手册 · 第 1 章

代数

平均数、数列与级数、速率、方程组、多项式与韦达定理、因式分解、取整函数和不等式：所有代数公式，尽在一处。

原书第 6–32 页 · 89 个条目

1.1 平均数、中位数、众数

定义 1.1.1 · 平均数

\text{平均数} = \text{所有项的平均值} = \frac{\text{所有项的和}}{\text{项数}}

去学习:定义 18.0.1 · 平均数第 18.0a 节平均数、中位数和众数

原书第 6 页

定义 1.1.2 · 众数

\text{众数} = \text{出现次数最多的项}

去学习:定义 18.0.3 · 众数

原书第 6 页

注 1.1.3

众数可能不止一个。如果题目说“唯一众数”，意思就是只有一个众数。

去学习:注 18.0.4

原书第 6 页

定义 1.1.4 · 中位数

把这些数按从小到大（或从大到小）的顺序排好后：

如果项数是奇数，中位数就是正中间的那个数。
如果项数是偶数，中位数就是中间两个数的平均数。

去学习:定义 18.0.2 · 中位数

原书第 6 页

定义 1.1.5

数 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ 的调和平均数是

\frac{1}{\dfrac{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}{n}} = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}

也就是说，调和平均数是

\frac{n}{\text{所有 } a_k \text{ 的倒数之和}}

去学习:定义 18.0.6 · 调和平均数第 18.0b 节其他平均数

原书第 7 页已数值验证

1.2 等差数列

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定义 1.2.1 · 等差数列

等差数列是相邻两项之差都相同的数列。

1, 4, 7, 10, 13, \ldots, 40

是一个等差数列，因为相邻两项之差总是 $3$ 。

去学习:定义 15.0.1 · 等差数列第 15.0 节等差数列

原书第 7 页

注 1.2.2

等差数列的公差也可以是负数。例如，在等差数列

40, 37, 34, \ldots, 4, 1

中，公差是 $-3$ 。

去学习:注 15.0.2

原书第 7 页

定义 1.2.3 · 等差数列的记号

一般地，等差数列的各项可以写成

a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n

其中

$d$ 是相邻两项的公差
$n$ 是项数

去学习:定义 15.0.3 · 等差数列的记号

原书第 7 页

定理 1.2.4 · 等差数列的第 n 项

a_n = a_1 + (n - 1)d

也就是说，等差数列的第 $n$ 项是

\text{首项} + (n - 1)(\text{公差}).

还有

a_n = a_m + (n - m)d

也就是

\text{第 } n\text{ 项} = \text{第 } m\text{ 项} + (n - m)(\text{公差}).

去学习:定理 15.0.4 · 等差数列的第 $n$ 项

原书第 8 页已数值验证

定理 1.2.5 · 等差数列的项数

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1

用文字表示：

\text{项数} = \frac{\text{末项} - \text{首项}}{\text{公差}} + 1

去学习:定理 15.0.5 · 等差数列的项数

原书第 8 页已数值验证

定理 1.2.6 · 等差数列各项的平均数

\text{各项的平均数} = \frac{a_1 + a_n}{2}

\text{各项的平均数} = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}

用文字表示：

\text{各项的平均数} = \frac{\text{首项} + \text{末项}}{2} = \frac{\text{所有项的和}}{\text{项数}}

如果项数是偶数，平均数就是中间 $2$ 项的平均数。
如果项数是奇数，平均数就是正中间的那一项。

去学习:定理 15.0.6 · 等差数列各项的平均数

原书第 9 页已数值验证

定理 1.2.7 · 等差数列所有项的和

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n

用文字表示：

\text{所有项的和} = \text{各项的平均数} \times \text{项数}.

