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硬币 A 抛三次，硬币 B 抛四次。这两枚均匀硬币抛出的正面次数相同的概率是多少？

两位导游带着六名游客。导游决定分开行动。每名游客必须选择其中一位导游，但规定每位导游至少要带一名游客。导游和游客一共有多少种不同的分组方式？

掷三颗均匀的六面骰子。其中两颗骰子的点数之和等于剩下那颗骰子点数的概率是多少？

把 $abcd$ 重新排列，要求任意两个相邻的字母在字母表中都不相邻，这样的排列有多少种？例如，这样的排列中不能出现 $ab$，也不能出现 $ba$。

如果一个正整数的每一位数字都严格大于前一位数字，就称它为上坡数。例如，$1357$、$89$ 和 $5$ 都是上坡数，但 $32$、$1240$ 和 $466$ 不是。有多少个上坡数能被 $15$ 整除？

有一对特别的骰子，每颗骰子掷出 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$ 的概率之比为 $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6$。两颗骰子掷出的点数总和为 $7$ 的概率是多少？

Alice 拒绝坐在 Bob 或 Carla 旁边。Derek 拒绝坐在 Eric 旁边。在这些条件下，五个人坐成一排，有多少种坐法？

来自不同家庭的三对年幼的兄妹（或姐弟）要坐一辆面包车出行。这六个孩子将坐在面包车的第二排和第三排，每排有三个座位。为了避免吵闹，兄弟姐妹不能在同一排紧挨着坐，并且任何孩子都不能坐在自己兄弟姐妹的正前方。这次出行一共有多少种座位安排？

一个数字显示屏把当天日期显示为一个 8 位整数：先是 4 位的年份，然后是 2 位的月份，最后是 2 位的当月日期。例如，今年的植树节显示为 $20230428$。在 2023 年中，有多少个日期满足：在该日期的 8 位显示中，每个数字都出现偶数次？

Suzanne 去银行取了 $800。柜员用 $20、$50 和 $100 的纸币把这笔钱给了她，每种面额至少一张。Suzanne 可能拿到多少种不同的纸币组合？

有多少个三位数由三个互不相同的数字组成，并且其中一个数字是另外两个数字的平均数？

有 $10$ 个人等距地站成一圈。每个人恰好认识其他 $9$ 人中的 $3$ 个：站在她或他两旁的 $2$ 个人，以及圆上正对面的那个人。把这 $10$ 个人分成 $5$ 对，使每一对中的两人互相认识，有多少种分法？

经济合作会议的九名代表中，有 $2$ 名来自墨西哥的官员、$3$ 名来自加拿大的官员和 $4$ 名来自美国的官员。在开幕会议上，有三名代表睡着了。假设这三名睡着的人是随机的，睡着的人中恰好有两人来自同一个国家的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

Arjun 和 Beth 玩一个游戏：两人轮流从若干堵砖墙中的某一堵“墙”上拿走一块砖或两块相邻的砖，拿走后留下的空隙可能产生新的墙。每堵墙都只有一块砖高。例如，大小为 $4$ 和 $2$ 的一组墙，走一步后可以变成下面任意一种：$(3, 2)$、$(2, 1, 2)$、$(4)$、$(4, 1)$、$(2, 2)$ 或 $(1, 1, 2)$。

Arjun 先走，拿走最后一块砖的玩家获胜。对于下面哪一种初始局面，Beth 有必胜策略？

考虑含未知数 $x$、$y$、$z$ 的三元一次方程组

其中每个系数都是 $0$ 或 $1$，并且方程组有 $x = y = z = 0$ 以外的解。例如，方程组 $\{1x + 1y + 0z = 0,\ 0x + 1y + 1z = 0,\ 0x + 0y + 0z = 0\}$ 就是一个，它有非零解 $\{x, y, z\} = \{1, -1, 1\}$。这样的方程组一共有多少个？（一个方程组中的方程不必互不相同；两个方程组如果含有相同的方程但顺序不同，算作不同的方程组。）

由小于或等于 $8$ 的互不相同的正整数组成、并满足 $xy > z$、$xz > y$ 和 $yz > x$ 的有序三元组 $(x, y, z)$ 有多少个？

要把 $3 \times 3$ 方格中的 $9$ 个小方格分别涂成红色、蓝色或黄色，要求：每个红色方格至少与一个蓝色方格有公共边，每个蓝色方格至少与一个黄色方格有公共边，每个黄色方格至少与一个红色方格有公共边。可以通过旋转和/或翻折互相得到的涂法看作相同。一共有多少种不同的涂法？

