几何

底为 $b$、高为 $h$ 的三角形，面积是

三边为 $a$、$b$、$c$，半周长为 $s = \frac{a+b+c}{2}$ 的三角形，面积是

内切圆半径为 $r$（三角形内切圆的半径）、半周长为 $s$ 的三角形，面积是

外接圆半径为 $R$（三角形外接圆的半径）、三边为 $a$、$b$、$c$ 的三角形，面积是

两边为 $a$ 和 $b$、这两边的夹角为 $C$ 的三角形，面积是

如果一个多边形的顶点坐标都是整数（即顶点都是格点），那么这个多边形的面积是

其中 $i$ 是多边形内部的格点个数，$b$ 是多边形边界上的格点个数。

说白了，面积 = 内部格点数 + 边界格点数的一半 − $1$。

设多边形 $P$ 的顶点按顺时针顺序依次为 $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_n, b_n)$。那么 $P$ 的面积 $A$ 为

其中

也可以按逆时针顺序列出顶点，只要最后取绝对值就行。

鞋带公式的名字来自这样一幅图：把坐标排成一列，在最下面重复写一遍第一组坐标，再把要相乘的坐标连起来：

两列之间交叉的连线看起来就像鞋带。

如果等边三角形的边长是 $a$，那么

这直接由 30°-60°-90° 三角形得出。

如果 45°-45°-90° 三角形的边长（每条直角边）是 $a$，那么

如果 30°-60°-90° 三角形的短直角边是 $a$，那么

如果一个三角形的三边是 $13$、$14$ 和 $15$，它可以分成两个直角三角形，边长分别是

直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形满足

重要的勾股数：

把一组勾股数中的每个数都乘以同一个常数，得到的数仍然是一组勾股数。例如，下面这些都是勾股数：$3, 4, 5$；$6, 8, 10$；$9, 12, 15$；$12, 16, 20$；$15, 20, 25$。

在直角三角形 $ABC$ 中，$B$ 是直角，$BD$ 是斜边上的高，那么下面这几个三角形相似：

斜边上的高的长度是

还有：

图中 $AB = 4$，$BC = 3$，$AC = 5$，所以 $BD = \frac{12}{5}$，$AD = \frac{16}{5}$，$CD = \frac{9}{5}$。

在直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$，从 $B$ 出发的中线与 $AC$ 交于点 $P$。那么

说白了，在直角三角形中，$AC$ 是外接圆的直径，$PA$、$PB$、$PC$ 都是外接圆的半径。

如果两个三角形的三个角都相同，它们就相似。换句话说，一个三角形是另一个三角形按某个相似比缩放得到的。

一般地，满足下列条件之一的两个三角形相似：

• AA 相似（角角）：两个三角形有两组角分别相等（于是第三组角也相等）。
• SAS 相似（边角边）：两组边成比例，且它们的夹角相等。
• SSS 相似（边边边）：三组边都成比例。
• HL 相似（斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边成比例。
• LL 相似（直角边、直角边）：在直角三角形中，两组直角边成比例。

注意： SSA（边边角）不能说明两个三角形相似。

认出相似三角形的一个简单办法：两个三角形的底边平行，而且它们的边落在同样的直线上（见图）。

对于相似三角形：

1. 两个三角形的各个角都相同。
2. 所有对应边的比都相同。
3. 面积之比是边长之比的平方。

如果直线 $AD$ 平分三角形 $ABC$ 的角 $A$（$D$ 在 $BC$ 上），那么

边长为 $s$ 的正方形，面积是

周长是

底为 $b$、高为 $h$ 的长方形，面积是

周长是

对角线为 $d_1$ 和 $d_2$ 的菱形，面积是

周长是

底为 $b$、高为 $h$ 的平行四边形，面积是

两底为 $b_1$ 和 $b_2$、高为 $h$ 的梯形，面积是

半径为 $r$ 的圆满足

对于半径为 $r$、角度为 $a^\circ$ 的弧：

也就是 $\pi \times \text{半径}^2 \times$ 扇形占整个圆的比例。

也就是 $2\pi \times \text{半径} \times$ 扇形占整个圆的比例。

一段弧在圆心处所对的角（弧的角度）是它在圆上任意一点所对的角的 2 倍：

一边是直径的圆内接三角形一定是直角三角形。

任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。图中，$AB$ 和 $CD$ 的垂直平分线交于圆心 $O$。

• 全等的弦到圆心的距离相等。
• 如果圆中的两条弦全等，那么它们所截的弧也全等。
• 如果圆中的两条弦全等，那么它们所对的两个圆心角也全等。

从圆外一点 $P$ 引两条割线，分别交圆于 $A, B$ 和 $C, D$（$A$ 和 $C$ 离 $P$ 较近）。$P$ 处的角等于它所截的两段弧之差的一半：

如果两条弦 $AB$ 和 $CD$ 交于 $P$，那么 $\angle BPC$ 和 $\angle APD$ 都等于两段弧的平均数：

如果过点 $R$ 的切线与圆相切于 $Q$，再画一条弦 $QP$，那么 $\angle RQP$ 等于角内那段弧 $QP$ 的一半。

相等的弦截出相等的弧。

也就是说，如果两条弦一样长，那么它们在圆上截出的弧（以及扇形）也相等。

把圆心与直线和圆的切点连起来，这条半径与切线成直角。

从圆外一点 $P$ 向圆作两条切线，两条切线长相等：

如果圆的两条弦（或割线）$AB$ 和 $CD$ 相交于点 $P$，那么这些线段满足

如果 $P$ 是圆外一点，$PT$ 是圆的切线，割线 $AB$ 和 $CD$ 都经过 $P$，那么这些线段满足

如果圆心为 $O$ 的圆的两条弦 $AB$ 和 $CD$ 相交于圆内一点 $P$，那么

其中 $r$ 是圆的半径。

如果圆心为 $O$ 的圆的两条割线 $AB$ 和 $CD$ 相交于圆外一点 $P$，那么

其中 $r$ 是圆的半径。

求复杂图形面积的技巧：

• 分割：把图形分成更“好算”的几块。
• 延长线段：延长后能得到更好处理的图形或面积（比如三角形）时，通常就延长它们。
• 拆分面积：常用的办法是作高，这样通常能得到直角三角形。

