跳到正文
Mastering
AMC 10/12
进阶专题 · 第 42 章

代数三角

主要面向 AMC 12（也能为一些 AMC 10 题目抄近路）：六个三角比、单位圆、几大恒等式，以及借助图像数解的个数。

这一章讲什么？
你需要先会
在 YouTube 上打开
42.10%

六个三角比

在本节中，你将能够 在直角三角形中读出正弦、余弦、正切以及它们的三个倒数。

一架 10 米长的梯子靠在墙上，与地面成 60° 角。它能够到多高？对边比斜边：高度是 10sin⁡60∘10\sin 60^\circ。

所有含同一个锐角 aa 的直角三角形形状都相同，所以它们的边长之比只取决于 aa。 这些比有各自的名字：正弦、余弦、正切，以及它们的倒数：余割、正割、余切。

本章主要面向 AMC 12，但同样的工具也能让一些 AMC 10 题目简短得多。

动手探索先玩，再学公式

a = 40°：sin = 对边/斜边 = 0.6428，cos = 邻边/斜边 = 0.766，tan = 对边/邻边 = 0.8391，csc = 1.5557，sec = 1.3054，cot = 1.1918。

角 a40°
a=40∘a = 40^\circ
sin⁡a=opphyp, cos⁡a=adjhyp, tan⁡a=oppadj\sin a=\tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}},\ \cos a=\tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}},\ \tan a=\tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}
ff(40°)
sin a0.64280.6428
cos a0.7660.766
tan a0.83910.8391
csc a1.55571.5557
sec a1.30541.3054
cot a1.19181.1918

a = 40°：sin = 对边/斜边 = 0.6428，cos = 邻边/斜边 = 0.766，tan = 对边/邻边 = 0.8391，csc = 1.5557，sec = 1.3054，cot = 1.1918。

认识概念

定理 42.1.1 · 三角比

在含锐角 aa 的直角三角形中：

正弦：sin⁡(a)=对边斜边\text{正弦：} \sin(a) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
余弦：cos⁡(a)=邻边斜边\text{余弦：} \cos(a) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
正切：tan⁡(a)=对边邻边=sin⁡(a)cos⁡(a)\text{正切：} \tan(a) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}

定理 42.2.1 · 更多三角比

余割：csc⁡(a)=斜边对边=1sin⁡(a)\text{余割：} \csc(a) = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\sin(a)}
正割：sec⁡(a)=斜边邻边=1cos⁡(a)\text{正割：} \sec(a) = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \frac{1}{\cos(a)}
余切：cot⁡(a)=邻边对边=1tan⁡(a)=cos⁡(a)sin⁡(a)\text{余切：} \cot(a) = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan(a)} = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}

过关检测（第 42.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

在一个直角三角形中，角 aa 的对边是 55，斜边是 1313。tan⁡a\tan a 等于多少？

2

若 aa 是锐角且 sin⁡a=35\sin a = \frac35，sec⁡a\sec a 等于多少？

3

一架 1010 米长的梯子靠在墙上，与地面成 60∘60^\circ 角。它能够到墙上多高（单位：米）？

42.30%

特殊角与单位圆

在本节中，你将能够 记住特殊角的精确值，并用单位圆处理任意角。

cos⁡150∘\cos 150^\circ 等于多少？没有哪个直角三角形含 150∘150^\circ 的角。换个办法，把这个角放到半径为 1 的圆上： 它的余弦就是那个点的 xx 坐标。

