对数：全部习题

使 $\frac{1}{\log_2 a} + \frac{1}{\log_3 a} + \frac{1}{\log_4 a} = 1$ 成立的 $a$ 的值是多少？

下式的值是多少？

$\left(625^{\log_5 2015}\right)^{\frac{1}{4}}$ 的值是多少？

存在唯一的正整数 $n$，使得

$n$ 的各位数字之和是多少？

存在唯一的正整数 $n$，使得

$n$ 的各位数字之和是多少？

数列

是等差数列。$x$ 是多少？

有多少个正整数 $x$ 满足 $\log_{10}(x - 40) + \log_{10}(60 - x) < 2$？

正实数 $a$ 和 $b$ 满足

且左边四项都是正整数，其中 $\log$ 表示以 10 为底的对数。$ab$ 是多少？

下列哪一个是 $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ 的值？

满足 $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ 的 $x$ 的值可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

正实数 $x \neq 1$ 和 $y \neq 1$ 满足 $\log_2 x = \log_y 16$ 且 $xy = 64$。$\left(\log_2 \frac{x}{y}\right)^2$ 是多少？

下式的值是多少？

下式的值是多少？

下面方程的所有解的乘积是多少？

设 $S$ 是满足下式的所有正实数 $x$ 之和：

下列哪个说法正确？

设 $4^a = 5$，$5^b = 6$，$6^c = 7$，$7^d = 8$。$a \cdot b \cdot c \cdot d$ 是多少？

实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x, y > 1$ 且 $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10$。$xy$ 的值是多少？

$10^n$ 的所有因数的常用对数（以 10 为底）之和是 $792$。$n$ 是多少？

在一个火星文明中，所有没有注明底数的对数都默认以 $b$ 为底，其中 $b \ge 2$ 是某个固定的数。一名火星学生写下

并发现这个方程组恰有一个实数解 $x > 1$。求 $b$。

设 $S$ 是 $1000000$ 的所有真因数（一个数除自身以外的所有因数）的常用对数（以 10 为底）之和。最接近 $S$ 的整数是多少？

正整数 $a$ 和 $b$ 满足条件

求 $a + b$ 所有可能值之和。

数列 $a_1, a_2, \dots$ 是等比数列，$a_1 = a$，公比为 $r$，其中 $a$ 和 $r$ 都是正整数。已知 $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12} = 2006$，求可能的有序数对 $(a, r)$ 的个数。

如果 $\log\left(xy^3\right) = 1$ 且 $\log\left(x^2y\right) = 1$，那么 $\log(xy)$ 是多少？

递增的等比数列 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 的每一项都是 $3$ 的整数次幂。已知

求 $\log_3(x_{14})$。

方程 $7^{x+7} = 8^x$ 的解可以表示成 $x = \log_b 7^7$ 的形式。$b$ 是多少？

对所有大于 $1$ 的整数 $n$，定义 $a_n = \frac{1}{\log_n 2002}$。设 $b = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$，$c = a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}$。那么 $b - c$ 等于

数 $\log\left(a^3b^7\right)$、$\log\left(a^5b^{12}\right)$ 和 $\log\left(a^8b^{15}\right)$ 是一个等差数列的前三项，这个数列的第 $12$ 项是 $\log b^n$。$n$ 是多少？

已知 $\log_8 a + \log_4 b^2 = 5$ 且 $\log_8 b + \log_4 a^2 = 7$，求 $ab$ 的值。

数

可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

函数 $f(x) = \log_{\frac12}\left(\log_4\left(\log_{\frac14}\left(\log_{16}\left(\log_{\frac{1}{16}} x\right)\right)\right)\right)$ 的定义域是一个长度为 $\frac{m}{n}$ 的区间，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？

方程 $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8$（其中 $x$ 是不等于 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$ 的正实数）的解可以写成 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。$p + q$ 是多少？

设 $m > 1$ 和 $n > 1$ 都是整数。假设方程

关于 $x$ 的所有解之积是可能的最小整数。$m + n$ 是多少？

设 $S$ 是由实数构成的有序三元组 $(x, y, z)$ 的集合，其中每个三元组都满足

存在实数 $a$ 和 $b$，使得对 $S$ 中所有有序三元组 $(x, y, z)$，都有 $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}$。$a + b$ 的值是多少？