代入 $a_n = a_1 + (n - 1)d$ ，得到

S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \times n

去学习:定理 15.0.7 · 等差数列所有项的和

原书第 9 页已数值验证

1.3 等比数列

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定义 1.3.1 · 等比数列

等比数列是相邻两项之比都相同的一列数。

1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots, 1024

是一个等比数列，因为相邻两项之比总是 $2$ 。

去学习:定义 16.0.1 · 等比数列第 16.0a 节等比数列的项

原书第 10 页

定义 1.3.2 · 等比数列的记号

一般地，等比数列的各项可以记作

g_1, g_2, g_3, g_4, \ldots, g_n

其中

$r$ 是相邻两项的公比
$n$ 是项数

去学习:定义 16.0.2 · 等比数列的记号

原书第 10 页

注 1.3.3

等比数列的公比也可以是负数。例如，数列 $1, -2, 4, -8, \ldots, 512, -1024$ 的公比是 $-2$ 。

去学习:注 16.0.3

原书第 10 页

定理 1.3.4 · 等比数列的第 n 项

g_n = g_1 \cdot r^{n-1}

也就是说

\text{等比数列的第 } n\text{ 项} = \text{首项} \times (\text{公比})^{n-1}.

求第 $n$ 项的一般形式是

g_n = g_m \cdot r^{n-m}

也就是

\text{第 } n\text{ 项} = \text{第 } m\text{ 项} \times (\text{公比})^{n-m}.

去学习:定理 16.0.4 · 等比数列的第 n 项

原书第 10 页已数值验证

定理 1.3.5 · 有限等比数列的项数

当 $r > 0$ ， $r \ne 1$ 时，

n = \log_r\left(\frac{g_n}{g_1}\right) + 1

说白了，项数比“从 $g_1$ 乘 $r$ 乘到 $g_n$ 所需的次数”多 $1$ 。

去学习:第 16.0a 节等比数列的项

原书第 11 页已数值验证

定理 1.3.6 · 有限等比数列所有项的和

当 $r \ne 1$ 时，

S_n = g_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

用文字表示：

\text{所有项的和} = \text{首项} \times \frac{1 - (\text{公比})^n}{1 - \text{公比}}.

去学习:定理 16.0.5 · 有限等比数列所有项的和第 16.0b 节等比级数

原书第 11 页已数值验证

定理 1.3.7 · 无穷等比数列所有项的和

当 $-1 < r < 1$ 时，

S_\infty = \frac{g_1}{1 - r}

去学习:定理 16.0.6 · 无穷等比数列所有项的和

原书第 11 页已数值验证

注 1.3.8

这个公式只在 $|r| < 1$ 时成立：如果 $|r| \ge 1$ ，和是发散的（要么无限增大，要么永远不稳定）。只有收敛的等比数列才能求和，收敛的意思是它的和越来越接近一个常数。例如：

1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = \frac{1}{1 - \frac12} = 2

1 + \frac13 + \frac19 + \frac1{27} + \cdots = \frac{1}{1 - \frac13} = \frac32

去学习:注 16.0.7

原书第 11 页已数值验证

1.4 特殊级数

定理 1.4.1 · 连续整数求和公式

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

去学习:定理 17.0.1 · 连续整数求和公式第 17.0 节幂的和

原书第 12 页已数值验证

定理 1.4.2 · 奇数求和公式

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

简单地说，前 $n$ 个奇数之和是 $n^2$ 。

去学习:定理 17.0.2 · 奇数求和公式

原书第 12 页已数值验证

定理 1.4.3 · 偶数求和公式

2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n(n+1)

直观地想：把每一项里的 $2$ 提出来：

2(1 + 2 + 3 + \cdots + n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)

简单地说，前 $n$ 个偶数之和等于 $2 \times$ 前 $n$ 个正整数之和。

去学习:定理 17.0.3 · 偶数求和公式

原书第 12 页已数值验证

定理 1.4.4 · 平方和公式

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

去学习:定理 17.0.4 · 平方和公式

原书第 12 页已数值验证

定理 1.4.5 · 立方和公式

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

去学习:定理 17.0.5 · 立方和公式

原书第 12 页已数值验证

1.5 裂项相消

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概念 1.5.1 · 裂项相消

把开头几项和最后几项展开，把能抵消的项都消掉。

去学习:概念 17.1.1 · 裂项相消第 17.1 节裂项相消

原书第 13 页

注 1.5.2

一般来说，只要遇到很长、看起来很难甚至无法手算的式子，多半就要用裂项相消。

去学习:注 17.1.2

原书第 13 页

概念 1.5.3 · 部分分式分解

部分分式分解（裂项）是一种裂项相消的技巧：把一项拆成几项，让它们能互相抵消。一般地，要求 $\frac{1}{ab}$ （ $a$ 、 $b$ 是任意式子）的部分分式分解，就列出方程

