更多技巧与策略

应试技巧是指不真正把题解出来，就找到题目的答案。

工程归纳法是指先试出几个小情况的值并找到规律，然后假设这个规律对更大的情况也成立。

用工程归纳法解题的步骤：

1. 试几个小情况。
2. 在这些小情况中找规律（不一定总能找到）。
3. 假设这个规律对更大的情况也能延续下去，求出答案。

与其算出精确答案，你可以算出答案的某些独特性质。然后排除所有不具备这个性质的选项，最后就只剩 1 个选项（也可能剩不止一个，这时就在剩下的选项里猜）。

可以在选项中寻找并尝试计算的一些独特性质：

• 个位数字
• 末两位数字
• 奇偶性（偶数、奇数）
• 是不是完全平方数
• 质数/合数
• 模（除以 3、4、5 等的余数）
• 普通分数的分母（或者分母必须整除什么数）
• 某些数的倍数/因数
• 等等

找出“与众不同”、和其他选项都不一样的那个选项。

• 找离群值（质数、特别大/特别小的数、奇数/偶数、2 的幂，等等）。

在有些题目中，你可以：

• 把每个选项都代入题目的条件试一试。
• 看看题目中的条件，判断哪些选项可能成立。
• 等等。

这样做之后，你要么能猜得更准，要么直接得到准确答案。

和上一个技巧紧密相关，你通常还可以根据下面这些来排除选项：

• 数的独特性质（见上文）
• 这个数必须有多大或多小

在很多题目中（特别是几何题），你可以很容易地得到一个近似答案，再看哪个选项和你的结果最接近。

在几何中，一个常用策略是标出一些面积，让它们大约等于你已知的面积。

当题目的条件给了你自由度时，假设一些事实会非常有用。

本质上，只要题目没有告诉你“这个事实不成立”（也就是说，你做的任何假设仍然满足题目的条件），你就可以假设这个事实成立，从而简化问题，让它变得非常容易解。

例如，如果题目让你求三角形中某个普遍成立的比值，而且没有特别说明这个三角形不是等边三角形，你就可以直接假设它是等边三角形，然后在此基础上解完剩下的部分。

避免计算错误的一个好办法是：

• 用 2 种方法计算（例如，要算 $87 \cdot 93$ 时，先把 87 写在上面乘一次，再把 93 写在上面乘一次）。
• 更有条理，多写几步。

避免数学错误的一个简单办法是：

• 书写工整！
• 在草稿纸上给每道题画一个方框。
• 不要跳步。
• 检查你的过程（照着上一条做，检查会更容易）。
• 一步一步有条理地做。
• 试着把答案代回题目中检验（如果可以的话）。
• 换一种解法来确认答案。
• 估算一下答案应该是多少，看看你的答案是否接近估算值。

读错题是最常见的错误之一。你常常可能忽略一些重要的关键词，比如：

• 包含（含两端）、除了
• 偶数、奇数
• 质数、合数
• 整数、自然数、实数、复数

避免读题错误的一些策略：

• 解完题后，把题目的问题部分再读一遍，确认你回答的正是它问的！
• 读题时在关键词下面画线。（如果是在线考试，就把重要的词记在草稿纸上。）

有时你一心想着往下做，结果忘了最后一个重要步骤。

例如，你可能想着“不管得到什么答案，都要再乘以 5”，然后你求出了那个答案，却忘了乘以 5。避免这种错误的一个办法是：

• 在草稿纸或试卷上用又大又粗的字写下“记住……”。

你常常可能只是觉得某件事成立，就在整道题中一直假设它成立，而实际上它是错的。把所有假设都证明一遍可能太花时间。不过，我们建议至少要找到某种理由，说明你的假设为什么应该是对的（当然，你在使用某种应试技巧时除外）。

在分类讨论的题目中，你常常可能会：

• 少数了一些可能性
• 多数了一些可能性
• 漏掉边界/极端情况

避免这些错误的一些策略：

• 有条理地进行分类讨论。
• 确保每一类情况都成立：
  • 一个简单的办法是在每类情况中试几个例子，看看它们是否真的成立。
  • 特别要检查极端情况是否成立。
  • 确保各类情况互不重叠，这样就不会把两类情况共有的东西重复计数。
  • 确保各类情况覆盖了题目要求的所有可能性。
  • 用多种方法解题（例如，同时用分类讨论和补集计数）。

一定要规划好时间。

• 第 1–10 题一般比较简单，第 11–20 题中等，第 21–25 题较难。
• 有时前面的某道题会很难或需要大量计算，后面的某道题也可能很简单。
• 不要卡在一道题上。先跳过，以后再回来做。
• 对于你没把握但觉得能解出的题，或者解出来了但不太确定的题，都标上星。
• 合理分配时间。
• 给最后 10 道题留足时间。
• 留一些时间复查标星的题，并检查你的过程。

如果你想猜，请记住下面几点：

• 留空可以得 1.5 分，所以如果你不会解这道题，就留空。
• 试试上面的应试技巧。
• 只有当你能把选项缩小到 2–3 个时，才有根据地猜一个。

下面是一些考试当天的策略：

• 考试前一天不要临时抱佛脚，也不要拼命学习。
  • 只复习本书中的几个公式或策略。
• 放轻松。
  • 睡个好觉。
  • 吃一顿健康的饭。
  • 冥想。
  • 吃点黑巧克力。
  • 听听音乐。
  • 或者做任何能让你放松的事。

请记住这些解题策略：

• 卡住时，试着用上题目中你还没用过的信息。
• 解题时，想一想这道题可能考的是什么技巧。
• 不要死守一种思路。先跳过，换个新角度再回来看这道题。
• 遇到看起来很复杂的题，试几个小情况来找规律，这些规律能告诉你该怎样入手、可能存在哪些规律（这和工程归纳法类似）。

根据最近的分数线（本书写作时），要晋级美国数学邀请赛（AIME），你至少需要 105 分。不过为了保险，你应该争取 110 分以上。为此，你需要 17-0-8 的分配（答对-答错-跳过）、18-5-2 的分配、19-6-0 的分配，或者更好的成绩。

这些是书中的数字。分数线每年都会变，请查一下今年的分数线，再把它填进得分规划器。

要晋级 USAJMO/USAMO，你大概至少需要 120 分才有较大的希望（当然，这还在很大程度上取决于你的 AIME 成绩）。

这是书中的数字：请查一下今年的分数线。