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Mastering
AMC 10/12
组合计数 · 第 8 章

几何概率

当结果连成一片、数不过来时，就去量它：用长度、面积和体积，把等待时间、随机点和掉落的硬币变成概率。

这一章讲什么？
你需要先会
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8.00%

用面积表示概率

在本节中，你将能够 把一个有无穷多种结果的概率问题，转化为面积之比。

Alex 和 Bob 各自在下午 3 点到 4 点之间的随机时刻到达，每人都等 15 分钟。可能的情况有无穷多种，那该怎么数呢？

结果没法一一列出，但可以把它们画出来。两个随机时刻构成正方形里的一个点，我们想要的结果构成一块区域。 概率就是这块区域的面积占整个正方形面积的比例。

注意：难点从来不在计算，而在于找出这块区域。先试试极端情况，把它们标在图上，再把中间的形状补全。

动手探索先玩，再学公式

用面积表示概率：阴影部分为两人到达时间相差不超过 15 分钟（等待时间 w（分钟） = 15 分钟）；阴影面积 ÷ 总面积 = 7/16 ≈ 0.4375。

等待时间 w（分钟）15 分钟
3:003:153:303:454:003:003:153:303:454:00AlexBob
阴影 ÷ 总面积 = 716\frac{7}{16} ≈ 0.4375还没有投飞镖

阴影部分：两人到达时间相差不超过 15 分钟，等待时间 w（分钟） = 15 分钟。精确概率 7/16 ≈ 0.4375。还没有投飞镖。

认识概念

定义 8.0.1 · 几何概率

几何概率是一种计算概率的方法：用长度、面积或体积从几何上度量结果的“多少”。解几何概率题的关键是

  1. 针对不同情况试几个例子，并且一定要标出极端情况。
  2. 弄清楚这些结果在图上构成什么区域。
  3. 用几何方法求出这块区域的面积。
P=合要求区域的大小整个样本空间的大小P = \frac{\text{合要求区域的大小}}{\text{整个样本空间的大小}}

注 8.0.2

当可能的结果有无穷多种时，几何概率会很有用。

无穷多个结果没法一一列出，但可以度量。往图上随机投飞镖，就能看出面积之比确实就是概率：落在阴影部分的飞镖所占的比例会稳定在它附近。

看例题先预测，再揭晓

例 8.1

Alex 和 Bob 各自在下午 3 点到 4 点之间的随机时刻到达。每人都会等 15 分钟，然后离开。他们相遇的概率是多少？

概率区域 (总数在例题最后一步揭晓)

等待时间 w（分钟）15 分钟
3:003:153:303:454:003:003:153:303:454:00AlexBob
精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：两人到达时间相差不超过 15 分钟，等待时间 w（分钟） = 15 分钟。还没有投飞镖。

  1. 1

    两人要相遇，必须满足什么条件？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

例 8.2

AMC 10

Chloé 从区间 [0,2017][0, 2017] 中均匀随机地选一个实数。Laurent 独立地从区间 [0,4034][0, 4034] 中均匀随机地选一个实数。Laurent 的数大于 Chloé 的数的概率是多少？（假设两数不会相等）

概率区域 (总数在例题最后一步揭晓)

Laurent 的范围 ÷ Chloé 的范围2×
02017020174034ChloéLaurent
精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：Laurent 的数大于 Chloé 的数，Laurent 的范围 ÷ Chloé 的范围 = 2×。还没有投飞镖。

  1. 1

    有两个随机数，那就画图。如果 Chloé 的数是 xx，Laurent 的数是 yy，样本空间是什么形状？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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例 8.3

AMC 10

从区间 [0,1][0, 1] 中独立且均匀随机地选出实数 xx 和 yy。下列哪个数最接近 xx、yy 和 11 恰好是一个钝角三角形三边长的概率？

  1. (A)0.210.21
  2. (B)0.250.25
  3. (C)0.290.29
  4. (D)0.500.50
  5. (E)0.790.79

概率区域 (总数在例题最后一步揭晓)

0101xy
精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：x + y > 1（能构成三角形）且 x² + y² < 1（是钝角三角形）。还没有投飞镖。

  1. 1

    xx、yy、11 中哪条边最长？

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例 8.4

AMC 10

一个边长为 88 的正方形涂成白色，只有 44 个黑色的等腰直角三角形区域（直角边长为 22，每个角上一个）和正方形中心一个边长为 222\sqrt{2} 的黑色菱形除外，如图所示。把一枚直径为 11 的圆形硬币扔到正方形上，它落在一个随机位置，且硬币完全落在正方形内。硬币盖住正方形黑色区域一部分的概率可以写成 1196(a+b2+π)\frac{1}{196}\left(a + b\sqrt{2} + \pi\right)，其中 aa 和 bb 是正整数。a+ba + b 等于多少？