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{ab}

然后解出 $x$ 和 $y$ 。例如，

\frac{1}{n(n+1)}

（这里 $a = n$ ， $b = n + 1$ ）的部分分式分解是

\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.

利用部分分式分解，就能裂项相消，轻松求出式子的值。

去学习:第 17.1 节裂项相消 undefined 17.2.8

原书第 13 页已数值验证

1.6 速度、路程与时间

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定理 1.6.1

\text{路程} = \text{速度} \times \text{时间}

等价地，

\text{速度} = \frac{\text{路程}}{\text{时间}} \qquad \text{时间} = \frac{\text{路程}}{\text{速度}}

去学习:定理 20.0.1 · 路程、速度与时间第 20.0a 节路程、速度与平均速度

原书第 14 页

定理 1.6.2

\text{平均速度} = \frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}

去学习:定理 20.0.2 · 平均速度

原书第 14 页已数值验证

注 1.6.3

一个常见的错误是以为平均速度就是各个速度的平均数（尤其是以每个速度走的路程都相同的时候）。记住：除非你以这些速度走的时间相同，否则这是不对的！

去学习:注 20.0.3 · 平均速度陷阱

原书第 14 页已数值验证

1.7 工作量、效率与时间

定理 1.7.1

\text{工作量} = \text{效率} \times \text{时间}

等价地，

\text{效率} = \frac{\text{工作量}}{\text{时间}} \qquad \text{时间} = \frac{\text{工作量}}{\text{效率}}

去学习:定理 19.1.1 · 工作量、效率与时间第 19.1 节工作与效率

原书第 15 页

1.8 方程组

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概念 1.8.1 · 方程组应用题

这是 AMC 10 上最常见的题型之一。解这类题的诀窍是：给题目中的未知量设未知数，再列方程求解。

去学习:第 19.0 节列方程组

原书第 15 页

概念 1.8.2 · 解方程组

从应用题中列出方程组之后（或者题目直接给出方程组），可以考虑用下面一种或几种方法来解。

代入法
消元法
对角乘积法（只适用于二元方程组）
把方程相加、相减
留意常见的因式分解技巧（见第 1.10 节）
用韦达定理由方程构造多项式（见第 1.9 节）
画出方程的图像（建议用方格纸）
利用对称性
借助几何公式构造几何模型，例如
- 余弦定理
- 海伦公式
- 正弦面积公式
- 斯图尔特定理
- 三角恒等式
（这些公式见几何一章。）

去学习:概念 12.5.1 · 解代数方程的技巧第 19.0 节列方程组

原书第 15 页

1.9 多项式

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概念 1.9.1 · 判别式

在求根公式中，

b^2 - 4ac

（根号里面的部分）叫作这个二次式的判别式。

如果判别式 $b^2 - 4ac$ 等于 $0$ ，那么这个二次式有一个重根。
如果判别式 $b^2 - 4ac$ 是正数，那么这个二次式有 $2$ 个不同的实根。
如果判别式 $b^2 - 4ac$ 是负数，那么这个二次式没有实根。

去学习:概念 13.1.2 · 判别式第 13.1a 节二次方程：求根公式、判别式与韦达定理

原书第 16 页已数值验证

注 1.9.2

还要注意：（整系数）二次式只有在判别式 $b^2 - 4ac$ 是完全平方数时，才可能有整数解。

去学习:概念 13.1.2 · 判别式

原书第 16 页已数值验证

定理 1.9.3 · 求根公式

二次方程

ax^2 + bx + c = 0

的解是

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

去学习:定理 13.1.1 · 求根公式

原书第 17 页已数值验证

定理 1.9.4 · 二次方程的韦达定理

在二次方程

ax^2 + bx + c = 0

中，两根之和是

-\frac{b}{a}

两根之积是

\frac{c}{a}.

