期望值：全部习题

Mark 在赌场玩一个游戏。玩一次要 $\$100$。他有 $5\%$ 的机会赢 $\$500$，有 $20\%$ 的机会赢 $\$250$，有 $75\%$ 的机会赢 $\$0$。他输钱数额的期望值是多少？

玩家付 $\$5$ 玩一个游戏。掷一颗骰子。如果掷出的数是奇数，就输了。如果是偶数，就再掷一次骰子；这时如果第二次的数与第一次相同，玩家就赢，否则就输。如果这个游戏是公平的，玩家赢的时候应得多少钱？（在公平游戏中，获胜的概率乘以赢得的金额等于玩家应付的钱。）

Awnik 反复玩一个获胜概率为 $\frac13$ 的游戏，各局结果相互独立。直到他至少赢过一次并且至少输过一次为止，他所玩局数的期望值是多少？

一所学校有 100 名学生和 5 名老师。第一节课时，每名学生上一门课，每名老师教一门课。各门课的人数分别是 50、20、20、5 和 5。设 $t$ 为随机选一名老师、记下他所教班级学生人数所得的平均值。设 $s$ 为随机选一名学生、记下他所在班级学生人数（包括这名学生自己）所得的平均值。$t - s$ 是多少？

设 $\mathcal{S}$ 为所有能表示成 $0.\overline{abc}$ 形式的循环小数的实数组成的集合，其中 $a, b, c$ 是互不相同的数字。求 $\mathcal{S}$ 中所有元素之和。

对于整数 $1, 2, 3, \dots, 10$ 的每一个排列 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$，构造和

所有这些和的平均值可以写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。

有一天，一个象和一个马位于一个无限大棋盘的同一行的格子上。这时一场巨大的流星雨降临，在棋盘的每个格子上独立随机地以概率 $p$ 落下一颗流星。象和马都没有被砸中，但它们的移动可能被流星阻挡了。$p$ 取什么值时，象（走一步）能到达的有效格子数的期望值等于马（走一步）能到达的格子数的期望值？