概率：全部习题

掷两个 6 面骰子。两个点数之和是偶数的概率是多少？

一副牌只有红牌和黑牌。随机抽出一张是红牌的概率是 $\frac{1}{3}$。加入 4 张黑牌后，抽到红牌的概率变成 $\frac{1}{4}$。原来这副牌有多少张？

Bob 和 Alice 各有一个袋子，袋中蓝、绿、橙、红、紫五种颜色的球各一个。Alice 从自己的袋子里随机取出一个球，放进 Bob 的袋子。然后 Bob 从自己的袋子里随机取出一个球，放进 Alice 的袋子。经过这个过程后，两个袋子里的球完全相同的概率是多少？

Carr 老师要求学生从阅读清单上的 10 本书中任选 5 本阅读。Harold 从清单中随机选出 5 本书，Betty 也这样做。恰好有 2 本书是两人都选了的概率是多少？

从 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中随机选出两个不同的数并相乘。积是偶数的概率是多少？

反复掷一个均匀的 6 面骰子，直到掷出奇数为止。在第一次掷出奇数之前，每个偶数都至少出现过一次的概率是多少？

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 6 个面。每个骰子的各面上印着从 1 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出和为 7 的概率是掷出和为 10 的概率的 $\frac{3}{4}$，掷出和为 12 的概率是 $\frac{1}{12}$。两个骰子的面数之和最少是多少？

把数 $1, 2, \dots, 9$ 随机放进 $3 \times 3$ 方格表的 9 个格子中。每个格子放一个数，每个数恰好用一次。每一行、每一列的数之和都是奇数的概率是多少？

两个正方体骰子上各有可拆下的数字 1 到 6。把两个骰子上的十二个数字都拆下来，放进一个袋子，然后一次取出一个，随机地重新贴到两个正方体的面上，每个面贴一个数字。接着掷这两个骰子，把两个朝上的面上的数相加。和为 7 的概率是多少？

2023 个球中的每一个都被随机放进 3 个箱子中的一个。下面哪个数最接近每个箱子里都有奇数个球的概率？

Tina 从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中随机选出两个不同的数，Sergio 从集合 $\{1, 2, \dots, 10\}$ 中随机选出一个数。Sergio 的数大于 Tina 所选两个数之和的概率是多少？

设 $S$ 是数列 $1, 2, 3, 4, 5$ 的所有首项不是 $1$ 的排列组成的集合。从 $S$ 中随机选出一个排列。第二项是 $2$ 的概率化为最简分数是 $\frac{a}{b}$。$a + b$ 是多少？

一个盒子里有 5 个筹码，编号为 1、2、3、4、5。每次随机抽出一个筹码，不放回，直到抽出的数之和超过 4 为止。恰好需要抽 3 次的概率是多少？

把四十张纸条放进一顶帽子，每张纸条上写着 1、2、3、4、5、6、7、8、9 或 10 中的一个数，每个数各写在四张纸条上。从帽子里随机抽出四张纸条，不放回。设 $p$ 为四张纸条上的数都相同的概率。设 $q$ 为其中两张纸条上的数是 $a$、另外两张上的数是 $b \ne a$ 的概率。$q/p$ 的值是多少？

一个红球和一个绿球被随机且独立地投进以正整数编号的箱子中，对每个球来说，它被投进 $k$ 号箱子的概率是 $2^{-k}$，$k = 1, 2, 3, \dots$。红球所在箱子的编号比绿球所在箱子的编号大的概率是多少？

掷两个均匀的骰子，每个骰子至少有 6 个面。每个骰子的各面上印着从 1 到该骰子面数（含两端）的互不相同的整数。掷出和为 7 的概率是掷出和为 10 的概率的 $\frac{3}{4}$，掷出和为 12 的概率是 $\frac{1}{12}$。两个骰子的面数之和最少是多少？

反复掷一个均匀的 6 面骰子，直到掷出奇数为止。在第一次掷出奇数之前，每个偶数都至少出现过一次的概率是多少？

青蛙 Flora 从数轴上的 0 出发，不断向右跳。每一跳都与之前的跳跃无关，Flora 跳出正整数距离 $m$ 的概率是 $\frac{1}{2^m}$。Flora 最终落在 10 上的概率是多少？

三个球被随机且独立地投进以正整数编号的箱子中，对每个球来说，它被投进 $i$ 号箱子的概率是 $2^{-i}$，$i = 1, 2, 3, \dots$。每个箱子允许放多个球。三个球最终落在互不相同且编号等距的箱子中的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。（例如，如果三个球被投进 3 号、17 号和 10 号箱子，它们就是等距的。）$p + q$ 是多少？

Jen 参加抽奖，从 $S = \{1, 2, 3, \dots, 9, 10\}$ 中选出 4 个互不相同的数。然后从 $S$ 中随机抽出 4 个数。如果她的数中至少有两个是随机抽出的数，她就中奖；如果她的四个数都是随机抽出的数，她就中大奖。已知她中奖的条件下，她中大奖的概率是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

一个罐子里有一个红球和一个蓝球。旁边有一个盒子，装着额外的红球和蓝球。George 进行下面的操作四次：从罐子里随机取出一个球，再从盒子里拿一个同色的球，然后把这两个同色的球放回罐子。四次操作后，罐子里有六个球。罐子里红球和蓝球各三个的概率是多少？