概率区域 (总数在例题最后一步揭晓)

硬币半径 r1/2

虚线框：圆心可以落到的范围。阴影：使硬币碰到黑色部分的圆心位置。

精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：半径为 1/2 的硬币碰到黑色图形，硬币半径 r = 1/2。还没有投飞镖。

  1. 1

    追踪硬币的圆心。硬币（半径 12\frac12）必须留在正方形内。圆心可以落在哪里？那块区域的面积是多少？

    先预测一下：
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例 8.5

AMC 10/12

设 SS 是边长为 11 的正方形。在 SS 的边上独立随机地选两个点。这两点之间的直线距离至少为 12\frac12 的概率是 a−bπc\frac{a - b\pi}{c}，其中 aa、bb、cc 是正整数，且 gcd⁡(a,b,c)=1\gcd(a, b, c) = 1。a+b+ca + b + c 等于多少？

概率区域 (总数在例题最后一步揭晓)

距离 d1/2
01/2101/21xy
精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：|x − y| ≥ 1/2（两点在同一条边上），距离 d = 1/2。还没有投飞镖。

  1. 1

    按第二个点落在哪里分类讨论。情况 1：两点在同一条边上。这种情况的概率是多少？

    先预测一下：

自己做

习题 8.2.1

这道题在书中还以 8.1 的编号出现。

Alex 和 Bob 约好在下午 3 点到 4 点之间在公园见面。两人都会在这一小时内的随机时刻到达，但最多只等对方 15 分钟，然后就离开公园。他们相遇的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 8.2.3

AMC 10

青蛙 Sonya 在坐标平面中的正方形 [0,6]×[0,6][0, 6] \times [0, 6] 内均匀随机地选一个点，并跳到这个点。然后她从 [0,1][0, 1] 中均匀随机地选一个距离，再从北、南、东、西中均匀随机地选一个方向。所有选择相互独立。接着她沿选定的方向跳这段距离。她落在正方形外面的概率是多少？

习题 8.2.4

AMC 10

按如下方式选出 0 到 1 之间（含 0 和 1）的实数。抛一枚均匀的硬币。如果是正面，就再抛一次：第二次是正面则选出的数为 0，是反面则为 1。另一方面，如果第一次是反面，就从闭区间 [0,1][0, 1] 中均匀随机地选一个数。用这种方式独立地选出两个随机数 xx 和 yy。∣x−y∣>12|x - y| > \frac12 的概率是多少？

习题 8.2.6

AMC 10A

在正方形 ABCDABCD 内随机选一点 PP。AP‾\overline{AP} 既不是 △APB\triangle APB 的最短边、也不是最长边的概率可以写成 a+bπ−cde\frac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e}，其中 aa、bb、cc、dd、ee 是正整数，gcd⁡(a,b,c,e)=1\gcd(a, b, c, e) = 1，且 dd 不能被任何质数的平方整除。a+b+c+d+ea + b + c + d + e 等于多少？

习题 8.2.7（补充题）

AIME

两位数学家每天上午都要喝咖啡休息一下。他们各自独立地在上午 9 点到 10 点之间的随机时刻到达咖啡厅，并且都恰好停留 mm 分钟。其中一人到达时另一人正在咖啡厅的概率是 40%40\%，且 m=a−bcm = a - b\sqrt{c}，其中 aa、bb、cc 是正整数，且 cc 不能被任何质数的平方整除。求 a+b+ca + b + c。

用面积表示概率：阴影部分为两人到达时间相差不超过 12 分钟（两人在咖啡厅的时间有重叠）（停留时间 m（分钟） = 12 分钟）。

停留时间 m（分钟）12 分钟
9:009:159:309:4510:009:009:159:309:4510:00数学家 1数学家 2
精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：两人到达时间相差不超过 12 分钟（两人在咖啡厅的时间有重叠），停留时间 m（分钟） = 12 分钟。还没有投飞镖。

习题 8.2.8（补充题）

AIME

把一个半径为 1 的圆随机放在一个 15 × 36 的长方形 ABCDABCD 中，使圆完全落在长方形内。已知这个圆不碰到对角线 ACAC 的概率是 m/nm/n，其中 mm 和 nn 是互质的正整数，求 m+nm + n。