在单位圆上，角 aa 的终边落在点 P=(cos⁡a,sin⁡a)P = (\cos a, \sin a)。这对任意角都成立，不只是锐角。 3030-6060-9090 和 4545-4545-9090 三角形给出下表中的精确值；定理 42.4.1 中的对称关系把它们搬到其他象限。

acos⁡asin⁡a0∘1015∘6+246−2430∘321245∘222260∘123275∘6−246+2490∘01120∘−1232135∘−2222150∘−3212180∘−10\begin{array}{c|c|c} a & \cos a & \sin a \ \hline 0^\circ & 1 & 0 \[2pt] 15^\circ & \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} & \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \[2pt] 30^\circ & \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \[2pt] 45^\circ & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \[2pt] 60^\circ & \frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \[2pt] 75^\circ & \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} & \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \[2pt] 90^\circ & 0 & 1 \[2pt] 120^\circ & -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \[2pt] 135^\circ & -\frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt2}{2} \[2pt] 150^\circ & -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \[2pt] 180^\circ & -1 & 0 \end{array}

原书写的是 cos⁡15∘=3+122\cos 15^\circ = \frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}；分子分母同乘 2\sqrt2，就得到 6+24\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}。注意：原书的表格还重复了 0∘0^\circ 这一行，印成了 cos⁡180∘=1\cos 180^\circ = 1（应为 −1-1），并把 sin⁡180∘\sin 180^\circ 写成了 sin⁡0∘\sin 0^\circ。上面的表格已经改正。

动手探索先玩，再学公式

a = 30°：P = (cos a, sin a) = (√3/2, 1/2)；tan a = √3/3。

角 a30°
a=30∘a = 30^\circ
ff(30°)
cos a32\frac{\sqrt3}{2}
sin a12\frac12
tan a33\frac{\sqrt3}{3}

sin²a + cos²a = 0.25 + 0.75 = 1

把 a 变成

a = 30°：P = (cos a, sin a) = (√3/2, 1/2)；tan a = √3/3。

认识概念

定理 42.4.1 · 单位圆恒等式

sin⁡(−a)=−sin⁡(a)\sin(-a) = -\sin(a)
sin⁡(a)=sin⁡(180∘−a)\sin(a) = \sin(180^\circ - a)
cos⁡(a)=cos⁡(−a)\cos(a) = \cos(-a)
cos⁡(a)=−cos⁡(180∘−a)\cos(a) = -\cos(180^\circ - a)
tan⁡(a)=−tan⁡(180∘−a)\tan(a) = -\tan(180^\circ - a)
tan⁡(−a)=−tan⁡(a)\tan(-a) = -\tan(a)

定理 42.5.1 · 平方关系

sin⁡2(a)+cos⁡2(a)=1\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1
tan⁡2(a)+1=sec⁡2(a)\tan^2(a) + 1 = \sec^2(a)
cot⁡2(a)+1=csc⁡2(a)\cot^2(a) + 1 = \csc^2(a)

a = 40°：P = (cos a, sin a) = (0.766, 0.6428)；tan a = 0.8391。 正切线段 0.8391，正割线段 1.3054。

角 a40°
a=40∘a = 40^\circ
P=(cos⁡a, sin⁡a)P=(\cos a,\ \sin a)
ff(40°)
cos a0.7660.766
sin a0.64280.6428
tan a0.83910.8391

a = 40°：P = (cos a, sin a) = (0.766, 0.6428)；tan a = 0.8391。 正切线段 0.8391，正割线段 1.3054。

自己做

习题 42.13.9（补充题）

AMC 12

函数 sin⁡(x)\sin(x) 和 cos⁡(x)\cos(x) 都是周期函数，最小正周期为 2π2\pi。函数 cos⁡(sin⁡(x))\cos(\sin(x)) 的最小正周期是多少？

过关检测（第 42.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

利用 3030-6060-9090 三角形：sin⁡60∘\sin60^\circ 等于多少？

30-60-90 三角形：三边 1, √3, 2，面积 √3/2

短直角边 a1
1√3230°60°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 32\frac{\sqrt{3}}{2} ≈ 0.87
a:a3:2a,面积=32a2a : a\sqrt3 : 2a,\quad \text{面积} = \tfrac{\sqrt3}{2}a^2
  • 等边: 面积=34a2\text{面积} = \tfrac{\sqrt3}{4}a^2
  • 45-45-90: 面积=12a2\text{面积} = \tfrac12 a^2
  • 30-60-90: 面积=32a2\text{面积} = \tfrac{\sqrt3}{2}a^2