去学习:定理 13.1.3 · 二次方程的韦达定理

原书第 17 页已数值验证

定理 1.9.5 · 高次多项式的韦达定理

对于多项式方程

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0

设它的根为 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，则有：

r_1 + r_2 + r_3 + \cdots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \quad \text{（所有根之和）}

r_1r_2 + r_1r_3 + \cdots + r_{n-1}r_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \quad \text{（所有两根之积的和）}

r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \cdots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\frac{a_{n-3}}{a_n} \quad \text{（所有三根之积的和）}

\vdots

r_1r_2r_3\cdots r_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \quad \text{（全部 } n \text{ 个根之积）}

注意符号正负交替：奇数个根之积的和带负号，偶数个根之积的和带正号。

去学习:定理 13.1.4 · 高次多项式的韦达定理第 13.1b 节高次多项式的韦达定理

原书第 18 页已数值验证

定理 1.9.6 · 有理根定理

对于多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

其中 $a_n$ 不为零，且每个 $a_i$ 都是整数，那么它的每个有理根 $\pm\frac{p}{q}$ （既约分数）都满足

$p$ 整除 $a_0$
$q$ 整除 $a_n$

说白了，

所有分数根的分子都整除多项式的常数项
所有分数根的分母都整除最高次项的系数。

原书第 19 页已数值验证

推论 1.9.7 · 整数根定理

对于多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

其中 $a_n$ 不为零，且每个 $a_i$ 都是整数，那么它的所有整数根都整除 $a_0$ ，即多项式的常数项。

原书第 19 页已数值验证

注 1.9.8

这说明，对于首项系数为 $1$ 的整系数多项式（首一多项式），有理根只能是整数。

原书第 19 页已数值验证

定理 1.9.9 · 余数定理

多项式 $P(x)$ 除以 $x - r$ 的余数是 $P(r)$ 。

去学习:定理 14.1.5 · 余数定理第 14.1 节用根表示多项式

原书第 19 页已数值验证

推论 1.9.10 · 因式定理

如果 $P(r) = 0$ ，那么 $x - r$ 整除多项式 $P(x)$ 。

这是余数定理的直接推论。

去学习:推论 14.1.6 · 因式定理

原书第 19 页已数值验证

定理 1.9.11 · 用根表示多项式

多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

可以写成

a_n(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)\cdots(x - r_n)

其中 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ 是这个多项式的 $n$ 个根。

去学习:定理 14.1.1 · 用根表示多项式概念 14.1.3 · 求差的乘积

原书第 20 页已数值验证

推论 1.9.12 · 用根表示首一多项式

多项式

P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

（首项系数是 $1$ ）可以写成

(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)\cdots(x - r_n)

其中 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ 是这个多项式的 $n$ 个根。

去学习:推论 14.1.2 · 用根表示首一多项式

原书第 20 页已数值验证

定理 1.9.13 · 代数基本定理

一个 $n$ 次多项式（最高次项的次数是 $n$ ）在计入重数的情况下有 $n$ 个复数根。例如，一个重根算作 $2$ 个根。

去学习:定理 14.1.4 · 代数基本定理定义 44.2.1

原书第 20 页

定理 1.9.14 · 共轭根定理

如果 $a + bi$ （ $a$ 、 $b$ 是实数）是一个实系数多项式的根，那么 $a - bi$ 也是它的根。

去学习:定义 44.2.1 第 44.2 节多项式中的复数

原书第 20 页已数值验证

定理 1.9.15

如果 $a + b\sqrt{c}$ 是一个有理系数多项式的根，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是有理数且 $\sqrt{c}$ 是无理数，那么 $a - b\sqrt{c}$ 也是它的根。

更正

原书没有要求 $\sqrt{c}$ 是无理数（也没有要求 $a$ 、 $b$ 是有理数）。少了这个条件，结论就不成立： $2 = 0 + 1\cdot\sqrt{4}$ 是 $x - 2$ 的根，但 $0 - 1\cdot\sqrt{4} = -2$ 不是。

原书第 20 页已数值验证

概念 1.9.16 · 倒数根

如果多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

的根是 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，那么

Q(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n

的根是

\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \ldots, \frac{1}{r_n}.

