7. 几何计数 · Mastering AMC 10/12

7.10%

三角形计数

在本节中，你将能够 通过选出三角形的 3 个顶点来数三角形，并减去落在同一条直线上的选法。

用停车标志牌的顶点，能画出多少个三角形？按形状逐个列举很慢。其实一行就能算出答案。

一个三角形由它的 3 个顶点确定。所以数三角形就是数3 个点的组。这就是组合。

陷阱是：同一条直线上的 3 个点组不成三角形。先数出所有 3 点组，再减去共线的那些。同样的技巧适用于任何图形：先问是什么决定了它，再去选这些部分。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 任选八边形的 3 个顶点。总能得到三角形吗？多按几次“随机三角形”。
试一试： 切换到“点阵”，设为 5 行 5 列。打开“显示过 3 个以上点的直线”，看红色直线。找一条有 5 个点的直线：它浪费了多少组 3 点？
试一试： 切换到“弦”，选 6 个点。哪 3 条弦围成了阴影三角形？每个内部三角形用到 8 个点中的几个？

看例题先预测，再揭晓

例 7.1

连接正八边形的顶点，可以组成多少个三角形？

1
你可以按三角形的类型分类讨论，但有一个巧妙得多的方法。确定一个三角形需要几个顶点？

先预测一下：
你的预测

例 7.2

AMC 10

在一个圆上取 8 个点，并在每两点之间连一条弦。圆内没有三条弦交于同一点。三个顶点都在圆内部的三角形一共有多少个？

1
看圆内的一个三角形。它的每条边都在一条弦上。这个三角形用了几条弦？

先预测一下：
你的预测

例 7.3

AMC 10

坐标平面上的点 $(i, j)$ 中， $i$ 和 $j$ 都是 $1$ 到 $5$ 之间的整数（包含两端）。三个顶点都在这些点上、面积为正的三角形有多少个？

1
一共有 $5 \times 5 = 25$ 个点。从中选出 3 个点有多少种选法？

先预测一下：
你的预测

竞赛角真实竞赛题

习题 7.6.1

AMC 10

一组 25 个正方形积木排成一个 $5 \times 5$ 的正方形。从中选出 3 块积木，使任意两块都不在同一行或同一列，有多少种不同的选法？

习题 7.6.2

AMC

从正八边形中随机选出三个顶点，连成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是八边形的边的概率是多少？

过关检测（第 7.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

7.20%

长方形计数

在本节中，你将能够 通过选 2 条横线和 2 条竖线，数出方格中所有的长方形。

一个 $3 \times 5$ 的方格里有 15 个小长方形。各种大小的长方形一共藏着多少个？往下翻之前先猜一猜。

四个顶点不一定能组成长方形。但两条横线和两条竖线总能围成一个长方形，而且每个长方形都恰好来自一种这样的选法。所以你数的是线的对数，而不是图形。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 选 2 条横线和 2 条竖线。两种不同的选法会得到同一个长方形吗？
试一试： 把方格改成 2 行 3 列。看读数之前先预测个数。
试一试： 打开“只数非正方形”。为什么读数要减去正方形？（例 7.6 会用到这一点。）

认识概念

定理 7.2.1 · 方格中的长方形

在 $m \times n$ 的长方形方格中，各种大小的长方形一共有

\binom{m+1}{2} \times \binom{n+1}{2}

个。

看例题先预测，再揭晓

例 7.4

一个 $3 \times 5$ 的长方形方格中有多少个长方形？

1
繁琐的分类讨论也能做，但有一个巧妙的解法。在方格中，什么决定了一个长方形？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

过关检测（第 7.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

7.30%

正方形计数

在本节中，你将能够 按大小逐一数正方形，包括斜放的正方形和必须盖住某个格子的正方形。

国际象棋棋盘有 64 个小正方形。它一共有多少个正方形？比 64 多得多。

正方形不是由随意选的线围成的：边长必须相等。所以要按大小逐一数。一个 $k \times k$ 的正方形在一行 $n$ 个格子里有 $n - k + 1$ 个位置，所以在 $n \times n$ 的方格中能放在 $(n - k + 1)^2$ 个位置。

