进阶专题 · 第 41 章

对数

对数把幂变成乘法，把积变成和。学会对数的定义、对数运算法则和换底公式，它们是解 AMC 12 和 AIME 对数题的钥匙（本章主要面向 AMC 12）。

这一章讲什么？

41.1 基本定义
41.2 对数公式
41.3 练习题

你需要先会

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41.10%

基本定义

在本节中，你将能够 把对数读成一个关于幂的问题，并在对数式和指数式之间来回转换。

对数就是一个问题：“几次幂？”2 的几次幂是 8？3 次。所以 $\log_2 8 = 3$ 。

每个对数背后都藏着一个指数等式。 $\log_b n = p$ 和 $b^{p} = n$ 说的是同一件事。对数题看起来吓人时，把它改写成指数式；指数题卡住时，取一下对数。

注意看：互动工具上面那条线数的是步数（指数），下面那条线显示这些步落在哪里。上面每走相等的一步，下面就是乘以一次 $b$ 。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 把数值标记拖到 32。它上方的指数是多少？那么 log₂ 32 是多少？
试一试： 把指数标记一次向右移一格。每移一格，数值发生了什么变化？
试一试： 把数值拖到 3。为什么 log₂ 3 不是整数？它在哪两个整数之间？

认识概念

定义 41.1.1 · 对数

对数是一个数需要乘方的次数（幂指数），使它变成另一个数。

对数写作

a = \log_b n

其中 $b$ 是底数， $n$ 是真数。

说白了，我们在问：底数要自乘多少次才得到 $n$ ？也就是说，底数要取几次幂才能得到 $n$ ？

定理 41.1.2 · 对数式与指数式的互化

\log_x y = a \implies x^a = y

这个箭头两个方向都成立： $x^a = y$ 也意味着 $\log_x y = a$ 。

自己做

习题 41.3.1

AMC 12

使 $\frac{1}{\log_2 a} + \frac{1}{\log_3 a} + \frac{1}{\log_4 a} = 1$ 成立的 $a$ 的值是多少？

习题 41.3.3

AMC 12

$\left(625^{\log_5 2015}\right)^{\frac{1}{4}}$ 的值是多少？

习题 41.3.16（补充题）

AMC 10

设 $4^a = 5$ ， $5^b = 6$ ， $6^c = 7$ ， $7^d = 8$ 。 $a \cdot b \cdot c \cdot d$ 是多少？

过关检测（第 41.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

41.20%

对数公式

在本节中，你将能够 用积、商、幂的法则和换底公式化简对数，并解对数方程。

$\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8$ 。两个不同的底数，里面都有 $x$ 。把两边都换成以 2 为底，三行就能解出来。

对数把乘法变成加法。这正是计算尺的原理：把长度 $\log 2$ 接在 $\log 3$ 旁边，就到达 $\log 6$ 。

换底公式是最重要的一个。底数不一致时，把所有对数都换到一个你喜欢的底数（通常是质数），再化简。最后一定要检验定义域：每个对数的真数都必须为正，底数必须为正且不等于 1。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 滑尺的 1 对准了 2。6 出现在固定尺的什么位置？为什么它正好在滑尺的 3 下面？
试一试： 在 a = 2、k = 3 时按“乘方”。几段 log 2 拼成 log 8？
试一试： 在换底公式下按“演示给我看”。为什么以 4 为底的每一步恰好是以 2 为底的两步？

认识概念

定理 41.2.1 · 重要公式

\log_a a^r = r

\log_a bc = \log_a b + \log_a c

\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c

\log_a b^c = c \log_a b

\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

\log_b a = \frac{\log_d a}{\log_d b}

注 41.2.3

这些公式是处理对数的基本功，一定要背熟。

注 41.2.4

如果你忘了这些对数法则里的符号是加还是减，就试一个小例子，比如 $\log_{10} 100 + \log_{10} 1000 = \log_{10} 100{,}000$ 。由此就能推出“对数之和”的恒等式。

