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AMC 10/12
组合计数 · 第 3 章

分类讨论

把一个难数的问题拆成互不重叠、没有遗漏的几种情况，再把它们加起来：这就是分类讨论的习惯，本章还会讲条件概率。

这一章讲什么？
你需要先会
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3.10%

分类讨论

在本节中，你将能够 把一个计数问题拆成互不重叠、涵盖全部的几种情况，再把它们加起来。

5 件不同的物品要放进 3 个相同的蓝盒子和 6 个相同的绿盒子，每个盒子放一件。一次数清太乱了？那就一种情况一种情况地数。

分类讨论就是选出一个属性来划分情况，比如“有几个蓝盒子放了物品”。分别数出每种情况，再加起来。

只有当各种情况互不重叠、没有遗漏时，这个和才是对的。情况要尽量少：情况越少，出错的机会就越少。

动手探索先玩，再学公式

放进蓝盒子的物品：正在数放得下（≤ 3 个蓝盒）；还没有情况

建立情况：

放进蓝盒子的物品：数出符合条件的方法 放得下（≤ 3 个蓝盒）答案： ?

    ? + ? + …

    点一个规则按钮，建立第一种情况。

    正在数：放得下（≤ 3 个蓝盒）。各种情况：还没有情况。点一个规则按钮，建立第一种情况。

    认识概念

    概念 3.1.1 · 让情况尽量少

    很多计数问题和概率问题，都可以拆成几种情况来解：分别数出每种情况，再加起来。

    做分类讨论时，总要设法让需要处理的情况尽量少。

    注 3.1.2

    做分类讨论题时，选一个会变化的属性，求出每种情况下的方法数。在例 3.1 中，这个属性就是用到的蓝盒子个数。有时一种情况还需要再拆成几种子情况。

    4 位大使和 4 位顾问的坐法：3 种最底层的情况，720 + 1152 + 648 = 2520 种坐法

    ?
    • 情况 1：4 位大使全部相邻
    • 情况 2：3 位相邻，1 位隔开
    • 情况 3：两组，每组 2 位
    已数出 3 种情况中的 0 种

    4 位大使和 4 位顾问的坐法：已数出 3 种情况中的 0 种

    例 3.7 按四位大使坐在哪里来分类。先展开各种情况，再逐个显示它们的个数。

    看例题先预测，再揭晓

    例 3.1

    Omega Learn

    有 3 个相同的蓝盒子、6 个相同的绿盒子和 5 件互不相同的物品。每件物品都必须放进一个绿盒子或蓝盒子，每个盒子最多放 1 件物品。假设所有盒子都各不相同，一共有多少种放法？

    分类整理器 (总数在例题最后一步揭晓)

    建立情况：

    放进蓝盒子的物品：数出符合条件的方法 放得下（≤ 3 个蓝盒）答案： ?

      ? + ? + …

      点一个规则按钮，建立第一种情况。

      正在数：放得下（≤ 3 个蓝盒）。各种情况：还没有情况。点一个规则按钮，建立第一种情况。

      1. 1

        怎样把这道题分成几种情况？一共有几种情况？

        先预测一下：

      例 3.2

      AMC 8

      在一个 3×3 方格的九个小方格中，每格放一个 △\triangle 或一个 ◯\bigcirc。下图是一个示例摆法，其中有三个 △\triangle 连成一条线。有多少种摆法同时满足：有三个 △\triangle 连成一条线，并且有三个 ◯\bigcirc 连成一条线？

      1. 1

        由 △\triangle 组成的线和由 ◯\bigcirc 组成的线能共用一个方格吗？

        先预测一下：
        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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      例 3.3

      AIME

      一只虫子从一个等边三角形的某个顶点出发。每一步，它从自己当前不在的两个顶点中随机选一个，沿三角形的一条边爬到那个顶点。已知虫子第十步走回出发顶点的概率是 m/nm/n，其中 mm 和 nn 是互质的正整数，求 m+nm + n。