注意：正方形也可以斜着放。从一个点到另一个点、横向走 1 纵向走 2 的边，长度是 $\sqrt5$ 。

动手探索先玩，再学公式

行数4

列数4

正方形大小1

各种大小的正方形个数
大小	个数	累计
1 × 1	4 × 4 = 16	16
2 × 2	3 × 3 = 9	25
3 × 3	2 × 2 = 4	29
4 × 4	1 × 1 = 1	30

16 + 9 + 4 + 1 = 30 个正方形

试一试： 把正方形大小设为 2。它在 4 × 4 方格里能放在多少个位置？大小为 3 呢？
试一试： 为什么这里 k × k 的正方形能放在 (5 − k) × (5 − k) 个位置？用“移动正方形”检验一下。
试一试： 打开“斜放的正方形”，设 a = 1、b = 2。这个斜着的图形真的是正方形吗？每条边有多长？

认识概念

定理 7.3.1 · 方格中的正方形

$n \times n$ 的正方形方格中，正方形的个数是

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

看例题先预测，再揭晓

例 7.5

由 $4 \times 4$ 的单位正方形方格，可以组成多少个各种大小的正方形？

行数4

列数4

正方形大小1

各种大小的正方形个数
大小	个数	累计
1 × 1	?	?
2 × 2	?	?
3 × 3	?	?
4 × 4	?	?

总数已隐藏：先猜一猜

1
一共有 16 个单位正方形。答案是 16 吗？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

例 7.6

Omega Learn

一个 $5 \times 4$ 的正方形方格中，有多少个不是正方形的长方形？

1
正方形也是长方形，所以先数出所有长方形。这个方格有 6 条竖线和 5 条横线。有多少个长方形？

先预测一下：
你的预测

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例 7.7

Omega Learn

在 $5$ × $5$ 的点阵中，能找到多少个边长为 $\sqrt{5}$ 的正方形？

1
长为 $\sqrt5$ 的边可以是水平的吗？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 7.8

AMC 10

图中的 $5 \times 5$ 方格包含许多正方形，大小从 $1 \times 1$ 到 $5 \times 5$ 。其中有多少个正方形包含中间的黑色小正方形？

行数5

列数5

正方形大小1

各种大小的正方形个数
大小	个数	累计
1 × 1	?	?
2 × 2	?	?
3 × 3	?	?
4 × 4	?	?
5 × 5	?	?

总数已隐藏：先猜一猜

1
还是按大小数。包含黑色格子的 $1 \times 1$ 正方形有多少个？

先预测一下：
你的预测

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例 7.9

Modified AMC 10

在这个 $5 \times 5$ 的方格中，由网格线围成的长方形里有多少个包含中间的黑色小正方形？

1
一个长方形由它的上、下、左、右四条网格线确定。要让长方形包含黑色格子，它的上边必须在哪里？

先预测一下：
你的预测

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例 7.10

AMC 10

如下图所示，一个正十二面体（由 12 个全等的正五边形面组成的多面体）悬浮在空中，有两个面是水平的。注意与顶面相邻的是一圈 5 个斜面，与底面相邻的也是一圈 5 个斜面。从顶面经过一串相邻的面移动到底面，要求每个面至多经过一次，并且不允许从下面一圈移动到上面一圈，有多少种走法？

标出

旋转30°

倾斜15°

正十二面体 · 颜色：顶面、上面一圈、下面一圈、底面。

拖动立体（或用旋转、倾斜）看看背面。

面数 F12

顶点数 V20

棱数 E30

面数 F: 12 个五边形
顶点数 V: 20 个顶点连着 3 条棱
把每个面的边数加起来: 12·5 = 60 = 2 × 30
把每个顶点连着的棱数加起来: 20·3 = 60 = 2 × 30

