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Mastering
AMC 10/12
组合计数 · 第 2 章

概率

数出等可能的结果，判断顺序是否重要，把独立事件的概率相乘；当一个事件会改变下一个事件时，就沿着概率树计算。

这一章讲什么？
你需要先会
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2.10%

概率基础

在本节中，你将能够 通过数等可能的结果来求概率：想要的结果数除以总结果数。

掷两个骰子。36 种结果中，和为偶数的占几分之几？

本章的每一个概率问题都从同一步开始：列出等可能的结果，数出你想要的那些，再除以总数。

注意：结果必须是等可能的。“和为 2”和“和为 7”是两个和，但 7 出现的次数是 2 的六倍。

动手探索先玩，再学公式

6 × 6 = 36 种投掷结果；和为偶数：18/36 = 1/2

骰子 1 (6) × 骰子 2 (6) = 36 种等可能的投掷结果

123456123456234567345678456789567891067891011789101112左侧是骰子 1，顶部是骰子 2。
1836=12\frac{18}{36} = \frac{1}{2}

和为偶数：36 种投掷结果中有 18 种符合，概率为 1/2

认识概念

定义 2.1.1 · 概率

概率是某件事发生的可能性大小。

定理 2.1.2 · 概率

当所有结果都等可能时，

概率=想要的结果总数所有结果总数.\text{概率} = \frac{\text{想要的结果总数}}{\text{所有结果总数}}.

看例题先预测，再揭晓

例 2.1

AIME

在下图由 13 个小方格组成的图形中，8 个方格涂成红色，其余 5 个方格涂成蓝色。从所有这样的涂法中随机选出一种，选中的涂色图形绕中心方格旋转 90 度后看起来不变的概率是 1n\frac{1}{n}，其中 nn 是正整数。求 nn。

  1. 1

    要让旋转 90∘90^\circ 后涂色看起来不变，需要满足什么条件？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

自己做

习题 2.6.1

掷两个 6 面骰子。两个点数之和是偶数的概率是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 2.6.5

AMC 10

从 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中随机选出两个不同的数并相乘。积是偶数的概率是多少？

习题 2.6.8

AMC 10/12

把数 1,2,…,91, 2, \dots, 9 随机放进 3×33 \times 3 方格表的 9 个格子中。每个格子放一个数，每个数恰好用一次。每一行、每一列的数之和都是奇数的概率是多少？

习题 2.6.13

AMC 10

一个盒子里有 5 个筹码，编号为 1、2、3、4、5。每次随机抽出一个筹码，不放回，直到抽出的数之和超过 4 为止。恰好需要抽 3 次的概率是多少？

过关检测（第 2.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个袋子里有 3 个红色弹珠和 5 个蓝色弹珠。随机摸出一个。它是红色的概率是多少？

2

掷两个均匀的骰子。点数之和是 10 的概率是多少？

3

从 1 到 20 中随机选一个整数。它是 3 的倍数的概率是多少？

2.20%

可区分性

在本节中，你将能够 判断计数时要不要考虑顺序，并识别出不等可能的情况。

从编号为 1 到 10 的卡片中选出 2 张不同的卡片。“先 3 后 7”和“先 7 后 3”算不同的一对吗？对概率来说，这无所谓，只要你前后一致。

计算有序对时，分数的分子和分母都乘了同一个 2!2!，所以它会约掉。陷阱在于列出的情况不是等可能的，比如和 2+22 + 2 与 1+31 + 3。

动手探索先玩，再学公式

无序：45 个中有 10 个满足“积为奇数” = 2/9

从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 中选出 2 张卡片，要求互不相同。 亮起的是：积为奇数。

