进阶专题 · 第 44 章

复数

在数轴上再穿过一条轴，算术就变成了几何：乘法是旋转，棣莫弗定理的乘方画出螺旋，单位根构成正多边形。

这一章讲什么？

44.1a i 的代数运算
44.1b 极坐标形式、棣莫弗定理与单位根
44.1c 用复数解几何题
44.2 多项式中的复数
44.3 三角中的复数
44.4 练习题

你需要先会

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44.1a0%

i 的代数运算

在本节中，你将能够 对复数做加、乘、除运算，运用 i 的幂，并处理共轭复数和模。

什么数的平方是 −1？没有实数能做到。那就发明一个，叫它 i，把它放在第二条轴上。从此算术变成了几何。

复数 $a + bi$ 就是点 $(a, b)$ 。复数相加就像向量相加。复数相乘就像两个二项式相乘，最后把 $i^2$ 换成 $-1$ 。

注意：共轭复数 $\bar z$ 是 $z$ 关于实轴的镜像。而且 $z \bar z = |z|^2$ 总是实数。靠这一个事实，就能把分母里的 $i$ 全部清掉。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 n 从 1 逐步调到 8，看 i、i²、i³、… 绕圈转。每 4 步就回到 1。那么 i 的 2025 次方是多少？
试一试： 按“共轭”并拖动 z。z̄ 在哪里？再按“z · z̄”：为什么乘积总是落在实轴上？
试一试： 按“z · w”，让 w 沿单位圆移动。z · w 的长度怎么变？它的角度又怎么变？

认识概念

定义 44.1.1

复数是能写成 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数， $i$ 是“虚数单位”。 $a$ 是这个数的实部， $bi$ 是它的虚数部分。复数常用字母 $z$ 表示。

定义 44.1.2

虚数单位的定义和它的前几次幂：

i = \sqrt{-1},\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1

定理 44.1.4 · 复数的加法

实部加实部，虚部加虚部：

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

定理 44.1.5 · 复数的减法

实部减实部，虚部减虚部：

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

定理 44.1.6 · 复数的乘法

像两个二项式那样相乘：

(a + bi)\cdot(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i

定义 44.1.7 · 实部与虚部

复数 $a + bi$ 的虚部是 $b$ ，实部是 $a$ 。

定义 44.1.9

把一个复数的虚部变号，就得到它的共轭复数。 $z$ 的共轭复数记作 $\bar z$ 。

定理 44.1.10 · 求共轭复数

虚部变号：

\bar z = \overline{a + bi} = a - bi

定义 44.1.11 · 复平面

复数 $a + bi$ 也可以画成复平面上的点 $(a, b)$ 。 $x$ 轴是实轴， $y$ 轴是虚轴。

定义 44.1.12

复数的模（大小）记作 $|z|$ ，是点 $(a, b)$ 到原点的距离。

定理 44.1.13 · 复数的模

由勾股定理：

|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

定理 44.1.14 · 复数乘以它的共轭复数

乘积是实数：

(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2

定理 44.1.15

对任意复数 $z$ ，

z\cdot\bar z = |z|^2.

看例题先预测，再揭晓

例 44.2

AIME

复数 $z$ 和 $w$ 满足方程组

z + \frac{20i}{w} = 5 + i,\qquad w + \frac{12i}{z} = -4 + 10i.

求 $|zw|^2$ 的最小可能值。

1
我们要的是 $zw$ ，所以把两个方程相乘。左边 $\left(z + \frac{20i}{w}\right)\left(w + \frac{12i}{z}\right)$ 展开后是什么？

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例 44.3

AIME

存在一个虚部为 $164$ 的复数 $z$ 和一个正整数 $n$ ，使得

\frac{z}{z + n} = 4i.

求 $n$ 。

1
去分母。 $z$ 满足什么一次方程？

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自己做

习题 44.4.10（补充题）

AMC 12

对复数 $u = a + bi$ 和 $v = c + di$ （其中 $i = \sqrt{-1}$ ），定义二元运算

u \otimes v = ac + bdi.