V − E + F = 20 − 30 + 12 = 2

1
第一步从顶面走进上面一圈。有多少种选择？

先预测一下：
你的预测

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竞赛角真实竞赛题

习题 7.6.4

AMC 10

把 3 个不可区分的红色筹码、3 个不可区分的蓝色筹码和 3 个不可区分的绿色筹码放进 $3 \times 3$ 方格的格子里，使得任意两个同色筹码都不上下或左右直接相邻，有多少种放法？

过关检测（第 7.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

7.40%

路径计数

在本节中，你将能够 把最短格路看成由 R 和 U 组成的单词来计数，并处理障碍点、围栏和涂色问题。

一只兔子在 $(0, 0)$ ，想去 $(5, 5)$ 吃胡萝卜。它只能向右或向上跳。它有多少条不同的路线？

把每条路线写成一个单词：R 表示向右跳，U 表示向上跳。每条路线都是一个由 5 个 R 和 5 个 U 组成的 10 字母单词，而每个这样的单词也都是一条路线。所以数路线就是数字母重排。

当规则变得更奇怪时（障碍点、向下走、涂色的格子），找出真正决定路线的是什么，再去数这些选择。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 随便画一条到胡萝卜的路线。读出它由 R 和 U 组成的单词。为什么每条路线都是 RRRRRUUUUU 的一种重排？
试一试： 打开“杨辉三角填数”。每个数是由哪两个数相加得到的？
试一试： 把胡萝卜改到 (3, 2)。打开“杨辉三角填数”之前先预测路径数。

认识概念

定理 7.4.1 · 格路

只向上和向右走，从 $(0,0)$ 走到点 $(m,n)$ 的方法数是

\binom{m+n}{m}.

看例题先预测，再揭晓

例 7.11

一只兔子在坐标平面上行走，要从 $(0,0)$ 走到点 $(5,5)$ 处的胡萝卜。如果兔子每一步只能向上或向右移动 1 个单位，它有多少种方法走到胡萝卜那里？

1
分类讨论会很繁琐。用 R 表示向右一步，U 表示向上一步。兔子需要向右走几步？

先预测一下：
你的预测

例 7.12

从 $(0, 0)$ 走到 $(5, 6)$ ，只能向右或向上走。有一个怪兽，如果你把 $(1, 2)$ 、 $(3, 4)$ 和 $(5, 5)$ 这 3 个地点全都经过，它就会吃掉你，所以你不能把这三个点全都经过。有多少种走法？

1
先不管怪兽。从 $(0,0)$ 到 $(5,6)$ 的向右/向上路径有多少条？

先预测一下：
你的预测

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例 7.13

BMMT

Sally 在一个围栏里，围栏由满足 $0 \le a \le b \le 4$ 的点 $(a, b)$ 组成。如果她现在在点 $(x, y)$ ，她可以移动到 $(x, y + 1)$ 、 $(x, y - 1)$ 或 $(x + 1, y)$ 。已知她不能重复经过已经到过的点，求她从 $(0, 0)$ 走到 $(4, 4)$ 的方法数。

围栏大小4

目前的路径：（空）。按“向上”“向下”或“向右”。

在每一列里你只能直着上下走，然后向右一步。所以一条路线就是选择在每一列的哪个高度离开。

你已经画出 0 条不同的完整路径。

总数已隐藏：先猜一猜

1
Sally 永远不能向左走。一旦她向右走进新的一列，她还能回到原来那一列吗？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 7.14

AMC 8

一个游戏棋盘由 64 个黑白相间的方格组成。下图显示了最下面一行的方格 $P$ 和最上面一行的方格 $Q$ 。一枚棋子放在 $P$ 上。每一步把棋子移到上一行中与它相邻的一个白色方格上。从 $P$ 到 $Q$ 的 7 步路径有多少条？（图中显示了一条示例路径。）