      分类树 (总数在例题最后一步揭晓)

      ?
      • 顺 − 逆 = 0：5 步顺时针，5 步逆时针
      • ?
      • ?
      • 顺时针与逆时针步数相差 9
      已数出 6 种情况中的 0 种

      回到起点的步序：已数出 6 种情况中的 0 种

      1. 1

        设有 AA 步顺时针、BB 步逆时针。虫子要在 10 步后回到起点，必须满足什么条件？

        先预测一下：
        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

      例 3.4

      AMC 12

      一家高档民宿有 5 个房间，每个房间都有各自独特的配色装修。某天有 5 位朋友来这里过夜，当晚没有其他客人。朋友们可以随意组合入住，但每个房间最多住 2 位朋友。店主有多少种分配房间的方法？

      1. 1

        应该按哪个属性来分类？

        先预测一下：
        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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      例 3.5

      AMC 10

      一位农民的长方形田地被分成 2×2 的方格，共 4 块长方形区域。农民在每块区域里种一种作物：玉米、小麦、大豆或土豆。农民不想在任何两块有公共边界的区域里分别种玉米和小麦，也不想在任何两块有公共边界的区域里分别种大豆和土豆。在这些限制下，农民为田地的这四块区域选择作物，一共有多少种方法？

      1. 1

        哪些区域有公共边界？

        先预测一下：
        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
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      例 3.6

      AMC 12

      Azar 和 Carl 玩井字棋。Azar 在一个 3×3 方格阵列的某一格中放一个 X，然后 Carl 在剩下的某一格中放一个 O。之后，Azar 在剩下的某一格中放一个 X，如此继续，直到所有格子都填满，或者某位玩家有三个自己的符号连成一线（横、竖或对角线均可），以先发生者为准；后一种情况下，这位玩家赢得比赛。假设两位玩家都是随机落子，而不是按照合理的策略下棋，并且 Carl 在放下他的第三个 O 时赢得比赛。比赛结束后，棋盘可能有多少种样子？

      1. 1

        Carl 的第三个 O 结束了比赛。这时棋盘上有几个 X？

        先预测一下：
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      例 3.7

      AIME

      四位大使和他们各自的一位顾问，要坐在一张有 12 把椅子的圆桌旁，椅子按顺序编号为 1 到 12。每位大使必须坐在编号为偶数的椅子上，每位顾问必须坐在与自己的大使相邻的椅子上。在这些条件下，这 8 个人入座的方法有 NN 种。求 NN 除以 1000 的余数。

      情况 1：大使坐在四把相邻的偶数号椅子上时，顾问的 5 种坐法。
      1. 1

        按大使坐在哪里来分类。情况 1：坐在四把相邻的偶数号椅子上。转动桌子来看，有多少种位置？

        先预测一下：

      竞赛角真实竞赛题

      习题 3.3.2

      AMC 10

      两位导游带着六名游客。导游决定分开行动。每名游客必须选择其中一位导游，但规定每位导游至少要带一名游客。导游和游客一共有多少种不同的分组方式？

      习题 3.3.4

      AMC 10

      把 abcdabcd 重新排列，要求任意两个相邻的字母在字母表中都不相邻，这样的排列有多少种？例如，这样的排列中不能出现 abab，也不能出现 baba。

      习题 3.3.5

      AMC 10

      如果一个正整数的每一位数字都严格大于前一位数字，就称它为上坡数。例如，13571357、8989 和 55 都是上坡数，但 3232、12401240 和 466466 不是。有多少个上坡数能被 1515 整除？

      习题 3.3.7

      AMC 10

      Alice 拒绝坐在 Bob 或 Carla 旁边。Derek 拒绝坐在 Eric 旁边。在这些条件下，五个人坐成一排，有多少种坐法？

      习题 3.3.10

      AMC 10

      Suzanne 去银行取了 $800。柜员用 $20、$50 和 $100 的纸币把这笔钱给了她，每种面额至少一张。Suzanne 可能拿到多少种不同的纸币组合？