30-60-90 三角形，短直角边 a = 1：三边 1, √3, 2，面积 √3/2

2

利用 4545-4545-9090 三角形和定理 42.4.1：cos⁡135∘\cos135^\circ 等于多少？

45-45-90 三角形：三边 1, 1, √2，面积 1/2

直角边 a1
11√245°45°

拖动紫色圆点，或用加减按钮改变大小。边长之比始终不变。

面积 = 12\frac{1}{2}
a:a:a2,面积=12a2a : a : a\sqrt2,\quad \text{面积} = \tfrac12 a^2
  • 等边: 面积=34a2\text{面积} = \tfrac{\sqrt3}{4}a^2
  • 45-45-90: 面积=12a2\text{面积} = \tfrac12 a^2
  • 30-60-90: 面积=32a2\text{面积} = \tfrac{\sqrt3}{2}a^2

45-45-90 三角形，直角边 a = 1：三边 1, 1, √2，面积 1/2

3

角 aa 是钝角，且 sin⁡a=35\sin a = \frac35。cos⁡a\cos a 等于多少？

42.60%

二倍角、和角与半角

在本节中，你将能够 展开和角、差角、二倍角与半角的 sin 和 cos。

你知道 cos⁡45∘\cos 45^\circ 和 cos⁡30∘\cos 30^\circ。那 cos⁡15∘\cos 15^\circ 呢？因为 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ， 一个公式就能把已知的值变成你想要的值。

先旋转 aa 再旋转 bb，等于一次旋转 a+ba + b。把这件事用坐标写出来，就得到和角公式。 本节的其余内容都由它们推出：令 b=ab = a 得到二倍角公式，再反解出半角公式。

动手探索先玩，再学公式

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a：左边 0.9659，右边 0.9659。

a45°
b30°
sin⁡(45∘+30∘)=0.9659\sin(45^\circ+30^\circ) = 0.9659
=22⋅32+12⋅22=0.9659= \frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2} = 0.9659
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\sin(a+b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a

✓ 两边相等

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a：左边 0.9659，右边 0.9659。

认识概念

定理 42.6.1 · 二倍角公式

sin⁡(2a)=2sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)
cos⁡(2a)=cos⁡2(a)−sin⁡2(a)=2cos⁡2(a)−1=1−2sin⁡2(a)\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)
tan⁡(2a)=2tan⁡(a)1−tan⁡2(a)\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}

定理 42.7.1 · 和角与差角公式

sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(b)cos⁡(a)\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)
sin⁡(a−b)=sin⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(b)cos⁡(a)\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)
cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡atan⁡b\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan a \tan b}
tan⁡(a−b)=tan⁡(a)−tan⁡(b)1+tan⁡atan⁡b\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan a \tan b}

定理 42.8.1 · 半角公式

sin⁡(a2)=±1−cos⁡(a)2\sin\left(\frac a2\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
cos⁡(a2)=±1+cos⁡(a)2\cos\left(\frac a2\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(a)}{2}}

符号就是 sin⁡a2\sin\frac a2（或 cos⁡a2\cos\frac a2）的符号：看 a2\frac a2 在哪个象限。

自己做

习题 42.13.13（补充题）

AMC 12

若 ∑n=0∞cos⁡2nθ=5\sum_{n=0}^{\infty}\cos^{2n}\theta = 5，cos⁡2θ\cos2\theta 的值是多少？

习题 42.13.10（补充题）

AMC 12

一个数列的前两项是 a1=1a_1 = 1 和 a2=13a_2 = \frac{1}{\sqrt3}。对 n≥1n \ge 1，

an+2=an+an+11−anan+1.a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{1 - a_na_{n+1}}.