设复数 $z$ 满足 $z \otimes z = z^2 + 40$ 。 $|z|$ 是多少？

习题 44.4.13（补充题）

AIME

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，满足 $c = (a + bi)^3 - 107i$ ，其中 $i^2 = -1$ 。求 $c$ 。

习题 44.4.14（补充题）

AMC 12

当 $n$ 取何值时， $i + 2i^2 + 3i^3 + \dots + ni^n = 48 + 49i$ ？注：这里 $i = \sqrt{-1}$ 。

习题 44.4.19（补充题）

AIME

复数 $z$ 等于 $9 + bi$ ，其中 $b$ 是正实数， $i^2 = -1$ 。已知 $z^2$ 和 $z^3$ 的虚部相同， $b$ 等于多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.4

AMC 12

设复数 $z$ 满足 $12|z|^2 = 2|z + 2|^2 + |z^2 + 1|^2 + 31$ 。 $z + \frac6z$ 的值是多少？

习题 44.4.18（补充题）

AMC 12

对所有复数 $z$ ，函数 $f$ 定义为 $f(z) = (4 + i)z^2 + \alpha z + \gamma$ ，其中 $\alpha$ 和 $\gamma$ 是复数， $i^2 = -1$ 。已知 $f(1)$ 和 $f(i)$ 都是实数。 $|\alpha| + |\gamma|$ 的最小可能值是多少？

过关检测（第 44.1a 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

44.1b0%

极坐标形式、棣莫弗定理与单位根

在本节中，你将能够 把复数写成极坐标形式，用棣莫弗定理求它的乘方，并运用单位根。

$(\sqrt3 + i)^8$ 是多少？连乘八次很痛苦。用极坐标形式，一行就够了。

每个复数都是一个长度 $r$ 加一个角 $\theta$ ： $z = r$ cis $\theta$ = re^(iθ)。两个复数相乘，长度相乘，角度相加。所以 $z^n$ 的长度是 $r^n$ ，角是 $n\theta$ 。这就是棣莫弗定理。

注意： $z^n = 1$ 的解长度都是 1，角度都是 $360^\circ / n$ 的倍数。它们是一个正多边形的顶点。例 44.1 在原书中出现得更早，但它要用到极坐标形式，所以放在这里。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 z 拖到每个象限。tan θ = b/a 能确定角度吗？比较 −2 + 2i 和 2 − 2i。
试一试： 按“乘方”，把 z 拖到 1 + i。连乘八次：长度每次翻倍，角度每次增加 45°。
试一试： 按“旋转”。乘以 cis 60° 会把每个点绕中心转 60°。改变角度，预测 w 会落在哪里。

认识概念

定义 44.1.17

正实轴与从原点指向某个复数的射线所成的角，叫作这个复数的辐角，记作 $\theta$ 。

定理 44.1.18 · 复数的辐角

复数 $a + bi$ 的辐角 $\theta$ 满足

\tan\theta = \frac{b}{a}.

**小心：** $\tan\theta = \frac ba$ 并不能确定象限。 $-1 + i$ 和 $1 - i$ 都满足 $\frac ba = -1$ ，但它们的辐角分别是 $135^\circ$ 和 $-45^\circ$ 。一定要看清点 $(a, b)$ 在哪个象限。

定义 44.1.19

$0$ 到一个复数的距离也叫这个复数的模，记作 $r$ 。

定理 44.1.20 · 复数的模

复数 $a + bi$ 的模 $r$ 是

r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.

定义 44.1.21

极坐标形式是复数的另一种写法，它用的是复数的模 $r$ 和辐角 $\theta$ 。

定理 44.1.22 · 极坐标形式

用模和辐角表示：

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\operatorname{cis}\theta

注 44.1.23

$\operatorname{cis}\theta$ 就是 $\cos\theta + i\sin\theta$ 的简写。

注 44.1.25

$\cos\theta + i\sin\theta$ 也可以写成 $\operatorname{cis}\theta$ 。

定理 44.1.26 · 欧拉公式

欧拉公式说

\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta},

所以

z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}.