1
每一步向上走一行，走到斜上方的一个白格。棋子到达某个白格有多少种方法？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 7.15

HMMT

一个 $5 \times 5$ 方格的每个格子都涂成红色、白色或蓝色。Sam 从方格左下角的格子出发，每一步向上或向右走一格，走到右上角的格子。这样，他的路径一共经过 9 个格子（包括起点和终点）。求满足下面条件的涂色方法数：无论 Sam 走哪条路线，他都一定恰好经过 3 个红格、恰好 3 个白格和恰好 3 个蓝格。

1
方格必须怎样涂色才能满足条件？

过关检测（第 7.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

7.50%

多面体

在本节中，你将能够 把每样东西数两次，并用欧拉公式，数出多面体的面、棱和顶点。

正方体有 6 个面和 8 个角。把每个角都锯掉。新的立体有多少条棱？

你看不到立体的背面，所以不要一条一条地数棱。把它们数两次：一次从面出发，一次从顶点出发。每条棱都与 2 个面相邻，并连接 2 个顶点。

然后一个公式把这三个数联系在一起。注意：对任何凸多面体， $V - E + F = 2$ 。

动手探索先玩，再学公式

标出

旋转30°

倾斜15°

正方体 · 颜色：边数相同的面颜色相同。

拖动立体（或用旋转、倾斜）看看背面。

面数 F6

顶点数 V8

棱数 E12

面数 F: 6 个四边形
顶点数 V: 8 个顶点连着 3 条棱
把每个面的边数加起来: 6·4 = 24 = 2 × 12
把每个顶点连着的棱数加起来: 8·3 = 24 = 2 × 12

V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2

试一试： 先从面数出正方体的棱，再从顶点数一遍。面板上的两个和一致吗？
试一试： 每种形状都试一试。每次 V − E + F 等于多少？
试一试： 打开“切掉每个角”。每切掉一个角，会出现几个新面和几个新顶点？

认识概念

概念 7.5.1 · 两次计数棱

在一个多面体中，把每个面的边数加起来，得到的是多面体棱数的 2 倍。这是因为每条棱都是 2 个面的边。

把每个顶点连着的棱数加起来，得到的也是棱数的 2 倍，因为每条棱在 2 个不同的顶点处各被数了一次。

例如，正方体每个面有 4 条边，共 6 个面，所以它有 $\frac{4 \times 6}{2} = 12$ 条棱。另外，每个顶点连着 3 条棱，共 8 个顶点，所以有 $\frac{3 \times 8}{2} = 12$ 条棱。

定理 7.5.2 · 欧拉多面体公式

\text{棱数} = \text{面数} + \text{顶点数} - 2

E = F + V - 2

注 7.5.4

一个经典应用：如果一个多面体有 12 个六边形面和 10 个五边形面，它有多少个顶点？先求出面数（ $22$ ）和棱数

\frac{12 \times 6 + 10 \times 5}{2} = 61

（除以 2 是因为每条棱是 2 个面的边）。最后用欧拉多面体公式： $V = E - F + 2 = 61 - 22 + 2 = 41$ 。

（眼尖的话会发现：每个顶点至少连着 3 条棱，所以 $2E \ge 3V$ 。这里 $122 < 123$ ，所以没有真正的多面体恰好有这些面。重要的是方法；足球有 20 个六边形和 12 个五边形，就符合条件。）

看例题先预测，再揭晓

例 7.16

AMC 12

一个凸多面体 $Q$ 有顶点 $V_1, V_2, \ldots, V_n$ 和 $100$ 条棱。用平面 $P_1, P_2, \ldots, P_n$ 切这个多面体，使得平面 $P_k$ 只切过在顶点 $V_k$ 处相交的那些棱。另外，任意两个平面都不在 $Q$ 的内部或表面上相交。切割得到 $n$ 个棱锥和一个新的多面体 $R$ 。 $R$ 有多少条棱？