      习题 3.3.11

      AMC 12

      有多少个三位数由三个互不相同的数字组成，并且其中一个数字是另外两个数字的平均数？

      过关检测（第 3.1 节）

      3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
      1

      有 2 个相同的红盒子、5 个相同的黄盒子和 4 件互不相同的物品。每件物品各放进一个盒子。一共有多少种放法？

      2

      小于 100100 的正整数中，有多少个的各位数字之和等于 55？

      3

      你把结果分成几种情况，再把各情况的个数相加。要让这个和是正确答案，必须满足什么条件？

      点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
      3.20%

      条件概率

      在本节中，你将能够 在已知某个事件已经发生的情况下，求出概率。

      你掷两颗骰子，一个朋友偷看了一眼：“至少有一颗是 6。”现在点数之和为 7 的概率是多少？

      知道某件事已经发生，就会缩小样本空间。只有让它发生的那些结果仍然可能出现，所以它们成了新的分母。

      当各个结果不是等可能的时候（比如有重掷、加赛），就用概率相除，而不是用个数相除。

      动手探索先玩，再学公式

      6 × 6 = 36 种投掷结果；和为 7：6/36 = 1/6

      骰子 1 (6) × 骰子 2 (6) = 36 种等可能的投掷结果

      123456123456234567345678456789567891067891011789101112左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
      636=16\frac{6}{36} = \frac{1}{6}

      和为 7：36 种投掷结果中有 6 种符合，概率为 1/6

      认识概念

      概念 3.2.1 · 条件概率

      如果题目问的是：已知事件 BB 已经发生，事件 AA 发生的概率是多少，那么只有 BB 中的结果仍然可能出现：

      P(A∣B)=A 与 B 同时发生的方法数B 发生的方法数.P(A \mid B) = \frac{A \text{ 与 } B \text{ 同时发生的方法数}}{B \text{ 发生的方法数}}.

      当各个结果不是等可能时，就改用概率来算：

      P(A∣B)=P(A 且 B)P(B).P(A \mid B) = \frac{P(A \text{ 且 } B)}{P(B)}.

      注 3.2.2

      分类讨论题非常容易出错，所以要尽可能细心。一个好习惯：在数任何一种情况之前，先把所有情况都写下来。这样你就不会漏掉某种情况。

      看例题先预测，再揭晓

      例 3.8

      已知掷出的两颗骰子中至少有一颗是 6，两颗骰子点数之和为 7 的概率是多少？

      样本空间表格 (总数在例题最后一步揭晓)

      骰子 1 (6) × 骰子 2 (6) = 36 种等可能的投掷结果

      123456123456234567345678456789567891067891011789101112左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
      数一数亮起的格子，再做除法。

      和为 7：数一数亮起的格子。

      1. 1

        点数之和为 7，并且至少有一颗骰子是 6，有多少种方法？

        先预测一下：

      例 3.9

      HMMT Modified

      Victor 的抽屉里有两只红袜子、两只绿袜子、两只蓝袜子和 4 只橙袜子。他每次从抽屉里随机取出两只袜子，如果两只袜子颜色相同就停下。不过，Victor 是红绿色盲，所以如果他看到一只红袜子和一只绿袜子，也会停下。Victor 停下时手里的两只袜子颜色相同的概率是多少？假设 Victor 每次都把两只袜子放回抽屉。

      分类整理器 (总数在例题最后一步揭晓)

      建立情况：

      两只袜子：数出符合条件的牌对 同色的一双答案： ?