（这里 $\theta$ 用弧度制。）

定义 44.1.28

单位根是 $x^n = 1$ （ $n$ 为正整数）的复数解。 $x^n = 1$ 总是恰好有 $n$ 个解。

定理 44.1.29 · 单位根

$n$ 次单位根是

e^{2k\pi i/n}\quad\text{其中 } k \in \{0, 1, 2, \dots, n - 1\}.

它们是单位圆的内接正 $n$ 边形的顶点，其中一个顶点在 $1$ 。

定理 44.1.30 · 旋转一个点

要把一个点绕原点逆时针旋转 $\theta$ 弧度，就把它写成对应的复数，再乘以 $e^{i\theta}$ 。把结果换回有序数对，就得到旋转后的点。

定理 44.1.31 · 棣莫弗定理

对复数 $z = re^{i\theta}$ 和整数 $n$ ，

z^n = (re^{i\theta})^n = r^n\left[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\right].

（原书写的是“实数 $n$ ”；当指数不是整数时， $z^n$ 有多个值，所以这个公式要求 $n$ 是整数。）

注 44.1.33

只要复数和指数碰到一起，棣莫弗定理就非常有用。

看例题先预测，再揭晓

例 44.1

AIME

设 $N$ 是满足 $|z| = 1$ 且 $z^{6!} - z^{5!}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

1
因为 $|z| = 1$ ，写成 $z = e^{i\theta}$ 。由于 $6! = 720$ ， $5! = 120$ ， $z^{6!}$ 和 $z^{5!}$ 是什么？

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例 44.4

AMC 12

有多少个整数 $n \ge 2$ 具有如下性质：只要复数 $z_1, z_2, \dots, z_n$ 满足

|z_1| = |z_2| = \dots = |z_n| = 1 \quad\text{且}\quad z_1 + z_2 + \dots + z_n = 0,

那么 $z_1, z_2, \dots, z_n$ 就在复平面的单位圆上等距分布？

1
先看 $n = 2$ 。如果 $z_1 + z_2 = 0$ ， $z_2$ 在哪里？

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例 44.5

AIME

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w$ ， $w^{11} = z$ ，且 $z$ 的虚部是 $\sin\frac{m\pi}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，且 $m < n$ 。求 $n$ 。

1
把 $w = z^{13}$ 代入 $w^{11} = z$ 。 $z$ 满足什么方程？

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例 44.6

AMC 12

设

z = \frac{1 + i}{\sqrt2}.

求

\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \dots + z^{12^2}\right)\cdot\left(\frac{1}{z^{1^2}} + \frac{1}{z^{2^2}} + \frac{1}{z^{3^2}} + \dots + \frac{1}{z^{12^2}}\right)?

1
把 $z$ 写成极坐标形式。它的辐角是多少度？

先预测一下：
你的预测

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自己做

习题 44.4.8（补充题）

AMC 12

满足 $z^{24} = 1$ 的互不相同的复数 $z$ 有 $24$ 个。其中有多少个使 $z^6$ 是实数？

习题 44.4.9（补充题）

AMC 12

$z^{12} = 64$ 的根中，实部为正的那些根之和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.1

AMC 12

下列复数 $z$ 中，哪一个使 $z^5$ 的实部最大？

习题 44.4.2

AMC 12

有多少个复数满足方程 $z^5 = \bar z$ ？其中 $\bar z$ 是复数 $z$ 的共轭复数。

习题 44.4.24（补充题）

AIME

有多少个小于或等于 $1000$ 的正整数 $n$ ，使得

(\sin t + i\cos t)^n = \sin nt + i\cos nt

对所有实数 $t$ 都成立？

习题 44.4.25（补充题）

AMC 12

坐标平面上的点列 $(a_1, b_1)$ , $(a_2, b_2)$ , $(a_3, b_3)$ , $\dots$ 满足

(a_{n+1}, b_{n+1}) = (\sqrt3 a_n - b_n,\ \sqrt3 b_n + a_n)\quad\text{对 } n = 1, 2, 3, \dots.