设 $D(n)$ 表示把正整数 $n$ 写成乘积

的方法数，其中 $k \ge 1$，各 $f_i$ 都是严格大于 $1$ 的整数，并且因数排列的顺序有区别（也就是说，只是因数顺序不同的两种写法算作不同）。例如，$6$ 可以写成 $6$、$2 \cdot 3$ 和 $3 \cdot 2$，所以 $D(6) = 3$。$D(96)$ 是多少？

一个 $5 \times 5$ 方格中的每个小方格要么是填满的，要么是空的，并且最多有八个相邻的邻格，这里的邻格是指有公共边或公共顶点的方格。方格按下列规则变换：有两个或三个填满邻格的填满方格，仍然填满；恰好有三个填满邻格的空方格，变成填满的方格；其他所有方格都保持为空或变为空。下图展示了一个变换示例。

假设这个 $5 \times 5$ 方格最外一圈都是空方格，围着中间一个 $3 \times 3$ 的子方格。有多少种初始摆法，经过一次变换后，得到的方格只有中心一个方格是填满的？（同一种摆法的旋转和翻折看作不同。）

设 $K$ 是满足下列条件的序列 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ 的个数：$n$ 是小于或等于 $10$ 的正整数，每个 $A_i$ 都是 $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ 的子集，并且对 $2$ 到 $n$（含两端）之间的每个 $i$，$A_{i-1}$ 都是 $A_i$ 的子集。例如，$\{\}$, $\{5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 6, 7, 9\}$ 就是这样一个序列，其中 $n = 5$。$K$ 除以 $10$ 的余数是多少？

如果一个正整数满足：每个数字最多使用一次，不含数字 $0$，并且没有任何一个数字的两侧都是比它大的数字，就称它为“公平数”。例如，$196$、$23$ 和 $12463$ 是公平数，但 $1546$、$320$ 和 $34321$ 不是。公平的正整数一共有多少个？

一个正八边形的每个顶点以相等的概率涂成红色或蓝色。这个八边形能够旋转，使所有蓝色顶点都落到原来是红色顶点的位置上，这个概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

Zou 和 Chou 在练习 $100$ 米短跑，两人互相比赛 $6$ 场。Zou 赢了第一场；此后，如果某人赢了上一场，他赢下一场的概率是 $\frac23$，如果他输了上一场，概率就只有 $\frac13$。Zou 恰好赢 $6$ 场中 $5$ 场的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

有多少个不同的 $4 \times 4$ 数表，其中的数全是 $1$ 和 $-1$，并且每一行的数之和为 $0$，每一列的数之和也为 $0$？

在某个游戏中，$4$ 位玩家每人掷一颗标准的 $6$ 面骰子。掷出最大点数的玩家获胜。如果最大点数出现平局，平局的玩家就重新掷，如此继续，直到有一位玩家获胜。Hugo 是这个游戏的玩家之一。已知 Hugo 赢得了游戏，他第一次掷出 $5$ 的概率是多少？

要给两个大小相同的不同正方体涂色，每个面的颜色独立且随机地选为黑色或白色。涂好之后，这两个正方体经过旋转能够看起来完全一样的概率是多少？

给一个正方体的 $12$ 条棱分别标上 $0$ 或 $1$。即使一种标法可以通过一次或多次旋转和/或翻折得到另一种，这两种标法也算作不同。有多少种这样的标法，使正方体的 $6$ 个面中每个面上各棱的标数之和都等于 $2$？

用 $4$ 个白色单位正方体和 $4$ 个蓝色单位正方体拼成一个正方体。用这些小正方体拼成 $2 \times 2 \times 2$ 的正方体，有多少种不同的拼法？（如果一种拼法旋转后能与另一种重合，就看作相同。）

Jason 掷三颗均匀的标准六面骰子。然后他看看掷出的点数，选出其中一部分骰子（可以一颗都不选，也可以三颗全选）重新掷。重掷之后，当且仅当三颗骰子朝上的点数之和恰好为 $7$ 时，他获胜。Jason 总是以让自己获胜机会最大的方式来玩。他选择恰好重掷两颗骰子的概率是多少？

下图所示的轮子由两个圆和五根辐条组成，每根辐条与圆的交点处都有一个标记。一只虫子从点 $A$ 出发，沿着轮子行走。每一步，虫子都从一个标记点走到一个相邻的标记点。在内圆上，虫子只沿逆时针方向走；在外圆上，虫子只沿顺时针方向走。例如，虫子可以沿路径 $AJABCHCHIJA$ 行走，这条路径有 $10$ 步。设 $n$ 是起点和终点都是点 $A$、共 $15$ 步的路径条数。求 $n$ 除以 $1000$ 的余数。