  • {1, 2}
  • {1, 3}
  • {1, 4}
  • {1, 5}
  • {1, 6}
  • {1, 7}
  • {1, 8}
  • {1, 9}
  • {1, 10}
  • {2, 3}
  • {2, 4}
  • {2, 5}
  • {2, 6}
  • {2, 7}
  • {2, 8}
  • {2, 9}
  • {2, 10}
  • {3, 4}
  • {3, 5}
  • {3, 6}
  • {3, 7}
  • {3, 8}
  • {3, 9}
  • {3, 10}
  • {4, 5}
  • {4, 6}
  • {4, 7}
  • {4, 8}
  • {4, 9}
  • {4, 10}
  • {5, 6}
  • {5, 7}
  • {5, 8}
  • {5, 9}
  • {5, 10}
  • {6, 7}
  • {6, 8}
  • {6, 9}
  • {6, 10}
  • {7, 8}
  • {7, 9}
  • {7, 10}
  • {8, 9}
  • {8, 10}
  • {9, 10}
1045=29\frac{10}{45} = \frac{2}{9}

如果改成考虑顺序，会得到 2090=29\frac{20}{90} = \frac{2}{9}. 答案相同！

不考虑顺序：45 个情况中有 10 个满足“积为奇数”，2/9

认识概念

注 2.2.1

在概率问题中，要不要乘上顺序数由你决定，因为两种做法得到的概率是一样的。

注 2.2.2

如果你决定不乘顺序数，一定要确保每种情况的顺序数都相同。在例 2.2 中，每一对都有 22 种顺序。55 个一组时也是如此，每组总有 5!5! 种顺序。但在例 2.3 中，两种情况的顺序数不同，所以那里不能忽略顺序。

看例题先预测，再揭晓

例 2.2

我有编号为 1 到 10 的卡片。随机选出 2 张不同的卡片，它们的积是奇数的概率是多少？

  1. 1

    两张卡片的积是奇数，需要满足什么条件？

    先预测一下：
    点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

例 2.3

2 个正整数的和是 4。求其中一个整数是 2 的概率。

  1. 1

    列出这两个整数的所有情况。

例 2.4

AIME

一副 40 张的牌由四张 1、四张 2、……、四张 10 组成。从牌中拿走一个对子（两张数字相同的牌）。已知这两张牌不再放回，设随机抽出的两张牌也组成对子的概率为 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

  1. 1

    拿走一对之后，还剩多少张牌？

    先预测一下：
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例 2.5

AMC 10

20 个球中的每一个都独立且随机地投进 5 个箱子中的一个。设 pp 为某个箱子最后有 3 个球、另一个箱子有 5 个球、其余三个箱子各有 4 个球的概率。设 qq 为每个箱子最后都有 4 个球的概率。pq\frac{p}{q} 是多少？

  1. 1

    所有 5205^{20} 种投法都是等可能的，所以 pp 和 qq 的分母相同。那我们改为比较什么？

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竞赛角真实竞赛题

习题 2.6.4

AMC 10

Carr 老师要求学生从阅读清单上的 10 本书中任选 5 本阅读。Harold 从清单中随机选出 5 本书，Betty 也这样做。恰好有 2 本书是两人都选了的概率是多少？

习题 2.6.9

AMC 10

两个正方体骰子上各有可拆下的数字 1 到 6。把两个骰子上的十二个数字都拆下来，放进一个袋子，然后一次取出一个，随机地重新贴到两个正方体的面上，每个面贴一个数字。接着掷这两个骰子，把两个朝上的面上的数相加。和为 7 的概率是多少？

习题 2.6.12

AMC 12

设 SS 是数列 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 的所有首项不是 11 的排列组成的集合。从 SS 中随机选出一个排列。第二项是 22 的概率化为最简分数是 ab\frac{a}{b}。a+ba + b 是多少？

习题 2.6.14

AMC 10

把四十张纸条放进一顶帽子，每张纸条上写着 1、2、3、4、5、6、7、8、9 或 10 中的一个数，每个数各写在四张纸条上。从帽子里随机抽出四张纸条，不放回。设 pp 为四张纸条上的数都相同的概率。设 qq 为其中两张纸条上的数是 aa、另外两张上的数是 b≠ab \ne a 的概率。q/pq/p 的值是多少？

过关检测（第 2.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

从 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 中随机选出两个不同的数。两个都是偶数的概率是多少？

2

从编号为 1 到 7 的卡片中抽出三张不同的卡片。三张都是奇数的概率是多少？

3

抛两枚均匀的硬币。一枚正面、一枚反面的概率是多少？

2.30%

独立事件的概率

在本节中，你将能够 把独立事件的概率相乘。

两个人掷两个奇怪的骰子。一个骰子的面是 1, 1, 2, 6, 15, 30，另一个是 1, 2, 4, 18, 28, 44。积是 24 的倍数的可能性有多大？

