几何中的三角学：全部习题

设 $ABC$ 是等边三角形。把边 $\overline{AB}$ 延长过 $B$ 到点 $B'$，使 $BB' = 3 \cdot AB$。同样，把边 $\overline{BC}$ 延长过 $C$ 到点 $C'$，使 $CC' = 3 \cdot BC$；把边 $\overline{CA}$ 延长过 $A$ 到点 $A'$，使 $AA' = 3 \cdot CA$。$\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

$\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 80$，$BC = 45$，$AC = 75$。$\angle B$ 的平分线与边 $\overline{AB}$ 上的高相交于点 $P$。$BP$ 是多少？

一个指针式时钟从午夜开始走，走了 $2025$ 分钟后停下。时钟停下时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积是 $n$。设 $m$ 是四边形 $ACEG$ 的面积。$\frac{m}{n}$ 是多少？

两个不全等的三角形面积相同。每个三角形都有长为 $8$ 和 $9$ 的边，并且每个三角形的第三边长都是整数。两个三角形第三边的长度之和是多少？

一个半径为 $r$ 的圆被 $12$ 个半径为 $1$ 的圆围住，它们都与中间的圆外切，并且依次与相邻的圆相切，如图所示。则 $r$ 可以写成 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + c$，其中 $a, b, c$ 是整数。$a + b + c$ 是多少？

一个面积为 $\sqrt{5} + 1$ 的正五边形印在纸上并被剪下来。把五个顶点都折到五边形的中心，得到一个更小的五边形。新五边形的面积是多少？

在 $\triangle ABC$ 中，边 $a = \sqrt{3}$，边 $b = \sqrt{3}$，边 $c > 3$。设 $x$ 是使得边 $c$ 所对角的度数一定大于 $x$ 的最大的数。则 $x$ 等于：

在三角形 $ABC$ 中，$3\sin A + 4\cos B = 6$，$4\sin B + 3\cos A = 1$。则 $\angle C$ 的度数是

在长方形 $ABCD$ 中，$\overline{AB} = 20$，$\overline{BC} = 10$。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 上一点，使 $\angle CBE = 15^\circ$。$\overline{AE}$ 是多少？

如图，各边都相等的六边形 $ABCDEF$ 有三个互不相邻的锐角内角，每个都是 $30^\circ$。六边形围成的面积是 $6\sqrt{3}$。六边形的周长是多少？

设 $ABCDEF$ 是正六边形。设 $G$、$H$、$I$、$J$、$K$、$L$ 分别是边 $AB$、$BC$、$CD$、$DE$、$EF$、$AF$ 的中点。线段 $\overline{AH}$、$\overline{BI}$、$\overline{CJ}$、$\overline{DK}$、$\overline{EL}$、$\overline{FG}$ 围成一个较小的正六边形。设小六边形的面积与 $ABCDEF$ 的面积之比为分数 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

以 $O$ 为圆心的圆半径为 $1$，点 $A$ 在圆上。线段 $\overline{AB}$ 在 $A$ 处与圆相切，且 $\angle AOB = \theta$。若点 $C$ 在 $\overline{OA}$ 上，且 $\overline{BC}$ 平分 $\angle ABO$，则 $OC = ?$（用 $\theta$ 表示答案；输入 θ、theta 或 t。）

六边形 $ABCDEF$ 被分成五个菱形 $\mathcal{P}$、$\mathcal{Q}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{S}$、$\mathcal{T}$，如图所示。菱形 $\mathcal{P}$、$\mathcal{Q}$、$\mathcal{R}$、$\mathcal{S}$ 全等，面积都是 $\sqrt{2006}$。设 $K$ 是菱形 $\mathcal{T}$ 的面积。已知 $K$ 是正整数，求 $K$ 可能取值的个数。

Alice 和 Bob 的家相距 $10$ 英里。有一天，Alice 从家里向正北方望去，看到一架飞机。同一时刻，Bob 从家里向正西方望去，看到了同一架飞机。从 Alice 的位置看飞机的仰角是 $30^\circ$，从 Bob 的位置看是 $60^\circ$。下列哪个数最接近飞机的高度（单位：英里）？

在三角形 $ABC$ 中，$\tan \angle CAB = 22/7$，从 $A$ 出发的高把 $BC$ 分成长为 $3$ 和 $17$ 的两段。三角形 $ABC$ 的面积是多少？

在凸四边形 $KLMN$ 中，边 $\overline{MN}$ 垂直于对角线 $\overline{KM}$，边 $\overline{KL}$ 垂直于对角线 $\overline{LN}$，$MN = 65$，$KL = 28$。过 $L$ 且垂直于边 $\overline{KN}$ 的直线与对角线 $\overline{KM}$ 交于 $O$，$KO = 8$。求 $MO$。

在 $\triangle PQR$ 中，$PR = 15$，$QR = 20$，$PQ = 25$。点 $A$ 和 $B$ 在 $\overline{PQ}$ 上，点 $C$ 和 $D$ 在 $\overline{QR}$ 上，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{PR}$ 上，且 $PA = QB = QC = RD = RE = PF = 5$。求六边形 $ABCDEF$ 的面积。

在 $\triangle PAT$ 中，$\angle P = 36^\circ$，$\angle A = 56^\circ$，$PA = 10$。点 $U$ 和 $G$ 分别在边 $\overline{TP}$ 和 $\overline{TA}$ 上，使 $PU = AG = 1$。设 $M$ 和 $N$ 分别是线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{UG}$ 的中点。直线 $MN$ 与 $PA$ 所成锐角是多少度？

在边长都是整数的 $\triangle ABC$ 中，$\cos A = \frac{11}{16}$，$\cos B = \frac{7}{8}$，$\cos C = -\frac{1}{4}$。$\triangle ABC$ 的周长最小是多少？

坐标平面上的直线 $\ell$ 的方程是 $3x - 5y + 40 = 0$。把这条直线绕点 $(20, 20)$ 逆时针旋转 $45^\circ$，得到直线 $k$。直线 $k$ 与 $x$ 轴交点的 $x$ 坐标是多少？

设 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 30$，$BC = 32$，$AC = 34$。点 $X$ 在 $\overline{BC}$ 内部，点 $I_1$ 和 $I_2$ 分别是 $\triangle ABX$ 和 $\triangle ACX$ 的内心。当 $X$ 沿 $\overline{BC}$ 移动时，求 $\triangle AI_1I_2$ 面积的最小可能值。