标出

旋转30°

倾斜15°

正方体 · 颜色：边数相同的面颜色相同。

拖动立体（或用旋转、倾斜）看看背面。

面数 F6

顶点数 V8

棱数 E12

面数 F: 6 个四边形
顶点数 V: 8 个顶点连着 3 条棱
把每个面的边数加起来: 6·4 = 24 = 2 × 12
把每个顶点连着的棱数加起来: 8·3 = 24 = 2 × 12

V − E + F = 8 − 12 + 6 = 2

1
本质上，我们是把多面体的每个角都切掉（在正方体上试试“切掉每个角”）。根据欧拉多面体公式，原来的多面体有多少个面？

先预测一下：
你的预测

竞赛角真实竞赛题

习题 7.6.3

AMC 10

菱形十二面体是一个凸多面体，它的 12 个面都是菱形，而且所有的面彼此全等。在一个顶点处相交的棱数是 3 或 4，取决于是哪个顶点。恰好有 3 条棱相交的顶点有多少个？

习题 7.6.5

AMC 12挑战

一个正四面体的每个面都涂成红色、白色或蓝色。如果两个全等的四面体分别按两种涂色方法涂好后，能通过旋转使它们看起来完全一样，就认为这两种涂色是不可区分的。可区分的涂色方法一共有多少种？

习题 7.6.6

AMC 10/12

设 $A$ 和 $B$ 是一个多面体的顶点，定义距离 $d(A, B)$ 为从 $A$ 到 $B$ 至少要经过的多面体的棱数。例如，如果 $\overline{AB}$ 是多面体的一条棱，那么 $d(A, B) = 1$ ；但如果 $\overline{AC}$ 和 $\overline{CB}$ 是棱而 $\overline{AB}$ 不是棱，那么 $d(A, B) = 2$ 。设 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 是从正二十面体（由 20 个等边三角形组成的正多面体）的顶点中随机选出的三个互不相同的顶点。 $d(Q, R) > d(R, S)$ 的概率是多少？

过关检测（第 7.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

7.6

练习题

在本节中，你将能够 在两道较难的竞赛题中综合运用本章的所有工具。

两道较难的计数题，对称性在其中出了大力。如果卡住了，每道题都有三条提示。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 7.6.7（补充题）

AIME

有无限多个用彩纸做的全等的等边三角形。每个三角形都是单一颜色，纸的两面颜色相同。用其中四个纸三角形拼成一个大的等边三角形。如果无法通过平移、旋转和/或翻折把一个大三角形放到另一个上面，使对应的小三角形颜色相同，就认为这两个大三角形是可区分的。

已知可以选择的三角形有六种不同的颜色，一共能拼成多少个可区分的大等边三角形？

习题 7.6.8（补充题）

AMC 10挑战

坐标平面上的正方形 $ABCD$ 的顶点为 $A(1, 1)$ 、 $B(-1, 1)$ 、 $C(-1, -1)$ 和 $D(1, -1)$ 。考虑下面四种变换：

$L$ ，绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ ；
$R$ ，绕原点顺时针旋转 $90^\circ$ ；
$H$ ，关于 $x$ 轴的翻折；
$V$ ，关于 $y$ 轴的翻折。

每种变换都把正方形映射到它自身，但带标签的顶点的位置会改变。例如，先做 $R$ 再做 $V$ ，会把位于 $(1, 1)$ 的顶点 $A$ 送到 $(-1, -1)$ ，而把位于 $(-1, 1)$ 的顶点 $B$ 送回它自己。从 $\{L, R, H, V\}$ 中选取变换组成长度为 $20$ 的序列，有多少个序列能把所有带标签的顶点送回原来的位置？（例如， $R, R, V, H$ 就是一个由 $4$ 个变换组成、能把顶点送回原位的序列。）