已知 $(a_{100}, b_{100}) = (2, 4)$ 。 $a_1 + b_1$ 是多少？

习题 44.4.30（补充题）

AIME

同时满足 $z^{28} - z^8 - 1 = 0$ 和 $|z| = 1$ 的复数有 $2n$ 个。这些数的形式为 $z_m = \cos\theta_m + i\sin\theta_m$ ，其中 $0 \le \theta_1 < \theta_2 < \dots < \theta_{2n} < 360$ ，角以度为单位。求 $\theta_2 + \theta_4 + \dots + \theta_{2n}$ 的值。

过关检测（第 44.1b 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

44.1c0%

用复数解几何题

在本节中，你将能够 用乘以 cis θ 来旋转点，从而解几何题。

点 $(0, 0)$ 、 $(a, 11)$ 和 $(b, 37)$ 构成等边三角形。只用坐标会得到很乱的方程。旋转一次 $60^\circ$ 就能得到答案。

要把点 $z$ 绕中心 $c$ 旋转 $\theta$ ：先平移使 $c$ 到 $0$ ，乘以 cis $\theta$ ，再平移回去。正方形用 $\theta = 90^\circ$ （乘以 $i$ ）。等边三角形用 $\theta = 60^\circ$ 。

注意：在点 $P$ 处是直角，意味着从 $P$ 出发的两条边向量之商是纯虚数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把 z = 3 + i 绕点 1 旋转 90°。先预测答案：平移，乘以 i，再平移回去。
试一试： 把角度设为 60°。w 必须在哪里，才能使中心、z 和 w 构成等边三角形？
试一试： 在例 44.7 中，沿直线拖动 a + 11i，直到旋转后的点落在虚线 Im = 37 上。

认识概念

概念 44.1.34 · 用复数解几何题

复数和圆关系密切，因此能让许多几何题变简单，尤其是含有等边三角形、正方形等多边形的题。

用复数解几何题的步骤：

给一个或几个点指定对应的复数。
要得到其他点对应的复数，就乘以或除以 $e^{i\theta}$ （一次旋转）。
利用已知条件，求出题目要的量。

注 44.1.35

代数形式的复数问题也可以从几何角度看： $|z - w|$ 是距离，乘以 $e^{i\theta}$ 是旋转， $|z| = r$ 是一个圆。

看例题先预测，再揭晓

例 44.7

AIME

点 $(0, 0)$ 、 $(a, 11)$ 和 $(b, 37)$ 是一个等边三角形的顶点。求 $ab$ 的值。

1
把这三个点看成 $0$ 、 $a + 11i$ 和 $b + 37i$ 。怎样从 $a + 11i$ 得到 $b + 37i$ ？

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例 44.8

AIME

已知 $f(z) = z^2 - 19z$ ，存在复数 $z$ ，使得 $z$ 、 $f(z)$ 和 $f(f(z))$ 是复平面上一个直角三角形的顶点，且直角在 $f(z)$ 处。存在正整数 $m$ 和 $n$ ，使得这样的 $z$ 中有一个是 $m + \sqrt n + 11i$ 。求 $m + n$ 。

1
直角在 $f(z)$ 处。 $\dfrac{f(f(z)) - f(z)}{z - f(z)}$ 必须满足什么？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.6

AMC 12

复平面上以 $2z$ 、 $(1 + i)z$ 和 $(1 - i)z$ 为顶点的三角形，其中复数 $z$ 满足 $|4z - 2| = 1$ 。这个三角形的面积最大可能是多少？

习题 44.4.7

AIME

求

(75 + 117i)z + \frac{96 + 144i}{z}

的实部的最大可能值，其中 $z$ 是满足 $|z| = 4$ 的复数。这里 $i = \sqrt{-1}$ 。

习题 44.4.28（补充题）

AMC 12

方程 $(z + 6)^8 = 81$ 的解在复平面上依次连接成一个凸正多边形，它的三个顶点记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 。 $\triangle ABC$ 的面积最小可能是多少？