如果一个事件的结果不会改变另一个事件的概率，这两个事件就是独立的。这时你不需要整张表格：分别求出每个概率，再相乘。

动手探索先玩，再学公式

6 × 6 = 36 种等可能的投掷结果

A 的骰子 (6) × B 的骰子 (6) = 36 种等可能的投掷结果

12418284411261530左侧是A 的骰子，顶部是B 的骰子。
选一个条件，让符合的格子亮起来。

6 × 6 = 36 种等可能的投掷结果。选一个条件吧。

认识概念

注 2.3.1

要求两个独立事件同时发生的概率（其中一个的结果不影响另一个），就分别求出每个事件的概率，再把它们相乘。

3 个骰子：P(至少一个 6) = 1 − (5/6)^3 = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42.1%

骰子个数3
?
?
?
P(没有 6) = (56)3\left(\tfrac{5}{6}\right)^{3}
P(至少一个 6) ≈ 42.1%
0%50%100%123456789101112

3 个骰子：P(没有 6) = 125/216；P(至少一个 6) = 91/216 ≈ 42.1%

互相独立的骰子：三个骰子都不出现 6 的概率是 (5/6) × (5/6) × (5/6)。

看例题先预测，再揭晓

例 2.6

Omega Learn

A 掷一个面上数字为 1, 1, 2, 6, 15, 30 的骰子，B 掷一个面上数字为 1, 2, 4, 18, 28, 44 的骰子。两个数的积是 24 的倍数的概率是多少？

样本空间表格 (总数在例题最后一步揭晓)

A 的骰子 (6) × B 的骰子 (6) = 36 种等可能的投掷结果

12418284411261530左侧是A 的骰子，顶部是B 的骰子。
选一个条件，让符合的格子亮起来。

6 × 6 = 36 种等可能的投掷结果。选一个条件吧。

  1. 1

    把 2424 分解质因数。积需要满足什么？

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例 2.7

掷 4 次骰子，点数之积是 648 的倍数的概率是多少？

  1. 1

    把 648648 分解质因数。

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竞赛角真实竞赛题

习题 2.6.6

AMC 10

反复掷一个均匀的 6 面骰子，直到掷出奇数为止。在第一次掷出奇数之前，每个偶数都至少出现过一次的概率是多少？

习题 2.6.7

AMC 12

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 6 个面。每个骰子的各面上印着从 1 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出和为 7 的概率是掷出和为 10 的概率的 34\frac{3}{4}，掷出和为 12 的概率是 112\frac{1}{12}。两个骰子的面数之和最少是多少？

习题 2.6.11

AMC 12

Tina 从集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中随机选出两个不同的数，Sergio 从集合 {1,2,…,10}\{1, 2, \dots, 10\} 中随机选出一个数。Sergio 的数大于 Tina 所选两个数之和的概率是多少？

习题 2.6.15

AMC 10/12

一个红球和一个绿球被随机且独立地投进以正整数编号的箱子中，对每个球来说，它被投进 kk 号箱子的概率是 2−k2^{-k}，k=1,2,3,…k = 1, 2, 3, \dots。红球所在箱子的编号比绿球所在箱子的编号大的概率是多少？

习题 2.6.18

AMC 12

青蛙 Flora 从数轴上的 0 出发，不断向右跳。每一跳都与之前的跳跃无关，Flora 跳出正整数距离 mm 的概率是 12m\frac{1}{2^m}。Flora 最终落在 10 上的概率是多少？

