进阶专题 · 第 43 章

几何中的三角学

三个公式把任意三角形变成数字：面积等于二分之一 ab sin C；正弦定理，附带外接圆直径 2R；余弦定理，也就是带修正项的勾股定理。

这一章讲什么？

43.1 用三角函数求三角形的面积
43.2 正弦定理
43.3 余弦定理
43.4 练习题

你需要先会

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43.10%

用三角函数求三角形的面积

在本节中，你将能够 由两边及其夹角求出任意三角形的面积：a 乘 b 乘 sin C 的一半。

从一个 15-20-25 直角三角形上剪掉三个角。每个角都有两条长为 5 的边，夹着一个你已经知道的角。求它的面积，这些就够了。

你知道面积等于底乘高的一半。三角学直接给出高：如果边 $a$ 和 $b$ 的夹角是 $C$ ，那么 $a$ 边上的高就是 $b \sin C$ 。所以面积是 $\frac12 ab \sin C$ ，你再也不用自己作高了。

注意：

\sin C = \sin(180^\circ - C)

。两边相同的两个不同三角形，面积可以完全相等。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 保持 a = 8、b = 9，逐步改变角 C。C 为多少时面积最大？sin C 怎样解释这一点？
试一试： 按“改用 180° − C”。第三边变了，面积却没变。你能找到两个这样的三角形，让它们的第三边都是整数吗？
试一试： 把 A 水平向一侧拖动。高 h 保持不变。面积会怎样？

认识概念

定理 43.1.1 · 用三角函数求三角形的面积

在三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的三角形中，记边 $a$ 与边 $b$ 的夹角为 $C$ ，则

\text{三角形的面积} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin C.

看例题先预测，再揭晓

例 43.1

AIME

在 $\triangle PQR$ 中， $PR = 15$ ， $QR = 20$ ， $PQ = 25$ 。点 $A$ 和 $B$ 在 $\overline{PQ}$ 上，点 $C$ 和 $D$ 在 $\overline{QR}$ 上，点 $E$ 和 $F$ 在 $\overline{PR}$ 上，且 $PA = QB = QC = RD = RE = PF = 5$ 。求六边形 $ABCDEF$ 的面积。

1
比较 $15^2 + 20^2$ 和 $25^2$ 。 $PQR$ 是什么三角形？

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自己做

习题 43.4.4

AMC 12

这道题在书中还以 35.6 的编号出现。

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积是 $n$ 。设 $m$ 是四边形 $ACEG$ 的面积。 $\frac{m}{n}$ 是多少？

习题 43.4.5

AMC 12

两个不全等的三角形面积相同。每个三角形都有长为 $8$ 和 $9$ 的边，并且每个三角形的第三边长都是整数。两个三角形第三边的长度之和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 43.4.1

AMC 12

这道题在书中还以 31.3.1 的编号出现。

设 $ABC$ 是等边三角形。把边 $\overline{AB}$ 延长过 $B$ 到点 $B'$ ，使 $BB' = 3 \cdot AB$ 。同样，把边 $\overline{BC}$ 延长过 $C$ 到点 $C'$ ，使 $CC' = 3 \cdot BC$ ；把边 $\overline{CA}$ 延长过 $A$ 到点 $A'$ ，使 $AA' = 3 \cdot CA$ 。 $\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

习题 43.4.14（补充题）

AIME

六边形 $ABCDEF$ 被分成五个菱形 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{Q}$ 、 $\mathcal{R}$ 、 $\mathcal{S}$ 、 $\mathcal{T}$ ，如图所示。菱形 $\mathcal{P}$ 、 $\mathcal{Q}$ 、 $\mathcal{R}$ 、 $\mathcal{S}$ 全等，面积都是 $\sqrt{2006}$ 。设 $K$ 是菱形 $\mathcal{T}$ 的面积。已知 $K$ 是正整数，求 $K$ 可能取值的个数。

过关检测（第 43.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

43.20%

正弦定理

在本节中，你将能够 用正弦定理在边和角之间互相转换，并看出每一对“边与对角”里都藏着外接圆半径。

每个三角形都恰好内接于一个圆。这个圆的直径就藏在每一条边里：用一条边除以它对角的正弦，就得到直径。

正弦定理说：每条边都与它对角的正弦成正比。知道两个角和一条边，整个三角形就确定了。

注意：角固定，正弦就固定，所以三边之比是

\sin A : \sin B : \sin C

。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 沿外接圆拖动 A。角 A 始终不变。为什么 a / sin A 始终等于直径 2R？
试一试： 看直径上的直角三角形 B C B′。其中哪个角等于 A？
试一试： 按“SSA 情形”，把已知条件切换为 SSA。一个角和两条边能给出两个不同的三角形吗？