        ? + ? + …

        点一个规则按钮，建立第一种情况。

        正在数：同色的一双。各种情况：还没有情况。点一个规则按钮，建立第一种情况。

        1. 1

          Victor 每次取完都把袜子放回去。那些他继续取的回合会改变什么？

          先预测一下：
          点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

        例 3.10

        AMC 10

        在某个游戏中，4 位玩家每人掷一颗标准的 6 面骰子。掷出最大点数的玩家获胜。如果最大点数出现平局，平局的玩家就重新掷，如此继续，直到有一位玩家获胜。Hugo 是这个游戏的玩家之一。已知 Hugo 赢得了游戏，他第一次掷出 5 的概率是多少？

        分类树 (总数在例题最后一步揭晓)

        ?
        • 其他人都没掷出 5 或更大
        • 与 1 人打平，重掷获胜
        • 与 2 人打平，重掷获胜
        • 与 3 人都打平，重掷获胜
        已数出 4 种情况中的 0 种

        Hugo 掷出 5 并获胜：已数出 4 种情况中的 0 种

        1. 1

          为什么不能像例 3.8 那样直接数结果？

        竞赛角真实竞赛题

        习题 3.3.1

        AMC 10

        硬币 A 抛三次，硬币 B 抛四次。这两枚均匀硬币抛出的正面次数相同的概率是多少？

        习题 3.3.3

        AMC 10

        掷三颗均匀的六面骰子。其中两颗骰子的点数之和等于剩下那颗骰子点数的概率是多少？

        习题 3.3.6

        AMC 10

        有一对特别的骰子，每颗骰子掷出 11、22、33、44、55、66 的概率之比为 1:2:3:4:5:61 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6。两颗骰子掷出的点数总和为 77 的概率是多少？

        习题 3.3.13

        AIME

        经济合作会议的九名代表中，有 22 名来自墨西哥的官员、33 名来自加拿大的官员和 44 名来自美国的官员。在开幕会议上，有三名代表睡着了。假设这三名睡着的人是随机的，睡着的人中恰好有两人来自同一个国家的概率是 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

        过关检测（第 3.2 节）

        3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
        1

        抛两枚均匀的硬币。已知至少有一枚是正面，两枚都是正面的概率是多少？

        2

        掷一颗均匀的骰子。已知掷出的是偶数，它大于 33 的概率是多少？

        3

        掷两颗均匀的骰子。已知点数之和为 88，至少有一颗骰子是 66 的概率是多少？

        3.3

        练习题

        在本节中，你将能够 在竞赛题中运用分类讨论、子情况和对称性。

        现在把学过的都混在一起用。数任何东西之前，先把所有情况写下来。每道题都有三条提示，卡住了就看看。

        想在一页上看到本章的全部题目？打开习题集。

        竞赛角真实竞赛题

        习题 3.3.8

        AMC 10

        来自不同家庭的三对年幼的兄妹（或姐弟）要坐一辆面包车出行。这六个孩子将坐在面包车的第二排和第三排，每排有三个座位。为了避免吵闹，兄弟姐妹不能在同一排紧挨着坐，并且任何孩子都不能坐在自己兄弟姐妹的正前方。这次出行一共有多少种座位安排？

        习题 3.3.9

        AMC 10/12

        一个数字显示屏把当天日期显示为一个 8 位整数：先是 4 位的年份，然后是 2 位的月份，最后是 2 位的当月日期。例如，今年的植树节显示为 2023042820230428。在 2023 年中，有多少个日期满足：在该日期的 8 位显示中，每个数字都出现偶数次？

        习题 3.3.12

        AMC 10

        有 1010 个人等距地站成一圈。每个人恰好认识其他 99 人中的 33 个：站在她或他两旁的 22 个人，以及圆上正对面的那个人。把这 1010 个人分成 55 对，使每一对中的两人互相认识，有多少种分法？