过关检测（第 2.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

抛一枚均匀的硬币，再掷一个均匀的骰子。得到正面且掷出 6 的概率是多少？

2

掷三个均匀的骰子。没有一个骰子掷出 6 的概率是多少？

3

掷两个均匀的骰子。点数之积是 3 的倍数的概率是多少？

2.40%

相关事件的概率

在本节中，你将能够 当第一个事件会改变第二个事件的概率时，使用概率树。

星期六下雨的概率是 40%，星期日是 30%。但星期六下雨会让星期日下雨的可能性翻倍。所以这两天不是独立的。

当事件相关时，沿着树的一条路径相乘：第一个概率，乘以已知第一个事件发生时第二个事件的概率。然后把你想要的路径加起来。

注意：树的所有叶子加起来总是 1。这让补集概率变得很简单。

动手探索先玩，再学公式

叶子 0, 2/5, 0, 3/5；没有选中叶子

P(周六下雨)4/10
x = P(周日下雨 | 周六不下雨)0/14

P(周日下雨 | 周六下雨) = 2x = 0 · P(周日下雨) = 0。需要等于 3/10。

星期六星期日2/5下雨0下雨1不下雨3/5不下雨0下雨1不下雨
点击叶子，把它们加起来

独立吗？ P(周日下雨 | 周六下雨) = 0，而 P(周日下雨) = 0. 相等，所以是独立的。

已选：无。合计 0。独立。

认识概念

注 2.4.1

当事件相关（不独立）时，AA 和 BB 都发生的概率是

P(A 且 B)=P(A)×P(B，已知 A 已发生).P(A \text{ 且 } B) = P(A) \times P(B \text{，已知 } A \text{ 已发生}).

看例题先预测，再揭晓

例 2.8

AIME

星期六下雨的概率是 40%40\%，星期日下雨的概率是 30%30\%。不过，如果星期六下雨，星期日下雨的可能性是星期六不下雨时的两倍。这个周末至少有一天下雨的概率是 ab\frac{a}{b}，其中 aa 和 bb 是互质的正整数。求 a+ba + b。

概率树 (总数在例题最后一步揭晓)

P(周六下雨)4/10
x = P(周日下雨 | 周六不下雨)0/14

P(周日下雨 | 周六下雨) = 2x = 0 · P(周日下雨) = 0。需要等于 3/10。

星期六星期日2/5下雨0下雨1不下雨3/5不下雨0下雨1不下雨
把需要的叶子加起来（合计暂时隐藏）。

独立吗？ P(周日下雨 | 周六下雨) = 0，而 P(周日下雨) = 0. 相等，所以是独立的。

已选：无。合计 ?。独立。

  1. 1

    设 xx 为星期六不下雨时星期日下雨的概率。如果星期六下雨，这个概率是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 2.6.2

AMC 12

一副牌只有红牌和黑牌。随机抽出一张是红牌的概率是 13\frac{1}{3}。加入 4 张黑牌后，抽到红牌的概率变成 14\frac{1}{4}。原来这副牌有多少张？

习题 2.6.3

AMC 10

Bob 和 Alice 各有一个袋子，袋中蓝、绿、橙、红、紫五种颜色的球各一个。Alice 从自己的袋子里随机取出一个球，放进 Bob 的袋子。然后 Bob 从自己的袋子里随机取出一个球，放进 Alice 的袋子。经过这个过程后，两个袋子里的球完全相同的概率是多少？

习题 2.6.20（补充题）

AIME

Jen 参加抽奖，从 S={1,2,3,…,9,10}S = \{1, 2, 3, \dots, 9, 10\} 中选出 4 个互不相同的数。然后从 SS 中随机抽出 4 个数。如果她的数中至少有两个是随机抽出的数，她就中奖；如果她的四个数都是随机抽出的数，她就中大奖。已知她中奖的条件下，她中大奖的概率是 mn\frac{m}{n}，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

习题 2.6.21（补充题）

AMC 10/12

一个罐子里有一个红球和一个蓝球。旁边有一个盒子，装着额外的红球和蓝球。George 进行下面的操作四次：从罐子里随机取出一个球，再从盒子里拿一个同色的球，然后把这两个同色的球放回罐子。四次操作后，罐子里有六个球。罐子里红球和蓝球各三个的概率是多少？

过关检测（第 2.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球。不放回地取出两个球。两个都是红球的概率是多少？

2

从一副标准的 52 张扑克牌中不放回地抽出两张。两张都是 A 的概率是多少？

3

一个罐子里有一个红球和一个蓝球。旁边有一个盒子，装着额外的红球和蓝球。George 进行下面的操作四次：从罐子里随机取出一个球，再从盒子里拿一个同色的球，然后把这两个同色的球放回罐子。四次操作后，罐子里有六个球。罐子里红球和蓝球各三个的概率是多少？