∣a2009∣|a_{2009}| 等于多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 42.13.17（补充题）

AIME

已知 (1+sin⁡t)(1+cos⁡t)=54(1 + \sin t)(1 + \cos t) = \frac54，且

(1−sin⁡t)(1−cos⁡t)=mn−k,(1 - \sin t)(1 - \cos t) = \frac mn - \sqrt k,

其中 kk、mm、nn 是正整数，mm 与 nn 互质。求 k+m+nk + m + n。

过关检测（第 42.6 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

cos⁡15∘\cos15^\circ 等于多少？（利用 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ。）

2

若 sin⁡a=13\sin a = \frac13，cos⁡2a\cos2a 等于多少？

3

tan⁡75∘\tan75^\circ 等于多少？

42.90%

和差化积与积化和差

在本节中，你将能够 在正弦、余弦的和与积之间来回转换。

sin⁡a+sin⁡b=5/3\sin a + \sin b = \sqrt{5/3} 和 cos⁡a+cos⁡b=1\cos a + \cos b = 1 看起来像是含两个未知数的两个方程。其实它们是同一个向量的 两个坐标：两个单位向量的和。

把指向角 aa 和 bb 的两个单位向量相加。由对称性，和向量指向平均角 a+b2\frac{a+b}{2}，长度是 2cos⁡a−b22\cos\frac{a-b}{2}。读出它的坐标，就得到和差化积公式。反过来用，积就变成了和。

动手探索先玩，再学公式

sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) cos((a − b)/2)：左边 1.3268，右边 1.3268。 两个单位向量首尾相接，终点为 (1.1133, 1.3268)；这个向量长 1.7321，方向为 50°。

a80°
b20°
sin⁡80∘+sin⁡20∘=1.3268\sin 80^\circ + \sin 20^\circ = 1.3268
=2sin⁡50∘cos⁡30∘=1.3268= 2\sin 50^\circ\cos 30^\circ = 1.3268
sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2\sin a+\sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}

✓ 两边相等

和向量的长度 = 1.7321

sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) cos((a − b)/2)：左边 1.3268，右边 1.3268。 两个单位向量首尾相接，终点为 (1.1133, 1.3268)；这个向量长 1.7321，方向为 50°。

认识概念

定理 42.9.1 · 和差化积公式

sin⁡(a)+sin⁡(b)=2sin⁡(a+b2)cos⁡(a−b2)\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)
sin⁡(a)−sin⁡(b)=2sin⁡(a−b2)cos⁡(a+b2)\sin(a) - \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
cos⁡(a)+cos⁡(b)=2cos⁡(a−b2)cos⁡(a+b2)\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
cos⁡(a)−cos⁡(b)=−2sin⁡(a−b2)sin⁡(a+b2)\cos(a) - \cos(b) = -2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)

定理 42.10.1 · 积化和差公式

sin⁡(a)sin⁡(b)=12(cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b))\sin(a)\sin(b) = \frac12\left(\cos(a - b) - \cos(a + b)\right)
cos⁡(a)cos⁡(b)=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos(a)\cos(b) = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right)
sin⁡(a)cos⁡(b)=12(sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b))\sin(a)\cos(b) = \frac12\left(\sin(a + b) + \sin(a - b)\right)

看例题先预测，再揭晓

例 42.1

AMC 12

已知 sin⁡a+sin⁡b=53\sin a + \sin b = \sqrt{\frac53}，cos⁡a+cos⁡b=1\cos a + \cos b = 1。cos⁡(a−b)\cos(a - b) 等于多少？

和角公式实验室 (总数在例题最后一步揭晓)

a?
b?
cos⁡ ?+cos⁡ ?=1\cos \,? + \cos \,? = 1
=  ?= \;?