习题 44.4.29（补充题）

AMC 12

设 $\mathcal R$ 是复平面上的区域，由所有能写成复数 $z_1$ 与 $z_2$ 之和的复数 $z$ 组成，其中 $z_1$ 在端点为 $3$ 和 $4i$ 的线段上， $z_2$ 的模至多为 $1$ 。与 $\mathcal R$ 的面积最接近的整数是多少？

过关检测（第 44.1c 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

44.20%

多项式中的复数

在本节中，你将能够 利用多项式的复数根、共轭根对和单位根来计算多项式的值。

一个 2018 次的多项式看起来毫无希望。但代入一个 6 次单位根，每个幂都会归结为六个值之一。

每个 $n$ 次多项式恰好有 $n$ 个复数根。当系数都是实数时，非实数根成共轭对 $z$ 和 $\bar z$ 出现，它们关于实轴互为镜像。

注意：要计算单位根处的值 $f(\omega)$ ，先把每个指数模 $\omega$ 的阶化简。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 输入 z^2 + 1，按“画出根”。为什么两个根关于实轴互为镜像？
试一试： 再输入 z^2 + i。系数不全是实数：根还是成镜像对吗？
试一试： 输入 x^10 + (13x - 1)^10（例 44.10）。十个根，五个镜像对。为什么每个 r 都能和 r̄ 配成一对？

认识概念

定义 44.2.1

$n$ 次多项式有 $n$ 个根（按重数计），这些根可能是复数。对二次式来说，判别式为负意味着有两个复数根。（原书写的是“二项式”，实际指的是二次式。）如果系数都是实数，非实数根成共轭对 $z, \bar z$ 出现。

看例题先预测，再揭晓

例 44.9

AIME

多项式 $f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}$ 的系数都是不超过 $2019$ 的实数，且 $f\left(\frac{1 + \sqrt3 i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt3 i$ 。求 $f(1)$ 除以 $1000$ 的余数。

1
令 $\omega = \frac{1 + \sqrt3 i}{2}$ 。把它写成极坐标形式。 $\omega$ 的哪个较小的幂等于 $1$ ？

先预测一下：
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例 44.10

AMC 12

方程

x^{10} + (13x - 1)^{10} = 0

有 $10$ 个复数根 $r_1, \overline{r_1}, r_2, \overline{r_2}, r_3, \overline{r_3}, r_4, \overline{r_4}, r_5, \overline{r_5}$ ，其中上横线表示共轭复数。求

\frac{1}{r_1\overline{r_1}} + \frac{1}{r_2\overline{r_2}} + \frac{1}{r_3\overline{r_3}} + \frac{1}{r_4\overline{r_4}} + \frac{1}{r_5\overline{r_5}}

的值。

0.08 + 0.005i; 0.073 + 0.004i; 0.072 − 0.002i; 0.076 − 0.006i; 0.083 − 0.002i; 0.083 + 0.002i; 0.076 + 0.006i; 0.072 + 0.002i; 0.073 − 0.004i; 0.08 − 0.005i

系数都是实数：根成对出现，互为镜像（z 和 z̄）。

1
$\frac{1}{r\bar r} = \frac{1}{|r|^2} = \left|\frac1r\right|^2$ 。所以换成 $y = \frac1x$ ：方程两边除以 $x^{10}$ 。得到什么？

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自己做

习题 44.4.11（补充题）

AMC 12

多项式 $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的系数都是实数，且 $f(2i) = f(2 + i) = 0$ 。 $a + b + c + d$ 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.3

AMC 12

设 $Q(z)$ 和 $R(z)$ 是唯一满足

z^{2021} + 1 = (z^2 + z + 1)Q(z) + R(z)