2.50%

相关还是独立？

在本节中，你将能够 判断一次随机选择是否会改变下一次，并据此计数。

Mark 在 5 × 5 的教室里随机得到一个座位，然后 Steve 得到另一个座位。Steve 避开 Mark 所在行和列的概率是多少？

Steve 的座位取决于 Mark 的座位：Mark 坐的那个位置已经没有了。但在这里，不管 Mark 坐在哪里，坏座位的个数都一样，所以你可以先让 Mark 坐下，再只数 Steve 的选择。

动手探索先玩，再学公式

5 × 5 把椅子：Steve 有 24 个座位，其中 16 个不和 Mark 同行或同列，概率为 2/3

行数5
列数5

点击一把椅子，让 Mark 坐下。阴影椅子和他同行或同列。

1624=23\frac{16}{24} = \frac{2}{3}

Steve 有 24 把空椅子：8 把在 Mark 的行或列上，16 把是安全的。把 Mark 挪到别处：答案会变吗？

Mark 坐在第 3 行第 3 列。Steve 有 24 个座位可坐；其中 8 个和 Mark 同行或同列，16 个不是。概率为 2/3。

看例题先预测，再揭晓

例 2.9

Omega Learn

Mark 要在教室里 5×55 \times 5 排列的椅子中选一个座位。他的对头 Steve 不喜欢 Mark，所以想选一个和 Mark 既不同行也不同列的座位。可让他失望的是，老师是随机分配座位的。Steve 和 Mark 既不同行也不同列的概率是多少？

座位表 (总数在例题最后一步揭晓)

点击一把椅子，让 Mark 坐下。阴影椅子和他同行或同列。

概率：先数，再除！

Steve 有 24 把空椅子：8 把在 Mark 的行或列上，16 把是安全的。把 Mark 挪到别处：答案会变吗？

Mark 坐在第 3 行第 3 列。Steve 有 24 个座位可坐；其中 8 个和 Mark 同行或同列，16 个不是。

  1. 1

    先让 Mark 坐下。Steve 还剩多少个座位？

    先预测一下：
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过关检测（第 2.5 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

Mark 和 Steve 被随机安排在 3×33 \times 3 排列的椅子上。Steve 和 Mark 既不同行也不同列的概率是多少？

2

掷两个均匀的骰子。事件“第一个骰子掷出 6”和“点数之和是 7”是独立的吗？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
3

从编号为 1 到 5 的卡片中不放回地依次抽出两张。第二张是 5 的概率是多少？

2.6

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有工具。

是时候把所有方法混在一起用了：奇偶性、对称性、重复投掷和无穷求和。每道题都有三条提示，卡住时可以看看。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 2.6.10

AMC 10/12

2023 个球中的每一个都被随机放进 3 个箱子中的一个。下面哪个数最接近每个箱子里都有奇数个球的概率？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 2.6.16

AMC 12

这道题在书中还以 2.6.7 的编号出现。

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 6 个面。每个骰子的各面上印着从 1 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出和为 7 的概率是掷出和为 10 的概率的 34\frac{3}{4}，掷出和为 12 的概率是 112\frac{1}{12}。两个骰子的面数之和最少是多少？

习题 2.6.17

AMC 10

这道题在书中还以 2.6.6 的编号出现。

反复掷一个均匀的 6 面骰子，直到掷出奇数为止。在第一次掷出奇数之前，每个偶数都至少出现过一次的概率是多少？

习题 2.6.19

AMC 12挑战

三个球被随机且独立地投进以正整数编号的箱子中，对每个球来说，它被投进 ii 号箱子的概率是 2−i2^{-i}，i=1,2,3,…i = 1, 2, 3, \dots。每个箱子允许放多个球。三个球最终落在互不相同且编号等距的箱子中的概率是 pq\frac{p}{q}，其中 pp 和 qq 是互质的正整数。（例如，如果三个球被投进 3 号、17 号和 10 号箱子，它们就是等距的。）p+qp + q 是多少？