和向量的长度 = ?; cos(a − b) = ? (例题最后一步揭晓)

cos a + cos b = 2 cos((a − b)/2) cos((a + b)/2)：左边 1，右边 1。 两个单位向量首尾相接，终点为 (1, 1.291)。

  1. 1

    把 (cos⁡a,sin⁡a)(\cos a, \sin a) 和 (cos⁡b,sin⁡b)(\cos b, \sin b) 看成两个单位向量。首尾相接后，终点是 (cos⁡a+cos⁡b, sin⁡a+sin⁡b)=(1,53)(\cos a + \cos b,\ \sin a + \sin b) = \left(1, \sqrt{\frac53}\right)。这个和向量长度的平方是多少？

    先预测一下：
在 YouTube 上打开

例 42.2

AIME

设实数 xx 满足 sin⁡10x+cos⁡10x=1136\sin^{10}x + \cos^{10}x = \frac{11}{36}。则 sin⁡12x+cos⁡12x=mn\sin^{12}x + \cos^{12}x = \frac mn，其中 mm 和 nn 是互质的正整数。求 m+nm + n。

  1. 1

    设 s=sin⁡2xs = \sin^2 x，c=cos⁡2xc = \cos^2 x，则 s+c=1s + c = 1。记 p=scp = sc。用 pp 表示 s2+c2s^2 + c^2。

    先预测一下：
在 YouTube 上打开

竞赛角真实竞赛题

习题 42.13.16（补充题）

AIME

已知 Ak=k(k−1)2cos⁡k(k−1)π2A_k = \frac{k(k-1)}{2}\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}，求 ∣A19+A20+⋯+A98∣|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|。

过关检测（第 42.9 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin75^\circ + \sin15^\circ 等于多少？

2

cos⁡75∘cos⁡15∘\cos75^\circ\cos15^\circ 等于多少？

3

两个单位向量分别指向角 aa 和 bb。它们的和向量有多长？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
42.110%

图像、周期与数解的个数

在本节中，你将能够 利用周期和图像数出三角方程的解的个数。

sin⁡x=sin⁡5x\sin x = \sin 5x 在 [0,π][0, \pi] 上有多少个解？直接解很麻烦。画出两条曲线再数交点，却很快。

图像能一次显示所有的解。要当心三个陷阱：一条曲线只是碰到另一条（相切只算一个解）；解恰好落在 端点上（只有闭区间才算）；以及 tan⁡\tan 的渐近线：图像在那里跳过去，并没有穿过任何东西。

动手探索先玩，再学公式

sin x = sin(2x) 在 [0, π] 上：3 个解 (1 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

n2
— f(x) = sin x— g(x) = sin(2x)
F(2) = 3

1 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点

sin x = sin(2x) 在 [0, π] 上：3 个解 (1 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

认识概念

定义 42.11.1 · 周期函数

周期函数是每隔固定的间隔就重复同一段 yy 值规律的函数。规律完整重复一次叫做一个循环。函数的周期就是一个完整循环的水平长度。

sin⁡\sin 和 cos⁡\cos 的周期是 2π2\pi；tan⁡\tan 的周期是 π\pi。

对原书的更正。 原书说 tan⁡\tan 的周期是 2π2\pi。其实它只隔 π\pi 就重复，因为 tan⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x + \pi) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x。（原书还把所有周期函数都叫作“三角函数”；“周期函数”才是一般的叫法。）

概念 42.12.1 · 正弦曲线

y=sin⁡xy = \sin x 的图像是一条在 −1-1 和 11 之间起伏的波。它从 (0,0)(0, 0) 出发，在 x=π2x = \frac\pi2 处达到最高点，在 π\pi 的每个整数倍处穿过零，每隔 2π2\pi 重复一次。

sin x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

— f(x) = sin x
[−2π, 2π]: 5 个解

3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点

sin x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

概念 42.12.2 · 余弦曲线

y=cos⁡xy = \cos x 的图像就是正弦波向左平移 π2\frac\pi2：cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin\left(x + \frac\pi2\right)。它从最高点 (0,1)(0, 1) 出发，在 π2\frac\pi2 的奇数倍处穿过零，每隔 2π2\pi 重复一次。

cos x = 0 在 [−2π, 2π] 上：4 个解 (4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点).