且 $R$ 的次数小于 $2$ 的多项式。 $R(z)$ 是什么？

习题 44.4.5

AMC 12

多项式

(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10

在复平面上有三个根，其中 $i = \sqrt{-1}$ 。这三个根构成的三角形面积是多少？

习题 44.4.15（补充题）

AIME

存在实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，使得 $-20$ 是 $x^3 + ax + b$ 的根， $-21$ 是 $x^3 + cx^2 + d$ 的根。这两个多项式有一个公共的复数根 $m + \sqrt n\cdot i$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数， $i = \sqrt{-1}$ 。求 $m + n$ 。

习题 44.4.32（补充题）

AIME

设 $P$ 是 $z^6 + z^4 + z^3 + z^2 + 1 = 0$ 的虚部为正的根之积，且 $P = r(\cos\theta^\circ + i\sin\theta^\circ)$ ，其中 $0 < r$ ， $0 \le \theta < 360$ 。求 $\theta$ 。

过关检测（第 44.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

44.30%

三角中的复数

在本节中，你将能够 把正弦和余弦变成指数形式，用单位根计算三角式的和与积。

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) 是多少？你的公式表里没有哪个恒等式能直接给出它。7 次单位根可以。

把 e^(iθ) 和它的镜像 e^(−iθ) 相加：虚部抵消，得到 $2\cos\theta$ 。相减则得到 $2i\sin\theta$ 。所以每个三角式都能变成关于单位圆上的点的代数问题。

注意：原书的这些公式里有一处角度制的笔误，正切公式还有一个符号错误；下面的卡片是修正后的版本。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 改变 θ。两个单位向量之和总在实轴上。为什么它等于 2cos θ？
试一试： 它们的差总在虚轴上。为什么它等于 2i sin θ？
试一试： 例 44.11 把 cos(2π/7) 和 7 次单位根联系起来。它们的实部之和为 0：在下面的七边形上验证一下。

认识概念

定理 44.3.1 · 用复数表示正弦和余弦

\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i},\qquad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},\qquad \tan\theta = -i\cdot\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}.

**已修正原书的错误。**原书写的是 $e^{i(180-\theta)}$ ，把角度混进了弧度制的指数里；它的意思是 $e^{i(\pi-\theta)} = -e^{-i\theta}$ 。原书的正切公式符号也错了：它给出的是 $-\tan\theta$ 。

看例题先预测，再揭晓

例 44.11

AMC 12

设多项式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 的根是 $\cos\frac{2\pi}{7}$ 、 $\cos\frac{4\pi}{7}$ 和 $\cos\frac{6\pi}{7}$ ，其中角用弧度制。 $abc$ 是多少？

z⁷ = 1

z⁷ = 1 有 7 个根，等距地分布在一个圆上。实部：1, 0.623, −0.223, −0.901, −0.901, −0.223, 0.623。它们的和为 0（所有根之和为 0），所以除 1 以外的实部之和为 −1。

1
令 $\omega = e^{2\pi i/7}$ 。 $1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6$ 是多少？

先预测一下：
你的预测

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例 44.12

PUMaC

$\sin(2^\circ)\sin(4^\circ)\cdots\sin(90^\circ)$ 的值是 $\frac{p\sqrt5}{2^{50}}$ 。求 $p$ 。

1
令 $\omega = e^{2\pi i/90}$ 。 $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{89}$ 是 $1 + x + \dots + x^{89}$ 的根。代入 $x = 1$ ： $\prod_{k=1}^{89}(1 - \omega^k)$ 是多少？

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竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.22（补充题）

AIME

已知复数 $z$ 满足 $z + \frac1z = 2\cos3^\circ$ ，求大于 $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}$ 的最小整数。

习题 44.4.33（补充题）

AMC 12

存在唯一的整数数列 $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ ，使得只要 $\tan 2023x$ 有定义，就有

\tan 2023x = \frac{a_1\tan x + a_3\tan^3 x + a_5\tan^5 x + \dots + a_{2023}\tan^{2023}x}{1 + a_2\tan^2 x + a_4\tan^4 x + \dots + a_{2022}\tan^{2022}x}

