复数：全部习题

下列复数 $z$ 中，哪一个使 $z^5$ 的实部最大？

有多少个复数满足方程 $z^5 = \bar z$？其中 $\bar z$ 是复数 $z$ 的共轭复数。

设 $Q(z)$ 和 $R(z)$ 是唯一满足

且 $R$ 的次数小于 $2$ 的多项式。$R(z)$ 是什么？

设复数 $z$ 满足 $12|z|^2 = 2|z + 2|^2 + |z^2 + 1|^2 + 31$。$z + \frac6z$ 的值是多少？

多项式

在复平面上有三个根，其中 $i = \sqrt{-1}$。这三个根构成的三角形面积是多少？

复平面上以 $2z$、$(1 + i)z$ 和 $(1 - i)z$ 为顶点的三角形，其中复数 $z$ 满足 $|4z - 2| = 1$。这个三角形的面积最大可能是多少？

求

的实部的最大可能值，其中 $z$ 是满足 $|z| = 4$ 的复数。这里 $i = \sqrt{-1}$。

满足 $z^{24} = 1$ 的互不相同的复数 $z$ 有 $24$ 个。其中有多少个使 $z^6$ 是实数？

$z^{12} = 64$ 的根中，实部为正的那些根之和是多少？

对复数 $u = a + bi$ 和 $v = c + di$（其中 $i = \sqrt{-1}$），定义二元运算

设复数 $z$ 满足 $z \otimes z = z^2 + 40$。$|z|$ 是多少？

多项式 $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的系数都是实数，且 $f(2i) = f(2 + i) = 0$。$a + b + c + d$ 是多少？

函数 $f$ 定义为 $f(z) = i\bar z$，其中 $i = \sqrt{-1}$，$\bar z$ 是 $z$ 的共轭复数。有多少个 $z$ 同时满足 $|z| = 5$ 和 $f(z) = z$？

已知 $a$、$b$、$c$ 是正整数，满足 $c = (a + bi)^3 - 107i$，其中 $i^2 = -1$。求 $c$。

当 $n$ 取何值时，$i + 2i^2 + 3i^3 + \dots + ni^n = 48 + 49i$？注：这里 $i = \sqrt{-1}$。

存在实数 $a$、$b$、$c$、$d$，使得 $-20$ 是 $x^3 + ax + b$ 的根，$-21$ 是 $x^3 + cx^2 + d$ 的根。这两个多项式有一个公共的复数根 $m + \sqrt n\cdot i$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，$i = \sqrt{-1}$。求 $m + n$。

$z^{12} = 64$ 的根中，实部为正的那些根之和是多少？

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w$，$w^{11} = z$，且 $z$ 的虚部是 $\sin\frac{m\pi}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，且 $m < n$。求 $n$。

对所有复数 $z$，函数 $f$ 定义为 $f(z) = (4 + i)z^2 + \alpha z + \gamma$，其中 $\alpha$ 和 $\gamma$ 是复数，$i^2 = -1$。已知 $f(1)$ 和 $f(i)$ 都是实数。$|\alpha| + |\gamma|$ 的最小可能值是多少？

复数 $z$ 等于 $9 + bi$，其中 $b$ 是正实数，$i^2 = -1$。已知 $z^2$ 和 $z^3$ 的虚部相同，$b$ 等于多少？

对所有复数 $z \ne i$，令 $F(z) = \frac{z + i}{z - i}$，并对所有正整数 $n$ 令 $z_n = F(z_{n-1})$。已知 $z_0 = \frac{1}{137} + i$，$z_{2002} = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。求 $a + b$。

考虑满足 $|1 + z + z^2| = 4$ 的复数 $z$ 构成的集合。$z$ 的虚部的最大值可以写成 $\frac{\sqrt m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

已知复数 $z$ 满足 $z + \frac1z = 2\cos3^\circ$，求大于 $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}$ 的最小整数。

复数数列 $z_0, z_1, z_2, \dots$ 由规则

定义，其中 $\overline{z_n}$ 是 $z_n$ 的共轭复数，$i^2 = -1$。已知 $|z_0| = 1$ 且 $z_{2005} = 1$。$z_0$ 有多少个可能的值？

有多少个小于或等于 $1000$ 的正整数 $n$，使得

对所有实数 $t$ 都成立？

坐标平面上的点列 $(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$, $(a_3, b_3)$, $\dots$ 满足

已知 $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4)$。$a_1 + b_1$ 是多少？

设 $N$ 是满足 $|z| = 1$ 且 $z^{6!} - z^{5!}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

设 $w$ 和 $z$ 是复数，满足 $|w| = 1$，$|z| = 10$。令 $\theta = \arg\left(\frac{w - z}{z}\right)$。$\tan^2\theta$ 的最大可能值可以写成 $\frac pq$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。（注：对 $w \ne 0$，$\arg(w)$ 表示复平面上从 $0$ 到 $w$ 的射线与正实轴所成角的度量。）

方程 $(z + 6)^8 = 81$ 的解在复平面上依次连接成一个凸正多边形，它的三个顶点记为 $A$、$B$、$C$。$\triangle ABC$ 的面积最小可能是多少？

设 $\mathcal R$ 是复平面上的区域，由所有能写成复数 $z_1$ 与 $z_2$ 之和的复数 $z$ 组成，其中 $z_1$ 在端点为 $3$ 和 $4i$ 的线段上，$z_2$ 的模至多为 $1$。与 $\mathcal R$ 的面积最接近的整数是多少？

同时满足 $z^{28} - z^8 - 1 = 0$ 和 $|z| = 1$ 的复数有 $2n$ 个。这些数的形式为 $z_m = \cos\theta_m + i\sin\theta_m$，其中 $0 \le \theta_1 < \theta_2 < \dots < \theta_{2n} < 360$，角以度为单位。求 $\theta_2 + \theta_4 + \dots + \theta_{2n}$ 的值。

设 $c$ 是实数，$z_1$ 和 $z_2$ 是满足方程 $z^2 - cz + 10 = 0$ 的两个复数。点 $z_1$、$z_2$、$\frac{1}{z_1}$ 和 $\frac{1}{z_2}$ 是复平面上（凸）四边形 $\mathcal Q$ 的顶点。当 $\mathcal Q$ 的面积取到最大可能值时，$c$ 最接近下列哪个数？

设 $P$ 是 $z^6 + z^4 + z^3 + z^2 + 1 = 0$ 的虚部为正的根之积，且 $P = r(\cos\theta^\circ + i\sin\theta^\circ)$，其中 $0 < r$，$0 \le \theta < 360$。求 $\theta$。

存在唯一的整数数列 $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$，使得只要 $\tan 2023x$ 有定义，就有

成立。$a_{2023}$ 是多少？

方程 $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}i$ 和 $z^2 = 2 + 2\sqrt3 i$（其中 $i = \sqrt{-1}$）的解构成复平面上一个平行四边形的顶点。这个平行四边形的面积可以写成 $p\sqrt q - r\sqrt s$ 的形式，其中 $p$、$q$、$r$、$s$ 是正整数，且 $q$ 和 $s$ 都不能被任何质数的平方整除。$p + q + r + s$ 是多少？