        习题 3.3.14

        AMC 10/12

        Arjun 和 Beth 玩一个游戏：两人轮流从若干堵砖墙中的某一堵“墙”上拿走一块砖或两块相邻的砖，拿走后留下的空隙可能产生新的墙。每堵墙都只有一块砖高。例如，大小为 44 和 22 的一组墙，走一步后可以变成下面任意一种：(3,2)(3, 2)、(2,1,2)(2, 1, 2)、(4)(4)、(4,1)(4, 1)、(2,2)(2, 2) 或 (1,1,2)(1, 1, 2)。

        Arjun 先走，拿走最后一块砖的玩家获胜。对于下面哪一种初始局面，Beth 有必胜策略？

        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

        习题 3.3.15

        AMC 10

        考虑含未知数 xx、yy、zz 的三元一次方程组

        a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0a3x+b3y+c3z=0\begin{aligned} a_1 x + b_1 y + c_1 z &= 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z &= 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z &= 0 \end{aligned}

        其中每个系数都是 00 或 11，并且方程组有 x=y=z=0x = y = z = 0 以外的解。例如，方程组 {1x+1y+0z=0, 0x+1y+1z=0, 0x+0y+0z=0}\{1x + 1y + 0z = 0,\ 0x + 1y + 1z = 0,\ 0x + 0y + 0z = 0\} 就是一个，它有非零解 {x,y,z}={1,−1,1}\{x, y, z\} = \{1, -1, 1\}。这样的方程组一共有多少个？（一个方程组中的方程不必互不相同；两个方程组如果含有相同的方程但顺序不同，算作不同的方程组。）

        习题 3.3.16

        AMC 12

        由小于或等于 88 的互不相同的正整数组成、并满足 xy>zxy > z、xz>yxz > y 和 yz>xyz > x 的有序三元组 (x,y,z)(x, y, z) 有多少个？

        习题 3.3.17

        AMC 10/12

        要把 3×33 \times 3 方格中的 99 个小方格分别涂成红色、蓝色或黄色，要求：每个红色方格至少与一个蓝色方格有公共边，每个蓝色方格至少与一个黄色方格有公共边，每个黄色方格至少与一个红色方格有公共边。可以通过旋转和/或翻折互相得到的涂法看作相同。一共有多少种不同的涂法？

        习题 3.3.18

        AMC 10挑战

        设 D(n)D(n) 表示把正整数 nn 写成乘积

        n=f1⋅f2⋯fkn = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k

        的方法数，其中 k≥1k \ge 1，各 fif_i 都是严格大于 11 的整数，并且因数排列的顺序有区别（也就是说，只是因数顺序不同的两种写法算作不同）。例如，66 可以写成 66、2⋅32 \cdot 3 和 3⋅23 \cdot 2，所以 D(6)=3D(6) = 3。D(96)D(96) 是多少？

        习题 3.3.19

        AMC 10/12挑战

        一个 5×55 \times 5 方格中的每个小方格要么是填满的，要么是空的，并且最多有八个相邻的邻格，这里的邻格是指有公共边或公共顶点的方格。方格按下列规则变换：有两个或三个填满邻格的填满方格，仍然填满；恰好有三个填满邻格的空方格，变成填满的方格；其他所有方格都保持为空或变为空。下图展示了一个变换示例。

        假设这个 5×55 \times 5 方格最外一圈都是空方格，围着中间一个 3×33 \times 3 的子方格。有多少种初始摆法，经过一次变换后，得到的方格只有中心一个方格是填满的？（同一种摆法的旋转和翻折看作不同。）

        点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

        习题 3.3.20

        AMC 12

        设 KK 是满足下列条件的序列 A1A_1, A2A_2, …\ldots, AnA_n 的个数：nn 是小于或等于 1010 的正整数，每个 AiA_i 都是 {1,2,3,…,10}\{1, 2, 3, \ldots, 10\} 的子集，并且对 22 到 nn（含两端）之间的每个 ii，Ai−1A_{i-1} 都是 AiA_i 的子集。例如，{}\{\}, {5,7}\{5, 7\}, {2,5,7}\{2, 5, 7\}, {2,5,7}\{2, 5, 7\}, {2,5,6,7,9}\{2, 5, 6, 7, 9\} 就是这样一个序列，其中 n=5n = 5。KK 除以 1010 的余数是多少？