说白了，把一个多项式的系数倒过来排，它的根就变成原来各根的倒数。

去学习:概念 14.3.1 · 倒数根第 14.3 节多项式变换

原书第 21 页已数值验证

概念 1.9.17 · 根增大或减小

如果多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

的根是 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，那么

Q(x) = a_n(x - k)^n + a_{n-1}(x - k)^{n-1} + \cdots + a_1(x - k) + a_0

的根是

r_1 + k, r_2 + k, r_3 + k, \ldots, r_n + k.

去学习:概念 14.3.2 · 根增大或减小

原书第 21 页已数值验证

注 1.9.18

记住：如果根要增大 $k$ ，就要在多项式中把每个 $x$ 减去 $k$ 。

去学习:注 14.3.3

原书第 21 页

注 1.9.19

求关于根的复杂式子时，多项式变换很有用。例如，对于根为 $r, s, t$ 的多项式，要求

\frac{1}{(r - 3)^3} + \frac{1}{(s - 3)^3} + \frac{1}{(t - 3)^3}

不必展开后用韦达定理硬算，而是用上面的方法构造一个根为

\frac{1}{(r - 3)^3}, \frac{1}{(s - 3)^3}, \frac{1}{(t - 3)^3}

的新多项式，再求出这个多项式的根之和就行了。

去学习:注 14.3.4

原书第 21 页

定理 1.9.20 · 牛顿和

设多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

的根是 $r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n$ ，并设

S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k.

那么有：

a_n S_1 + a_{n-1} = 0

a_n S_2 + a_{n-1}S_1 + 2a_{n-2} = 0

a_n S_3 + a_{n-1}S_2 + a_{n-2}S_1 + 3a_{n-3} = 0

\vdots

注意当 $j$ 为负数时 $a_j = 0$ ，展开时可能会遇到这种情况。

用文字说：

从 $S_k$ 开始，用最左边的系数 $a_n$ 乘它。
再用下一个系数 $a_{n-1}$ 乘 $S_{k-1}$ 。
照这样继续，把这些乘积加起来，直到
- 到了 $S_0$ ：这时不用最后那个系数乘 $S_0$ ，而是把这个系数乘以 $k$ ；或者
- 系数用完了：这时加上最后一项就停下。
令总和等于 $0$ 。

更正

原书配方的第 2 步说用下一个系数乘 $S_{n-1}$ ；它的意思是 $S_{k-1}$ （每一步幂和的下标减 1，和上面的等式一致）。

去学习:定理 14.3.5 · 牛顿和

原书第 22 页已数值验证

定理 1.9.21

如果

x + \frac{1}{x} = a

那么

x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2

x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a

x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(a^2 - 2\right)^2 - 2

去学习:定理 12.1.3

原书第 23 页已数值验证

定义 1.9.22 · 对称多项式

如果多项式

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

满足

a_n = a_0, \quad a_{n-1} = a_1, \quad a_{n-2} = a_2, \quad a_{n-3} = a_3, \quad \ldots