求复杂图形中的长度：

• 等角对等边，反过来也成立。
• 留意 $90^\circ$ 角：有了它就能用勾股定理。
• 用下面这些技巧把长度拆成几段：
  • 添加辅助线；
  • 作高；
  • 延长线段，构造出相似三角形、特殊三角形等，再减去多出来的长度。

• 三角形的内角和是 $180^\circ$。
• 有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等；有两条边相等的三角形，这两条边所对的角相等（等腰三角形）。
• 两条直线相交，对顶角相等。
• 两条平行线被截，同位角相等。
• 一段弧在圆心处所对的角是它在圆上所对的角的 2 倍。

互余的角是和为 $90^\circ$ 的两个角：$a + b = 90^\circ$。

互补的角是和为 $180^\circ$ 的两个角：$a + b = 180^\circ$。

两条直线相交时，对顶角相等。对顶角是两条相交直线形成的、彼此相对的每一对角。这里的“对顶”是说它们共用同一个顶点（角的顶点），并且彼此相对。

**平行线：**一条直线与两条平行线相交时，同位角相等。所以两个交点处的每个角不是 $a$ 就是 $b$，并且 $a + b = 180^\circ$。

对于有 $n$ 条边的多边形：

• 内角和：$(n-2)\cdot 180^\circ$
• 正多边形的每个内角：$\dfrac{n-2}{n}\cdot 180^\circ$
• 正多边形的每个外角：$\dfrac{360^\circ}{n}$

正多边形的重要内角：

对于边长为 $s$ 的正六边形：

• 内角和：$(6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ$
• 每个内角：$\dfrac{6-2}{6}\cdot 180^\circ = 120^\circ$
• 每个外角：$\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$
• 面积：$6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$
• 长对角线：$2s$

对于边长为 $s$ 的正八边形：

• 内角和：$(8-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ$
• 每个内角：$\dfrac{8-2}{8}\cdot 180^\circ = 135^\circ$
• 每个外角：$\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
• 面积：$2(1+\sqrt{2})s^2$

在圆内接四边形（四个顶点都在同一个圆上）中，对角之和是 $180^\circ$：

在圆内接四边形 $ABCD$ 中，两条对角线的积等于两组对边乘积之和：

边长为 $a, b, c, d$ 的圆内接四边形的面积为

其中 $s = \dfrac{a+b+c+d}{2}$ 是半周长。

说白了，求圆内接四边形的面积：

1. 求出周长，再除以 2。
2. 用它分别减去每条边长，得到 4 个值。
3. 把这 4 个值相乘。
4. 对乘积开平方。

棱长为 $a$ 的正方体：

用文字说：体积是棱长的立方，表面积是棱长平方的 $6$ 倍，体对角线是棱长的 $\sqrt{3}$ 倍。

长 $l$、宽 $w$、高 $h$ 的长方体（盒子）：

体积是三条棱长的乘积；体对角线从一个顶点连到相对的顶点。

半径为 $r$、高为 $h$ 的圆柱：

半径为 $r$、高为 $h$、斜高为 $s$ 的圆锥：

用文字说：体积是 $\frac13 \cdot \pi \cdot \text{半径}^2 \cdot \text{高}$，表面积是 $\pi \cdot \text{半径}^2 + \pi \cdot \text{半径} \times \text{斜高}$，其中斜高 $s$（圆锥的斜高也叫母线）沿侧面量取。

半径为 $r$ 的球：

对任意四面体：

正四面体（6 条棱都等于 $s$）的体积是

对任意棱锥：

当棱锥的底面是正方形，且所有棱（8 条）都等于 $s$ 时，它的体积是

也就是 $\text{棱数} = \text{面数} + \text{顶点数} - 2$。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

三角形三条中线的交点叫作重心。

三角形的重心在每条中线上，位于从顶点到对边中点的 $\frac{2}{3}$ 处。

三角形的外心是三条垂直平分线的交点（垂直平分线是平分一条线段并与它垂直的直线）。这个点也是外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等。

三角形的内心是三条角平分线的交点。这个点也是内切圆的圆心，它到三条边的距离相等。

直角三角形的内切圆半径 $r$ 为

其中 $a$ 和 $b$ 是直角边，$c$ 是斜边。

塞瓦线是从三角形的一个顶点连到对边上任意一点的线段。中线和角平分线都是特殊的塞瓦线。

在三角形 $ABC$ 中，设 $D$、$E$、$F$ 分别是直线 $BC$、$CA$、$AB$ 上的点。直线 $AD$、$BE$、$CF$ 交于一点，当且仅当

塞瓦线不一定在三角形内部：它们的交点可以在三角形外面。这时把每个比都看作有向比（点在边的外面时为负），于是 $D, E, F$ 中恰好有两个在边的外面。（用有向比时，乘积为 $1$ 也可能表示三条直线互相平行。）

在三角形 $ABC$ 中，顶点 $A$、$B$、$C$ 所对的边长分别为 $a$、$b$、$c$。如果作塞瓦线 $AD$，使 $BD = m$，$DC = n$，$AD = d$，那么

也就是 $a(mn + d^2) = b^2 m + c^2 n$。