— f(x) = cos x
[−2π, 2π]: 4 个解

4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点

cos x = 0 在 [−2π, 2π] 上：4 个解 (4 个穿越点，0 个相切点，0 个在闭端点).

概念 42.12.3 · 正切曲线

y=tan⁡xy = \tan x 的图像在 π\pi 的每个整数倍处穿过零，并在竖直渐近线 x=π2+kπx = \frac\pi2 + k\pi 处冲向 ±∞\pm\infty，那里 cos⁡x=0\cos x = 0。它每隔 π\pi 重复一次。

tan x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

— f(x) = tan x
[−2π, 2π]: 5 个解

3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点

tan x = 0 在 [−2π, 2π] 上：5 个解 (3 个穿越点，0 个相切点，2 个在闭端点).

注 42.12.4

冗长的三角式子可以用裂项相消、巧用恒等式，或者用复数代换来求值（见第 44 章“复数”）。

看例题先预测，再揭晓

例 42.3

AMC 12

对每个整数 n>1n > 1，设 F(n)F(n) 为方程 sin⁡x=sin⁡(nx)\sin x = \sin(nx) 在区间 [0,π][0, \pi] 上的解的个数。∑n=22007F(n)\displaystyle\sum_{n=2}^{2007} F(n) 等于多少？

三角函数图像 (总数在例题最后一步揭晓)

n2
— f(x) = sin x— g(x) = sin(2x)
F(2) = ? (例题最后一步揭晓)

sin x = sin(2x) 在 [0, π] 上：? 个解.

  1. 1

    从小的开始：n=2n = 2。在 [0,π][0, \pi] 上画出 y=sin⁡xy = \sin x 和 y=sin⁡2xy = \sin 2x。它们相交几次？端点也要算上。

    先预测一下：
在 YouTube 上打开

自己做

习题 42.13.1

AMC 12

方程 sin⁡(π2cos⁡x)=cos⁡(π2sin⁡x)\sin\left(\frac\pi2\cos x\right) = \cos\left(\frac\pi2\sin x\right) 在闭区间 [0,π][0, \pi] 上有多少个解？

竞赛角真实竞赛题

习题 42.13.6

AMC 12

区间 0<θ≤2π0 < \theta \le 2\pi 中有多少个 θ\theta 满足

1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ=0?1 - 3\sin\theta + 5\cos3\theta = 0?

−3 sin x + 1 = −5 cos(3x) 在 (0, 2π] 上：? 个解.

— f(x) = −3 sin x + 1— g(x) = −5 cos(3x)
(0, 2π]: ? (例题最后一步揭晓) 个解

−3 sin x + 1 = −5 cos(3x) 在 (0, 2π] 上：? 个解.

习题 42.13.14（补充题）

AMC 12

方程 tan⁡(2x)=cos⁡(x2)\tan(2x) = \cos\left(\frac x2\right) 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上有多少个解？

tan(2x) = cos(x/2) 在 [0, 2π] 上：? 个解.

— f(x) = tan(2x)— g(x) = cos(x/2)
[0, 2π]: ? (例题最后一步揭晓) 个解

tan(2x) = cos(x/2) 在 [0, 2π] 上：? 个解.

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 42.13.7

AMC 12

有多少个实数满足方程 sin⁡(20πx)=log⁡20(x)\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)？

sin(20πx) = log_20(x) 在 (0, 20] 上：? 个解.

— f(x) = sin(20πx)— g(x) = log_20(x)
(0, 20]: ? (例题最后一步揭晓) 个解

sin(20πx) = log_20(x) 在 (0, 20] 上：? 个解.