认识概念

定理 43.2.1 · 正弦定理

在三边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，三个角为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的三角形中，边 $a$ 对角 $A$ ，边 $b$ 对角 $B$ ，边 $c$ 对角 $C$ ，则

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,

其中 $R$ 是三角形的外接圆半径。

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习题 43.4.13（补充题）

AMC 12

以 $O$ 为圆心的圆半径为 $1$ ，点 $A$ 在圆上。线段 $\overline{AB}$ 在 $A$ 处与圆相切，且 $\angle AOB = \theta$ 。若点 $C$ 在 $\overline{OA}$ 上，且 $\overline{BC}$ 平分 $\angle ABO$ ，则 $OC = ?$ （用 $\theta$ 表示答案；输入 θ、theta 或 t。）

竞赛角真实竞赛题

习题 43.4.20（补充题）

AMC 12

在边长都是整数的 $\triangle ABC$ 中， $\cos A = \frac{11}{16}$ ， $\cos B = \frac{7}{8}$ ， $\cos C = -\frac{1}{4}$ 。 $\triangle ABC$ 的周长最小是多少？

习题 43.4.19（补充题）

AMC 12

在 $\triangle PAT$ 中， $\angle P = 36^\circ$ ， $\angle A = 56^\circ$ ， $PA = 10$ 。点 $U$ 和 $G$ 分别在边 $\overline{TP}$ 和 $\overline{TA}$ 上，使 $PU = AG = 1$ 。设 $M$ 和 $N$ 分别是线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{UG}$ 的中点。直线 $MN$ 与 $PA$ 所成锐角是多少度？

过关检测（第 43.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

在一个三角形中，边 $a = 10$ 的对角是 $A = 30^\circ$ 。外接圆半径 $R$ 是多少？

在 $\triangle ABC$ 中， $A = 45^\circ$ ， $B = 60^\circ$ ， $a = 2\sqrt2$ 。边 $b$ 多长？

在 $\triangle ABC$ 中， $B = 30^\circ$ ， $a = BC = 10$ ， $b = CA = 6$ 。用正弦定理： $\sin A$ 是多少？（图中说明了为什么有两个不同的三角形符合条件。）

43.30%

余弦定理

在本节中，你将能够 用余弦定理（带修正项的勾股定理）由一个角求一条边，或由三条边求任意一个角。

勾股定理需要一个直角。把这个角弯一弯， $c^2$ 就会偏离 $a^2 + b^2$ 。余弦定理准确地告诉你偏了多少。

当 $C$ 是锐角时， $c^2$ 比 $a^2 + b^2$ 少 $2ab\cos C$ 。当 $C$ 是钝角时， $\cos C < 0$ ， $c^2$ 反而更大。把公式倒过来用，三条边就能求出任意一个角。

注意：竞赛题里到处都是

120^\circ

角。这时

\cos C = -\frac12

，所以

c^2 = a^2 + b^2 + ab

。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 设 C = 90°。修正项 2ab cos C 会怎样？剩下的是哪个定理？
试一试： 把 C 逐步调到 120°。cos 120° = −1/2，所以修正项变成恰好多出 ab。看看条形图验证一下。
试一试： 把已知条件切换为 SSS。哪个角最大？它总是最长边所对的角吗？

认识概念

定理 43.3.1 · 余弦定理

在三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的三角形中，记边 $a$ 与边 $b$ 的夹角为 $C$ ，则

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C.

看例题先预测，再揭晓

例 43.2

AIME

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处是直角，内部有一点 $P$ ，满足 $PA = 10$ ， $PB = 6$ ，且 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA$ 。求 $PC$ 。

1
$P$ 处的三个相等的角恰好绕一整圈。每个角多大？

先预测一下：
你的预测

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例 43.3

AMC 12

圆 $\omega_1$ 、 $\omega_2$ 、 $\omega_3$ 的半径都是 $4$ ，它们放在平面上，每个圆都与另外两个圆外切。点 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $P_3$ 分别在 $\omega_1$ 、 $\omega_2$ 、 $\omega_3$ 上，使得 $P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_1$ ，并且对每个 $i = 1, 2, 3$ ，直线 $P_iP_{i+1}$ 都与 $\omega_i$ 相切，其中 $P_4 = P_1$ 。见下图。 $\triangle P_1P_2P_3$ 的面积可以写成 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 是正整数。 $a + b$ 等于多少？

1
设 $O_1, O_2, O_3$ 为三个圆心。半径为 $4$ 的两个圆相切：两个圆心相距多远？

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自己做

习题 43.4.8（补充题）

AHSME

在 $\triangle ABC$ 中，边 $a = \sqrt{3}$ ，边 $b = \sqrt{3}$ ，边 $c > 3$ 。设 $x$ 是使得边 $c$ 所对角的度数一定大于 $x$ 的最大的数。则 $x$ 等于：