就称它是对称的。简单地说，首尾对应位置的系数相等。

去学习:定义 14.2.1 · 对称多项式第 14.2 节对称多项式

原书第 23 页

概念 1.9.23 · 解偶数次的对称多项式方程

要解一个偶数次的对称多项式 $P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ：

除以 $x^{n/2}$ 。
把 $x^k$ 项和 $\frac{1}{x^k}$ 项放在一起。
换元

y = x + \frac{1}{x}

把式子中的所有项都这样改写。

解出降次后的多项式。

去学习:概念 14.2.2 · 解偶数次的对称多项式方程

原书第 23 页已数值验证

注 1.9.24

注意，利用牛顿和等式，可以一个接一个地依次算出每个 $S_k$ ，而不必用韦达定理硬算。

去学习:注 14.3.6

原书第 24 页

1.10 代数变形

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定理 1.10.1 · 指数运算法则

当 $x \ne 0$ 时：

x^{-a} = \frac{1}{x^a}

x^a \times x^b = x^{a+b}

x^a \div x^b = x^{a-b}

\left(x^a\right)^b = x^{ab}

去学习:定理 12.0.1 · 指数运算法则第 12.0 节指数运算法则

原书第 24 页已数值验证

定理 1.10.2 · 平方差公式

平方差：

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

去学习:定理 12.2.1 · 平方差公式第 12.2 节二次式的因式分解

原书第 24 页已数值验证

定理 1.10.3 · 二项式的平方展开

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x - y)^2 + 4xy

(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x + y)^2 - 4xy

(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2\left(x^2 + y^2\right)

(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

去学习:定理 12.1.1 · 二项式的平方展开第 12.1 节二项式展开

原书第 25 页已数值验证

定理 1.10.4 · 西蒙因式分解技巧（SFFT）

SFFT：

xy + kx + jy + jk = (x + j)(y + k)

去学习:定理 12.4.2 · 西蒙因式分解技巧（SFFT）定理 25.3.1 · 西蒙因式分解技巧（SFFT）第 25.3 节西蒙因式分解技巧

原书第 25 页已数值验证

注 1.10.5

一般来说，当式子里同时有 $xy$ 、 $x$ 和 $y$ 项时，就可以用这个因式分解。分解之后，再找出每个因式所有可能的取值（别忘了负数！）。

去学习:注 12.4.3 注 25.3.2

原书第 25 页

定理 1.10.6 · 立方差公式

立方差：

x^3 - y^3 = (x - y)\left(x^2 + xy + y^2\right)

去学习:定理 12.3.1 · 立方差公式第 12.3 节三次式的因式分解

原书第 26 页已数值验证

定理 1.10.7 · 立方和公式

立方和：

x^3 + y^3 = (x + y)\left(x^2 - xy + y^2\right)

去学习:定理 12.3.2 · 立方和公式

原书第 26 页已数值验证

定理 1.10.8 · 二项式的立方展开

(x + y)^3 = x^3 + 3xy(x + y) + y^3

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3xy(x - y) - y^3

(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)\left(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz\right)

去学习:定理 12.1.2 · 二项式的立方展开

原书第 26 页已数值验证

定理 1.10.9 · n 次幂的因式分解

奇次幂之和：

x^{2n+1} + y^{2n+1} = (x + y)\left(x^{2n} - x^{2n-1}y + x^{2n-2}y^2 - \cdots - xy^{2n-1} + y^{2n}\right)

第二个因式中的符号正负交替。

幂之差：

x^n - y^n = (x - y)\left(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1}\right)

第二个因式中的符号全是正号。

去学习:定理 12.4.1 · n 次幂的因式分解定理 25.4.1 · n 次幂的因式分解第 12.4 节高次式的因式分解

原书第 27 页已数值验证

定理 1.10.10 · 苏菲·热尔曼恒等式

苏菲·热尔曼恒等式：

x^4 + 4y^4 = \left(x^2 - 2xy + 2y^2\right)\left(x^2 + 2xy + 2y^2\right)

