几何概率：全部习题

Alex 和 Bob 约好在下午 3 点到 4 点之间在公园见面。两人都会在这一小时内的随机时刻到达，但最多只等对方 15 分钟，然后就离开公园。他们相遇的概率是多少？

在一个正八边形中，随机选出三个顶点连成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是八边形的边的概率是多少？

青蛙 Sonya 在坐标平面中的正方形 $[0, 6] \times [0, 6]$ 内均匀随机地选一个点，并跳到这个点。然后她从 $[0, 1]$ 中均匀随机地选一个距离，再从北、南、东、西中均匀随机地选一个方向。所有选择相互独立。接着她沿选定的方向跳这段距离。她落在正方形外面的概率是多少？

按如下方式选出 0 到 1 之间（含 0 和 1）的实数。抛一枚均匀的硬币。如果是正面，就再抛一次：第二次是正面则选出的数为 0，是反面则为 1。另一方面，如果第一次是反面，就从闭区间 $[0, 1]$ 中均匀随机地选一个数。用这种方式独立地选出两个随机数 $x$ 和 $y$。$|x - y| > \frac12$ 的概率是多少？

从 0 到 1 之间独立且均匀随机地选出三个实数。这三个数中最大的数大于其余两个数中每一个的 2 倍的概率是多少？（换句话说，如果选出的数是 $a \ge b \ge c$，那么 $a > 2b$。）

在正方形 $ABCD$ 内随机选一点 $P$。$\overline{AP}$ 既不是 $\triangle APB$ 的最短边、也不是最长边的概率可以写成 $\frac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e}$，其中 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$ 是正整数，$\gcd(a, b, c, e) = 1$，且 $d$ 不能被任何质数的平方整除。$a + b + c + d + e$ 等于多少？

两位数学家每天上午都要喝咖啡休息一下。他们各自独立地在上午 9 点到 10 点之间的随机时刻到达咖啡厅，并且都恰好停留 $m$ 分钟。其中一人到达时另一人正在咖啡厅的概率是 $40\%$，且 $m = a - b\sqrt{c}$，其中 $a$、$b$、$c$ 是正整数，且 $c$ 不能被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$。

把一个半径为 1 的圆随机放在一个 15 × 36 的长方形 $ABCD$ 中，使圆完全落在长方形内。已知这个圆不碰到对角线 $AC$ 的概率是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$。