习题 43.4.10（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 31.3.4 的编号出现。

在长方形 $ABCD$ 中， $\overline{AB} = 20$ ， $\overline{BC} = 10$ 。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 上一点，使 $\angle CBE = 15^\circ$ 。 $\overline{AE}$ 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 43.4.2

AMC 10/12

$\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 80$ ， $BC = 45$ ， $AC = 75$ 。 $\angle B$ 的平分线与边 $\overline{AB}$ 上的高相交于点 $P$ 。 $BP$ 是多少？

习题 43.4.9（补充题）

AHSME

在三角形 $ABC$ 中， $3\sin A + 4\cos B = 6$ ， $4\sin B + 3\cos A = 1$ 。则 $\angle C$ 的度数是

习题 43.4.15（补充题）

AMC 12

Alice 和 Bob 的家相距 $10$ 英里。有一天，Alice 从家里向正北方望去，看到一架飞机。同一时刻，Bob 从家里向正西方望去，看到了同一架飞机。从 Alice 的位置看飞机的仰角是 $30^\circ$ ，从 Bob 的位置看是 $60^\circ$ 。下列哪个数最接近飞机的高度（单位：英里）？

习题 43.4.16（补充题）

AIME

在三角形 $ABC$ 中， $\tan \angle CAB = 22/7$ ，从 $A$ 出发的高把 $BC$ 分成长为 $3$ 和 $17$ 的两段。三角形 $ABC$ 的面积是多少？

过关检测（第 43.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

43.4

练习题

在本节中，你将能够 在涉及多边形、圆和旋转的竞赛题中综合运用面积公式、正弦定理和余弦定理。

正多边形、一圈圆、折纸、旋转的直线：每一个里面都藏着一个你现在能解的三角形。

先找三角形：两边及其夹角，或者三条边，或者一边和两个角。然后选用合适的公式。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 43.4.3

AMC 12

一个指针式时钟从午夜开始走，走了 $2025$ 分钟后停下。时钟停下时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？

习题 43.4.6

AMC 12

一个半径为 $r$ 的圆被 $12$ 个半径为 $1$ 的圆围住，它们都与中间的圆外切，并且依次与相邻的圆相切，如图所示。则 $r$ 可以写成 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + c$ ，其中 $a, b, c$ 是整数。 $a + b + c$ 是多少？

习题 43.4.7

AMC 10/12

一个面积为 $\sqrt{5} + 1$ 的正五边形印在纸上并被剪下来。把五个顶点都折到五边形的中心，得到一个更小的五边形。新五边形的面积是多少？

习题 43.4.11（补充题）

AMC 12

如图，各边都相等的六边形 $ABCDEF$ 有三个互不相邻的锐角内角，每个都是 $30^\circ$ 。六边形围成的面积是 $6\sqrt{3}$ 。六边形的周长是多少？

习题 43.4.12（补充题）

AIME

设 $ABCDEF$ 是正六边形。设 $G$ 、 $H$ 、 $I$ 、 $J$ 、 $K$ 、 $L$ 分别是边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DE$ 、 $EF$ 、 $AF$ 的中点。线段 $\overline{AH}$ 、 $\overline{BI}$ 、 $\overline{CJ}$ 、 $\overline{DK}$ 、 $\overline{EL}$ 、 $\overline{FG}$ 围成一个较小的正六边形。设小六边形的面积与 $ABCDEF$ 的面积之比为分数 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 43.4.17（补充题）

AIME

这道题在书中还以 33.6.29 的编号出现。

在凸四边形 $KLMN$ 中，边 $\overline{MN}$ 垂直于对角线 $\overline{KM}$ ，边 $\overline{KL}$ 垂直于对角线 $\overline{LN}$ ， $MN = 65$ ， $KL = 28$ 。过 $L$ 且垂直于边 $\overline{KN}$ 的直线与对角线 $\overline{KM}$ 交于 $O$ ， $KO = 8$ 。求 $MO$ 。

习题 43.4.18（补充题）

AIME

这道题在书中还以 43.1 的编号出现。

习题 43.4.21（补充题）

AMC 12

坐标平面上的直线 $\ell$ 的方程是 $3x - 5y + 40 = 0$ 。把这条直线绕点 $(20, 20)$ 逆时针旋转 $45^\circ$ ，得到直线 $k$ 。直线 $k$ 与 $x$ 轴交点的 $x$ 坐标是多少？

习题 43.4.22（补充题）

AIME挑战

设 $\triangle ABC$ 的边长为 $AB = 30$ ， $BC = 32$ ， $AC = 34$ 。点 $X$ 在 $\overline{BC}$ 内部，点 $I_1$ 和 $I_2$ 分别是 $\triangle ABX$ 和 $\triangle ACX$ 的内心。当 $X$ 沿 $\overline{BC}$ 移动时，求 $\triangle AI_1I_2$ 面积的最小可能值。