代数三角：全部习题

方程 $\sin\left(\frac\pi2\cos x\right) = \cos\left(\frac\pi2\sin x\right)$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上有多少个解？

设多项式 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 的根是 $\cos\frac{2\pi}{7}$、$\cos\frac{4\pi}{7}$ 和 $\cos\frac{6\pi}{7}$，其中角用弧度表示。$abc$ 等于多少？

一个三角形的三条边长成等差数列，最短边长为 6。它有一个内角等于 $120^\circ$。这个三角形的面积是多少？

青蛙 Cyrus 蹲在一个平面上。它跳了一下，落在 2 英尺外。然后它随机选一个方向，再跳 2 英尺。第二跳之后，Cyrus 落在距出发点 1 英尺以内的概率是多少？

Usain 为了锻炼，在一块 100 米 × 30 米的长方形场地上走“之”字形路线，从点 $A$ 出发，终点落在线段 $\overline{BC}$ 上。他想像下图那样（$APQRS$）走“之”字形来增加行走的路程。角 $\theta = \angle PAB = \angle QPC = \angle RQB = \cdots$ 取多大时，路程恰好是 120 米？（图未按比例绘制。不要认为“之”字形路线恰好像图中那样有四段；可能更多，也可能更少。）

区间 $0 < \theta \le 2\pi$ 中有多少个 $\theta$ 满足

有多少个实数满足方程 $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)$？

设 $ABC$ 是内接于圆 $\omega$ 的三角形。$\omega$ 在 $B$ 和 $C$ 处的切线交于点 $P$，$\overline{AP}$ 与 $\omega$ 交于 $D$。若 $AB = 5$，$BC = 9$，$AC = 10$，求 $AD$。（写成最简分数形式 $AD = \frac mn$，填入 $m + n$。）

函数 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 都是周期函数，最小正周期为 $2\pi$。函数 $\cos(\sin(x))$ 的最小正周期是多少？

一个数列的前两项是 $a_1 = 1$ 和 $a_2 = \frac{1}{\sqrt3}$。对 $n \ge 1$，

$|a_{2009}|$ 等于多少？

一个物体沿直线从 $A$ 移动 8 厘米到 $B$，然后转过一个角 $\alpha$（用弧度表示，从区间 $(0, \pi)$ 中随机选取），再沿直线移动 5 厘米到 $C$。$AC < 7$ 的概率是多少？

$y = \sin(1/x)$ 的图像在区间 $(0.0001, 0.001)$ 中与 $x$ 轴的交点个数最接近

若 $\sum_{n=0}^{\infty}\cos^{2n}\theta = 5$，$\cos2\theta$ 的值是多少？

方程 $\tan(2x) = \cos\left(\frac x2\right)$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上有多少个解？

在闭区间 $[0, \pi]$ 中，使得

对 $0$ 到 $\pi$ 之间（含两端）的每个 $x$ 都成立的 $y$ 值所构成的最大子集，是下列哪一个？

已知 $A_k = \frac{k(k-1)}{2}\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}$，求 $|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|$。

已知 $(1 + \sin t)(1 + \cos t) = \frac54$，且

其中 $k$、$m$、$n$ 是正整数，$m$ 与 $n$ 互质。求 $k + m + n$。

设 $a$ 是实数，使方程

在区间 $(0, \pi)$ 中有不止一个解。所有这样的 $a$ 构成的集合可以写成 $(p, q) \cup (q, r)$ 的形式，其中 $p$、$q$、$r$ 是实数，$p < q < r$。$p + q + r$ 等于多少？