几何计数：全部习题

一组 25 个正方形积木排成一个 $5 \times 5$ 的正方形。从中选出 3 块积木，使任意两块都不在同一行或同一列，有多少种不同的选法？

从正八边形中随机选出三个顶点，连成一个三角形。这个三角形至少有一条边也是八边形的边的概率是多少？

把 3 个不可区分的红色筹码、3 个不可区分的蓝色筹码和 3 个不可区分的绿色筹码放进 $3 \times 3$ 方格的格子里，使得任意两个同色筹码都不上下或左右直接相邻，有多少种放法？

菱形十二面体是一个凸多面体，它的 12 个面都是菱形，而且所有的面彼此全等。在一个顶点处相交的棱数是 3 或 4，取决于是哪个顶点。恰好有 3 条棱相交的顶点有多少个？

一个正四面体的每个面都涂成红色、白色或蓝色。如果两个全等的四面体分别按两种涂色方法涂好后，能通过旋转使它们看起来完全一样，就认为这两种涂色是不可区分的。可区分的涂色方法一共有多少种？

设 $A$ 和 $B$ 是一个多面体的顶点，定义距离 $d(A, B)$ 为从 $A$ 到 $B$ 至少要经过的多面体的棱数。例如，如果 $\overline{AB}$ 是多面体的一条棱，那么 $d(A, B) = 1$；但如果 $\overline{AC}$ 和 $\overline{CB}$ 是棱而 $\overline{AB}$ 不是棱，那么 $d(A, B) = 2$。设 $Q$、$R$ 和 $S$ 是从正二十面体（由 20 个等边三角形组成的正多面体）的顶点中随机选出的三个互不相同的顶点。$d(Q, R) > d(R, S)$ 的概率是多少？

有无限多个用彩纸做的全等的等边三角形。每个三角形都是单一颜色，纸的两面颜色相同。用其中四个纸三角形拼成一个大的等边三角形。如果无法通过平移、旋转和/或翻折把一个大三角形放到另一个上面，使对应的小三角形颜色相同，就认为这两个大三角形是可区分的。

已知可以选择的三角形有六种不同的颜色，一共能拼成多少个可区分的大等边三角形？

坐标平面上的正方形 $ABCD$ 的顶点为 $A(1, 1)$、$B(-1, 1)$、$C(-1, -1)$ 和 $D(1, -1)$。考虑下面四种变换：

• $L$，绕原点逆时针旋转 $90^\circ$；
• $R$，绕原点顺时针旋转 $90^\circ$；
• $H$，关于 $x$ 轴的翻折；
• $V$，关于 $y$ 轴的翻折。

每种变换都把正方形映射到它自身，但带标签的顶点的位置会改变。例如，先做 $R$ 再做 $V$，会把位于 $(1, 1)$ 的顶点 $A$ 送到 $(-1, -1)$，而把位于 $(-1, 1)$ 的顶点 $B$ 送回它自己。从 $\{L, R, H, V\}$ 中选取变换组成长度为 $20$ 的序列，有多少个序列能把所有带标签的顶点送回原来的位置？（例如，$R, R, V, H$ 就是一个由 $4$ 个变换组成、能把顶点送回原位的序列。）