去学习:定理 25.5.1 · 苏菲·热尔曼恒等式第 25.4 节高次幂与苏菲·热尔曼恒等式

原书第 27 页已数值验证

注 1.10.11

留意四次方，随时准备用苏菲·热尔曼恒等式！

去学习:注 25.5.2

原书第 27 页

概念 1.10.12 · 代数变形技巧

下面是一些代数变形的思路：

把同类的项放在一起。
留意可以因式分解的地方。
利用对称性，可以用它来构造多项式。
巧妙换元，让式子变简单。例如，如果式子里多次出现

\sqrt{49 - x^2}

这一项，就令

y = \sqrt{49 - x^2}

来化简。

去学习:概念 12.5.1 · 解代数方程的技巧第 12.5 节代数方程

原书第 27 页

1.11 下取整与上取整函数

定义 1.11.1 · 下取整、上取整与小数部分函数

\lfloor x \rfloor = \text{小于或等于 } x \text{ 的最大整数}

\lceil x \rceil = \text{大于或等于 } x \text{ 的最小整数}

\{x\} = x \text{ 的小数部分（小数点后面的值）}

去学习:定义 39.0.1 · 下取整、上取整与小数部分函数第 39.0 节下取整、上取整与小数部分

原书第 28 页已数值验证

注 1.11.2

下取整与上取整问题的常用技巧。 大多数下取整和上取整问题都可以用下面这些技巧解决。

代入 $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ 。
用下取整或上取整函数得到一个不等式。例如，如果已知 $y = \lfloor x \rfloor$ ，那么 $y \le x < y + 1$ 。
画出方程的图像，寻找交点（建议用方格纸）。

去学习:概念 39.0.2 · 下取整与上取整问题的常用技巧

原书第 28 页已数值验证

1.12 不等式

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定理 1.12.1 · 平凡不等式

对实数 $x$ ，

x^2 \ge 0.

也就是说，所有完全平方都大于或等于 $0$ 。

去学习:定理 40.1.1 · 平凡不等式第 40.1 节平凡不等式

原书第 28 页已数值验证

推论 1.12.2 · 配方

对二次式 $Q(x) = ax^2 + bx + c$ ：

若 $a > 0$ ，则 $Q(x)$ 的最小值是 $c - \frac{b^2}{4a}$ ，在 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取到。
若 $a < 0$ ，则 $Q(x)$ 的最大值是 $c - \frac{b^2}{4a}$ ，在 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取到。

去学习:推论 40.1.2 · 配方

原书第 29 页已数值验证

注 1.12.3

简单，却威力巨大。它是所有不等式的核心，更高级的不等式都是从它推出来的。

后面的不等式对 AMC 10 来说是选学内容，但知道它们还是有好处的。

去学习:注 40.1.3

原书第 29 页

定理 1.12.4 · 两个变量的均值不等式

对非负实数 $a$ 和 $b$ ，

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

简单说： $2$ 个非负数的平均值（算术平均数）总是不小于这 $2$ 个数之积的平方根（几何平均数）。

当 $a = b$ 时等号成立。

去学习:定理 40.2.1 · 两个变量的均值不等式第 40.2 节均值不等式

原书第 29 页已数值验证

推论 1.12.5

当 $x > 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是 $2$ ，在 $x = 1$ 时取到。

更正

原书没有给 $x$ 加任何条件。它需要 $x > 0$ ：当 $x = -1$ 时， $x + \frac1x = -2 < 2$ 。

去学习:推论 40.2.2

原书第 29 页已数值验证

推论 1.12.6

对正数 $a$ 和 $b$ ：

（若 $ab$ 保持不变） $a + b$ 的最小值在 $a = b$ 时取到。
（若 $a + b$ 保持不变） $ab$ 的最大值在 $a = b$ 时取到。

更正

原书没有给出取值范围。第一条需要 $a, b > 0$ ：固定 $ab = 1$ ， $a = b = -1$ 给出 $a + b = -2$ ，而 $a = -2$ 、 $b = -\frac12$ 给出更小的和 $-\frac52$ 。

去学习:推论 40.2.2

原书第 29 页已数值验证

定理 1.12.7 · 多个变量的均值不等式

对非负实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ，

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}

当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ （所有变量都相等）时等号成立。

换一种说法：

n \text{ 个数的平均数} \ge \sqrt[n]{\text{这 } n \text{ 个数之积}}

更正

原书用文字重述时写的是等号：“ $n$ 个数的平均数 $=$ $\sqrt[n]{\text{这 } n \text{ 个数之积}}$ ”；应该是 $\ge$ （只有所有数都相等时才取等号）。

去学习:定理 40.2.3 · 多个变量的均值不等式

原书第 30 页已数值验证

注 1.12.8

一般地，这意味着

\min(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n) = n \cdot \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}