        习题 3.3.21

        AMC 10/12

        如果一个正整数满足：每个数字最多使用一次，不含数字 00，并且没有任何一个数字的两侧都是比它大的数字，就称它为“公平数”。例如，196196、2323 和 1246312463 是公平数，但 15461546、320320 和 3432134321 不是。公平的正整数一共有多少个？

        习题 3.3.22

        AIME

        一个正八边形的每个顶点以相等的概率涂成红色或蓝色。这个八边形能够旋转，使所有蓝色顶点都落到原来是红色顶点的位置上，这个概率是 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。m+nm + n 是多少？

        习题 3.3.23（补充题）

        AIME

        Zou 和 Chou 在练习 100100 米短跑，两人互相比赛 66 场。Zou 赢了第一场；此后，如果某人赢了上一场，他赢下一场的概率是 23\frac23，如果他输了上一场，概率就只有 13\frac13。Zou 恰好赢 66 场中 55 场的概率是 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

        习题 3.3.24（补充题）

        AIME

        有多少个不同的 4×44 \times 4 数表，其中的数全是 11 和 −1-1，并且每一行的数之和为 00，每一列的数之和也为 00？

        习题 3.3.25（补充题）

        AMC 10

        这道题在书中还以 3.10 的编号出现。

        在某个游戏中，44 位玩家每人掷一颗标准的 66 面骰子。掷出最大点数的玩家获胜。如果最大点数出现平局，平局的玩家就重新掷，如此继续，直到有一位玩家获胜。Hugo 是这个游戏的玩家之一。已知 Hugo 赢得了游戏，他第一次掷出 55 的概率是多少？

        习题 3.3.26（补充题）

        AMC 12

        要给两个大小相同的不同正方体涂色，每个面的颜色独立且随机地选为黑色或白色。涂好之后，这两个正方体经过旋转能够看起来完全一样的概率是多少？

        习题 3.3.27（补充题）

        AMC 10

        给一个正方体的 1212 条棱分别标上 00 或 11。即使一种标法可以通过一次或多次旋转和/或翻折得到另一种，这两种标法也算作不同。有多少种这样的标法，使正方体的 66 个面中每个面上各棱的标数之和都等于 22？

        习题 3.3.28（补充题）

        AMC 10/12挑战

        用 44 个白色单位正方体和 44 个蓝色单位正方体拼成一个正方体。用这些小正方体拼成 2×2×22 \times 2 \times 2 的正方体，有多少种不同的拼法？（如果一种拼法旋转后能与另一种重合，就看作相同。）

        习题 3.3.29（补充题）

        AMC 10挑战

        Jason 掷三颗均匀的标准六面骰子。然后他看看掷出的点数，选出其中一部分骰子（可以一颗都不选，也可以三颗全选）重新掷。重掷之后，当且仅当三颗骰子朝上的点数之和恰好为 77 时，他获胜。Jason 总是以让自己获胜机会最大的方式来玩。他选择恰好重掷两颗骰子的概率是多少？

        习题 3.3.30（补充题）

        AIME挑战

        下图所示的轮子由两个圆和五根辐条组成，每根辐条与圆的交点处都有一个标记。一只虫子从点 AA 出发，沿着轮子行走。每一步，虫子都从一个标记点走到一个相邻的标记点。在内圆上，虫子只沿逆时针方向走；在外圆上，虫子只沿顺时针方向走。例如，虫子可以沿路径 AJABCHCHIJAAJABCHCHIJA 行走，这条路径有 1010 步。设 nn 是起点和终点都是点 AA、共 1515 步的路径条数。求 nn 除以 10001000 的余数。