成立。 $a_{2023}$ 是多少？

过关检测（第 44.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

若 $z = e^{i\theta}$ ，哪个式子等于 $z + \frac1z$ ？

已知 $z + \frac1z = 2\cos20^\circ$ ，求 $z^9 + \frac{1}{z^9}$ 。

用 5 次单位根求 $\cos72^\circ + \cos144^\circ$ 。

44.4

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有工具。

其余的补充习题，从 AMC 12 热身题到一道 AIME 第 15 题。有些题你在本章已经见过：这次不看分步讲解，再做一遍。

竞赛角真实竞赛题

习题 44.4.12（补充题）

AMC 12

函数 $f$ 定义为 $f(z) = i\bar z$ ，其中 $i = \sqrt{-1}$ ， $\bar z$ 是 $z$ 的共轭复数。有多少个 $z$ 同时满足 $|z| = 5$ 和 $f(z) = z$ ？

习题 44.4.16（补充题）

AMC 12

这道题在书中还以 44.4.9 的编号出现。

$z^{12} = 64$ 的根中，实部为正的那些根之和是多少？

习题 44.4.17（补充题）

AIME

这道题在书中还以 44.5 的编号出现。

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w$ ， $w^{11} = z$ ，且 $z$ 的虚部是 $\sin\frac{m\pi}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，且 $m < n$ 。求 $n$ 。

习题 44.4.20（补充题）

AMC 12

对所有复数 $z \ne i$ ，令 $F(z) = \frac{z + i}{z - i}$ ，并对所有正整数 $n$ 令 $z_n = F(z_{n-1})$ 。已知 $z_0 = \frac{1}{137} + i$ ， $z_{2002} = a + bi$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。求 $a + b$ 。

习题 44.4.21（补充题）

AMC 12A

考虑满足 $|1 + z + z^2| = 4$ 的复数 $z$ 构成的集合。 $z$ 的虚部的最大值可以写成 $\frac{\sqrt m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

习题 44.4.23（补充题）

AMC 12

复数数列 $z_0, z_1, z_2, \dots$ 由规则

z_{n+1} = \frac{iz_n}{\overline{z_n}}

定义，其中 $\overline{z_n}$ 是 $z_n$ 的共轭复数， $i^2 = -1$ 。已知 $|z_0| = 1$ 且 $z_{2005} = 1$ 。 $z_0$ 有多少个可能的值？

习题 44.4.26（补充题）

AIME

这道题在书中还以 44.1 的编号出现。

设 $N$ 是满足 $|z| = 1$ 且 $z^{6!} - z^{5!}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

习题 44.4.27（补充题）

AIME

设 $w$ 和 $z$ 是复数，满足 $|w| = 1$ ， $|z| = 10$ 。令 $\theta = \arg\left(\frac{w - z}{z}\right)$ 。 $\tan^2\theta$ 的最大可能值可以写成 $\frac pq$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。（注：对 $w \ne 0$ ， $\arg(w)$ 表示复平面上从 $0$ 到 $w$ 的射线与正实轴所成角的度量。）

习题 44.4.31（补充题）

AMC 12

设 $c$ 是实数， $z_1$ 和 $z_2$ 是满足方程 $z^2 - cz + 10 = 0$ 的两个复数。点 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $\frac{1}{z_1}$ 和 $\frac{1}{z_2}$ 是复平面上（凸）四边形 $\mathcal Q$ 的顶点。当 $\mathcal Q$ 的面积取到最大可能值时， $c$ 最接近下列哪个数？

习题 44.4.34（补充题）

AMC 12挑战

方程 $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}i$ 和 $z^2 = 2 + 2\sqrt3 i$ （其中 $i = \sqrt{-1}$ ）的解构成复平面上一个平行四边形的顶点。这个平行四边形的面积可以写成 $p\sqrt q - r\sqrt s$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、 $s$ 是正整数，且 $q$ 和 $s$ 都不能被任何质数的平方整除。 $p + q + r + s$ 是多少？