\max(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n) = \left(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\right)^n

本质上就是

\min(\text{所有数之和}) = n \cdot \sqrt[n]{\text{所有数之积}}

\max(\text{所有数之积}) = (\text{所有数的平均数})^n

去学习:注 40.2.4

原书第 30 页

注 1.12.9

通常我们用均值不等式来求积的最大值或和的最小值。

去学习:注 40.2.5

原书第 30 页

定理 1.12.10 · 加权均值不等式

对非负实数 $a_i$ 、 $c_i$ ，

\frac{c_1 a_1 + c_2 a_2 + \cdots + c_n a_n}{c_1 + c_2 + \cdots + c_n} \ge \sqrt[c_1 + c_2 + \cdots + c_n]{a_1^{c_1} \cdot a_2^{c_2} \cdot a_3^{c_3} \cdots a_n^{c_n}}

去学习:定理 40.2.6 · 加权均值不等式

原书第 30 页已数值验证

注 1.12.11

加权均值不等式和均值不等式非常相似。可以这样理解加权均值不等式：有 $c_k$ 项都等于 $a_k$ 。于是在和里，我们不写 $a_k + a_k + \cdots + a_k$ （ $c_k$ 个），而直接写 $a_k \cdot c_k$ ；在积里，我们不写 $a_k \cdot a_k \cdots a_k$ （ $c_k$ 个），而直接写 $a_k^{c_k}$ 。

去学习:注 40.2.7

原书第 30 页

注 1.12.12

当我们想给所有（或部分）项乘上权重，使所有项之和成为常数时，就用加权均值不等式。记得最后要除掉你乘上的权重。

去学习:注 40.2.8

原书第 31 页

定理 1.12.13 · 柯西不等式

对实数 $a_i$ 和 $b_i$ ，

(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right)\left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right)

意思是

(\text{所有 } a_k \text{ 与 } b_k \text{ 之积的和})^2 \le \text{所有 } a_k \text{ 的平方和与所有 } b_k \text{ 的平方和之积}.

当比值 $\frac{a_i}{b_i}$ 对所有 $i$ 都相同时，等号成立。

去学习:定理 40.3.1 · 柯西不等式第 40.3 节柯西不等式

原书第 31 页已数值验证

注 1.12.14

如果你忘了 $\le$ 号朝哪边，就试一个小例子，比如 $a_1 = 1$ 、 $a_2 = 2$ 、 $b_1 = 3$ 、 $b_2 = 4$ 。

去学习:注 40.3.2

原书第 31 页已数值验证

注 1.12.15

遇到平方和时，通常就该想到柯西不等式。

去学习:注 40.3.3

原书第 31 页

推论 1.12.16 · Titu 引理（权方和不等式）

对实数 $a_i$ 和正实数 $b_i$ ，

\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + b_3 + \cdots + b_n}

另一种形式（对非负的 $a_i$ ）：

\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \ge \frac{\left(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n}\right)^2}{b_1 + b_2 + b_3 + \cdots + b_n}

注意这是柯西不等式的直接推论。

更正

原书写的是“对实数 $a_i$ 和 $b_i$ ”。 $b_i$ 必须是正数（根号形式中 $a_i$ 还必须非负）：取 $a = (1, 1)$ 、 $b = (1, -\frac12)$ ，左边是 $-1$ ，右边却是 $8$ 。

去学习:推论 40.3.4 · Titu 引理（权方和不等式）

原书第 31 页已数值验证

概念 1.12.17 · 最值问题的解题方法

求式子最大值/最小值的步骤：

用下面一个（或几个）不等式，找一个简单的式子，它大于或等于所给的式子（求最大值时）或小于或等于它（求最小值时）：
1. 平凡不等式
2. 均值不等式
3. 加权均值不等式（均值不等式，无论加权与否，都适合求积的最大值和和的最小值）
4. 柯西不等式（适合处理平方和）
检验在题目的条件下，你所用不等式的取等条件能否成立。
化简取等条件，求出答案。

去学习:概念 40.3.5 · 最值问题的解题方法

原书第 32 页