注 41.2.5

自然对数（以 $e$ 为底），其中 $e$ 是欧拉数， $e \approx 2.71828$ 。

以 $e$ 为底的对数叫作自然对数，记作 $\ln$ 。

定理 41.2.6 · 进阶公式

\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}

\log_a \left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a b

\log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b

概念 41.2.8

对构成等比数列的一组数取对数，得到的对数构成等差数列。

看例题先预测，再揭晓

例 41.1

AMC 12

方程 $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8$ （其中 $x$ 是不等于 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$ 的正实数）的解可以写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。 $p + q$ 是多少？

1
底数 $3x$ 和 $2x$ 很麻烦，但 $4$ 和 $8$ 都是 $2$ 的幂。换成以 $2$ 为底： $\log_{3x} 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 (3x)}$ 。分子 $\log_2 4$ 是多少？

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例 41.2

AIME

在一个火星文明中，所有没有注明底数的对数都默认以 $b$ 为底，其中 $b \ge 2$ 是某个固定的数。一名火星学生写下

3 \log\left(\sqrt{x} \log x\right) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

并发现这个方程组恰有一个实数解 $x > 1$ 。求 $b$ 。

1
这里每个对数都以 $b$ 为底。设 $y = \log x$ 。第二个方程说的是 $\log_y x = 54$ 。把它化成指数式。用 $y$ 表示， $x$ 是什么？

先预测一下：
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例 41.3

AIME

设实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足方程组

\begin{aligned} \log_2(xyz - 3 + \log_5 x) &= 5, \\ \log_3(xyz - 3 + \log_5 y) &= 4, \\ \log_4(xyz - 3 + \log_5 z) &= 4. \end{aligned}

求 $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|$ 的值。

1
把每个方程化成指数式。第一个方程说 $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ 。 $\log_5 x + xyz$ 是多少？

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例 41.4

AIME

设正实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足

2\log_x(2y) = 2\log_{2x}(4z) = \log_{2x^4}(8yz) \ne 0.

$xy^5z$ 的值可以表示成 $\frac{1}{2^{p/q}}$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。

1
每个真数都是 $2$ 的幂乘以 $x$ 、 $y$ 或 $z$ ，所以用以 $2$ 为底来算。设 $u = \log_2 x$ ， $v = \log_2 y$ ， $w = \log_2 z$ ，并把公共值记为 $k$ 。用换底公式， $2\log_x(2y) = k$ 变成什么？

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自己做

习题 41.3.2

AMC 12

下式的值是多少？

\log_3 7 \cdot \log_5 9 \cdot \log_7 11 \cdot \log_9 13 \cdots \log_{21} 25 \cdot \log_{23} 27?

习题 41.3.23（补充题）

AMC 12

如果 $\log\left(xy^3\right) = 1$ 且 $\log\left(x^2y\right) = 1$ ，那么 $\log(xy)$ 是多少？

习题 41.3.25（补充题）

AMC 12

方程 $7^{x+7} = 8^x$ 的解可以表示成 $x = \log_b 7^7$ 的形式。 $b$ 是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 41.3.4

AMC 12

存在唯一的正整数 $n$ ，使得

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).

$n$ 的各位数字之和是多少？

习题 41.3.6

AMC 12

数列

\log_{12} 162,\ \log_{12} x,\ \log_{12} y,\ \log_{12} z,\ \log_{12} 1250

是等差数列。 $x$ 是多少？

习题 41.3.7

AMC 12

有多少个正整数 $x$ 满足 $\log_{10}(x - 40) + \log_{10}(60 - x) < 2$ ？

习题 41.3.8

AMC 12

正实数 $a$ 和 $b$ 满足

\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} + \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100

且左边四项都是正整数，其中 $\log$ 表示以 10 为底的对数。 $ab$ 是多少？

习题 41.3.10

AIME

满足 $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ 的 $x$ 的值可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 41.3.11

AMC 12

正实数 $x \neq 1$ 和 $y \neq 1$ 满足 $\log_2 x = \log_y 16$ 且 $xy = 64$ 。 $\left(\log_2 \frac{x}{y}\right)^2$ 是多少？

习题 41.3.12

AMC 12

下式的值是多少？

\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)?