用面积表示概率：阴影部分为半径为 1 的圆不碰到对角线 AC（圆的半径 r = 1）。

圆的半径 r1

虚线框：圆心可以落到的范围。阴影：使圆不碰到对角线的圆心位置。

精确值已隐藏：用飞镖来估计吧还没有投飞镖

阴影部分：半径为 1 的圆不碰到对角线 AC，圆的半径 r = 1。还没有投飞镖。

过关检测（第 8.0 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

从 [0,1][0, 1] 中均匀随机地选出两个数 xx 和 yy。x+y<12x + y < \frac12 的概率是多少？

2

一支飞镖落在边长为 22 的正方形内均匀随机的一点上。它落在离正方形中心距离不超过 11 的地方的概率是多少？

3

Ann 和 Ben 各自在 1:00 到 2:00 之间的随机时刻到达，并且都等对方 20 分钟。他们相遇的概率是多少？

8.10%

三维中的几何概率

在本节中，你将能够 处理三个随机数：把单位正方体切成薄片，再把切片加起来。

蚂蚁 Amelia 随机选出三段步长。它们加起来会超过 1 吗？三个随机数构成正方体中的一个点，所以现在概率变成了体积。

体积比面积更难看清。窍门是切片：把最后一个变量固定在高度 tt，切片就是一个你已经会量的二维区域。 把从 t=0t = 0 到 t=1t = 1 的切片叠起来，就得到了体积。

注意：满足 x+y+z≤1x + y + z \le 1 的那个角是一个棱锥，体积为 13⋅12⋅1\frac13 \cdot \frac12 \cdot 1。这一个数能解决数量惊人的竞赛题。

动手探索先玩，再学公式

单位正方体在 z = 3/10 处切开；合要求的区域：x + y + z ≤ 1。切片面积 49/200；总体积 1/6。

切片 z = t0.30

合要求的区域：x + y + z ≤ 1

xyzxy切片 z = 0.30011tA
A(310)=49200,目前累计体积=2192000,总体积=16A(\frac{3}{10}) = \frac{49}{200},\quad \text{目前累计体积} = \frac{219}{2000},\quad \text{总体积} = \frac{1}{6}

切片 z = 0.30：面积 49/200；目前累计体积 219/2000；总体积 1/6（x + y + z ≤ 1）。

看例题先预测，再揭晓

例 8.6

AMC 10/12

蚂蚁 Amelia 从数轴上的 00 出发，按如下方式爬行。对 n=1,2,3n = 1, 2, 3，Amelia 从区间 (0,1)(0, 1) 中独立且均匀随机地选出一个时长 tnt_n 和一个增量 xnx_n。在第 nn 步中，Amelia 沿正方向移动 xnx_n 个单位，用时 tnt_n 分钟。如果在第 nn 步中总用时已经超过 11 分钟，她就在这一步结束时停下；否则继续走下一步，总共最多走 33 步。Amelia 停下时所在的位置大于 11 的概率是多少？

切片求体积 (总数在例题最后一步揭晓)

切片 x₃ = t0.30

合要求的区域：x₁ + x₂ + x₃ > 1

x₁x₂x₃x₁x₂切片 x₃ = 0.30011tA
在 x₃ = 0.30 处切片：求阴影部分的面积。

正方体中满足 x₁ + x₂ + x₃ > 1 的部分，在 x₃ = 0.30 处的切片。

  1. 1

    Amelia 有可能只走一步就停下吗？

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竞赛角真实竞赛题

习题 8.2.5

AMC 12

从 0 到 1 之间独立且均匀随机地选出三个实数。这三个数中最大的数大于其余两个数中每一个的 2 倍的概率是多少？（换句话说，如果选出的数是 a≥b≥ca \ge b \ge c，那么 a>2ba > 2b。）

单位正方体在 z = 1/5 处切开；合要求的区域：最大的数大于其余每个数的 2 倍。

切片 z = t0.20

合要求的区域：最大的数大于其余每个数的 2 倍

xyzxy切片 z = 0.20011tA
在 z = 0.20 处切片：求阴影部分的面积。

正方体中满足 最大的数大于其余每个数的 2 倍 的部分，在 z = 0.20 处的切片。

过关检测（第 8.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

从 [0,1][0, 1] 中均匀随机地选出三个数 xx、yy、zz。x+y+z≤1x + y + z \le 1 的概率是多少？

2

在高度 z=12z = \frac12 处切开单位正方体中的区域 x+y+z≤1x + y + z \le 1。截面的面积是多少？

3

从 [0,1][0, 1] 中均匀随机地选出三个数 xx、yy、zz。x+y+z≤2x + y + z \le 2 的概率是多少？

8.2

练习题

在本节中，你将能够 练习一道来自本章习题集的综合题。

本章的概率题并不都是几何概率。这道八边形的题要数三角形，而不是量面积，所以要选对工具。

想在一页上看到本章的全部习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 8.2.2

AMC

这道题在书中还以 7.6.2 的编号出现。

在一个正八边形中，随机选出三个顶点连成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是八边形的边的概率是多少？