习题 42.13.12（补充题）

AMC 12

y=sin⁡(1/x)y = \sin(1/x) 的图像在区间 (0.0001,0.001)(0.0001, 0.001) 中与 xx 轴的交点个数最接近

sin(1/x) = 0 在 (0.0001, 0.001) 上：? 个解.

— f(x) = sin(1/x)
(0.0001, 0.001): ? (例题最后一步揭晓) 个解

sin(1/x) = 0 在 (0.0001, 0.001) 上：? 个解.

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

过关检测（第 42.11 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。
1

y=tan⁡xy = \tan x 的周期是多少？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。
2

sin⁡x=12\sin x = \frac12 在 [0,2π][0, 2\pi] 上有多少个解？

3

y=sin⁡(3x)y = \sin(3x) 的周期是多少？

42.13

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有工具。

练习题的其余部分，从一道用特殊角求面积的快题到一道 AIME 几何题。先判断每道题需要哪种工具。

竞赛角真实竞赛题

习题 42.13.3

AMC 12

一个三角形的三条边长成等差数列，最短边长为 6。它有一个内角等于 120∘120^\circ。这个三角形的面积是多少？

习题 42.13.11（补充题）

AMC 12

一个物体沿直线从 AA 移动 8 厘米到 BB，然后转过一个角 α\alpha（用弧度表示，从区间 (0,π)(0, \pi) 中随机选取），再沿直线移动 5 厘米到 CC。AC<7AC < 7 的概率是多少？

习题 42.13.5

AMC 12

Usain 为了锻炼，在一块 100 米 × 30 米的长方形场地上走“之”字形路线，从点 AA 出发，终点落在线段 BC‾\overline{BC} 上。他想像下图那样（APQRSAPQRS）走“之”字形来增加行走的路程。角 θ=∠PAB=∠QPC=∠RQB=⋯\theta = \angle PAB = \angle QPC = \angle RQB = \cdots 取多大时，路程恰好是 120 米？（图未按比例绘制。不要认为“之”字形路线恰好像图中那样有四段；可能更多，也可能更少。）

习题 42.13.15（补充题）

AMC 12

在闭区间 [0,π][0, \pi] 中，使得

sin⁡(x+y)≤sin⁡(x)+sin⁡(y)\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)

对 00 到 π\pi 之间（含两端）的每个 xx 都成立的 yy 值所构成的最大子集，是下列哪一个？

点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

习题 42.13.2

AMC 12

设多项式 P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 的根是 cos⁡2π7\cos\frac{2\pi}{7}、cos⁡4π7\cos\frac{4\pi}{7} 和 cos⁡6π7\cos\frac{6\pi}{7}，其中角用弧度表示。abcabc 等于多少？

习题 42.13.4

AMC 12

青蛙 Cyrus 蹲在一个平面上。它跳了一下，落在 2 英尺外。然后它随机选一个方向，再跳 2 英尺。第二跳之后，Cyrus 落在距出发点 1 英尺以内的概率是多少？

习题 42.13.18（补充题）

AMC 12

设 aa 是实数，使方程

a⋅(sin⁡x+sin⁡(2x))=sin⁡(3x)a\cdot(\sin x + \sin(2x)) = \sin(3x)

在区间 (0,π)(0, \pi) 中有不止一个解。所有这样的 aa 构成的集合可以写成 (p,q)∪(q,r)(p, q) \cup (q, r) 的形式，其中 pp、qq、rr 是实数，p<q<rp < q < r。p+q+rp + q + r 等于多少？

习题 42.13.8

2024 AIME I Problem 10挑战

设 ABCABC 是内接于圆 ω\omega 的三角形。ω\omega 在 BB 和 CC 处的切线交于点 PP，AP‾\overline{AP} 与 ω\omega 交于 DD。若 AB=5AB = 5，BC=9BC = 9，AC=10AC = 10，求 ADAD。（写成最简分数形式 AD=mnAD = \frac mn，填入 m+nm + n。）