交换之后，仍在原来位置上的球的个数的期望值是多少？

指示变量排 (总数在例题最后一步揭晓)

Chris 交换位置 1 和 2；Silva 交换位置 3 和 4。

绿圈表示这个球回到了自己原来的位置。

1 个球回到原位（共 5 个指示变量）

1 个球回到原位（共 5 个）。Chris 交换位置 1 和 2；Silva 交换位置 3 和 4

  1. 1

    给每个球一个指示变量：如果它最后回到自己的位置就取 11。答案就是这 5 个指示变量之和的期望值。每个球回到原位的可能性都一样吗？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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例 9.4

AMC 12

从集合 {1,2,3,…,30}\{1, 2, 3, \dots, 30\} 中随机选出由 5 个互不相同的整数组成的子集，其中连续整数对的平均个数是多少？（例如，集合 {1,17,18,19,30}\{1, 17, 18, 19, 30\} 含有 2 对连续整数。）

指示变量排 (总数在例题最后一步揭晓)

相邻两个数都被选中时，它们之间的竖条会亮起。

2 对连续数（共 29 个指示变量）

2 对连续数（共 29 个）

  1. 1

    给每一对 (i,i+1)(i, i+1) 一个指示变量：两个数都被选中就取 11。{1,…,30}\{1, \dots, 30\} 中有多少这样的数对？

    先预测一下：
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例 9.5

我有一个只有 4 个按键的计算器：11、22、++、−-。开始时，我随机按下这四个键中的一个，之后交替地按一个数字键和一个运算键。如果我一共按了 100 次键，输出结果的期望值是多少？

期望值表 (总数在例题最后一步揭晓)

结果 · 期望输出x · P(x)
先按 + 或 −0
12\tfrac{1}{2}
50%
先按 1 或 21.5
12\tfrac{1}{2}
50%
E = ?

2 种结果；期望值暂时隐藏

  1. 1

    按下第一个运算键之后的所有数字都可以忽略。为什么？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

自己做

习题 9.1.1

Mark 在赌场玩一个游戏。玩一次要 $100\$100。他有 5%5\% 的机会赢 $500\$500，有 20%20\% 的机会赢 $250\$250，有 75%75\% 的机会赢 $0\$0。他输钱数额的期望值是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 9.1.2

AMC 10

玩家付 $5\$5 玩一个游戏。掷一颗骰子。如果掷出的数是奇数，就输了。如果是偶数，就再掷一次骰子；这时如果第二次的数与第一次相同，玩家就赢，否则就输。如果这个游戏是公平的，玩家赢的时候应得多少钱？（在公平游戏中，获胜的概率乘以赢得的金额等于玩家应付的钱。）

习题 9.1.3

AMC 12

Awnik 反复玩一个获胜概率为 13\frac13 的游戏，各局结果相互独立。直到他至少赢过一次并且至少输过一次为止，他所玩局数的期望值是多少？

习题 9.1.4（补充题）

AMC 12

一所学校有 100 名学生和 5 名老师。第一节课时，每名学生上一门课，每名老师教一门课。各门课的人数分别是 50、20、20、5 和 5。设 tt 为随机选一名老师、记下他所教班级学生人数所得的平均值。设 ss 为随机选一名学生、记下他所在班级学生人数（包括这名学生自己）所得的平均值。t−st - s 是多少？

过关检测（第 9.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个转盘以 12\frac12 的概率转出 2，以 14\frac14 的概率转出 4，以 14\frac14 的概率转出 8。它的期望值是多少？

2

掷三颗均匀的六面骰子。点数之和的期望值是多少？

3

把一枚均匀的硬币抛 10 次。连续出现两次正面的位置个数的期望值是多少？（正正正算 2 个。）

9.1

练习题

在本节中，你将能够 在更难的期望值问题上运用线性性、对称性和等比级数。

三道 AIME 风格的题。每一道看起来都是一个吓人的大求和，直到你用期望的线性性把它拆开。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 9.1.5（补充题）

AIME

设 S\mathcal{S} 为所有能表示成 0.abc‾0.\overline{abc} 形式的循环小数的实数组成的集合，其中 a,b,ca, b, c 是互不相同的数字。求 S\mathcal{S} 中所有元素之和。

习题 9.1.6（补充题）

AIME

对于整数 1,2,3,…,101, 2, 3, \dots, 10 的每一个排列 a1,a2,a3,…,a10a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}，构造和

∣a1−a2∣+∣a3−a4∣+∣a5−a6∣+∣a7−a8∣+∣a9−a10∣.|a_1 - a_2| + |a_3 - a_4| + |a_5 - a_6| + |a_7 - a_8| + |a_9 - a_{10}|.

所有这些和的平均值可以写成 pq\frac{p}{q} 的形式，其中 pp 和 qq 是互质的正整数。求 p+qp + q。

习题 9.1.7（补充题）

NIMO

有一天，一个象和一个马位于一个无限大棋盘的同一行的格子上。这时一场巨大的流星雨降临，在棋盘的每个格子上独立随机地以概率 pp 落下一颗流星。象和马都没有被砸中，但它们的移动可能被流星阻挡了。pp 取什么值时，象（走一步）能到达的有效格子数的期望值等于马（走一步）能到达的格子数的期望值？