习题 41.3.13

AMC 12

下式的值是多少？

\frac{\log_2 80}{\log_{40} 2} - \frac{\log_2 160}{\log_{20} 2}?

习题 41.3.14

AMC 12

下面方程的所有解的乘积是多少？

\log_{7x} 2023 \cdot \log_{289x} 2023 = \log_{2023x} 2023?

过关检测（第 41.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

41.3

练习题

在本节中，你将能够 在 AMC 12 和 AIME 题目中综合运用本章的所有对数法则。

现在把所有内容混在一起练。这些题要用到定义、对数运算法则、换底和定义域检验，常常要同时用上。每道题都有三条提示，卡住时可以看。

有些题你之前见过：书中把习题 41.3.4 重复为 41.3.5，例 41.1 重复为 41.3.31，例 41.2 重复为 41.3.19。它们的进度是共享的。

想在一页上看到本章的所有题目？打开习题集。

综合练习

习题 41.3.5

AMC 12

这道题在书中还以 41.3.4 的编号出现。

存在唯一的正整数 $n$ ，使得

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).

$n$ 的各位数字之和是多少？

习题 41.3.31（补充题）

AMC 12

这道题在书中还以 41.1 的编号出现。

习题 41.3.19（补充题）

AIME

这道题在书中还以 41.2 的编号出现。

在一个火星文明中，所有没有注明底数的对数都默认以 $b$ 为底，其中 $b \ge 2$ 是某个固定的数。一名火星学生写下

3 \log\left(\sqrt{x} \log x\right) = 56

\log_{\log x}(x) = 54

并发现这个方程组恰有一个实数解 $x > 1$ 。求 $b$ 。

竞赛角真实竞赛题

习题 41.3.9

AMC 12

下列哪一个是 $\sqrt{\log_2 6 + \log_3 6}$ 的值？

习题 41.3.15

AMC 12

设 $S$ 是满足下式的所有正实数 $x$ 之和：

x^{2^{\sqrt2}} = \sqrt2^{\,2^x}.

下列哪个说法正确？

习题 41.3.17（补充题）

AIME

实数 $x$ 和 $y$ 满足 $x, y > 1$ 且 $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10$ 。 $xy$ 的值是多少？

习题 41.3.18（补充题）

AMC 12

$10^n$ 的所有因数的常用对数（以 10 为底）之和是 $792$ 。 $n$ 是多少？

习题 41.3.20（补充题）

AIME

设 $S$ 是 $1000000$ 的所有真因数（一个数除自身以外的所有因数）的常用对数（以 10 为底）之和。最接近 $S$ 的整数是多少？

习题 41.3.21（补充题）

AIME

正整数 $a$ 和 $b$ 满足条件

\log_2\left(\log_{2^a}\left(\log_{2^b}\left(2^{1000}\right)\right)\right) = 0.

求 $a + b$ 所有可能值之和。

习题 41.3.22（补充题）

AIME

数列 $a_1, a_2, \dots$ 是等比数列， $a_1 = a$ ，公比为 $r$ ，其中 $a$ 和 $r$ 都是正整数。已知 $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \cdots + \log_8 a_{12} = 2006$ ，求可能的有序数对 $(a, r)$ 的个数。

习题 41.3.24（补充题）

AIME

递增的等比数列 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 的每一项都是 $3$ 的整数次幂。已知

\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308 \quad\text{且}\quad 56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,

求 $\log_3(x_{14})$ 。

习题 41.3.26（补充题）

AMC 12

对所有大于 $1$ 的整数 $n$ ，定义 $a_n = \frac{1}{\log_n 2002}$ 。设 $b = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ ， $c = a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}$ 。那么 $b - c$ 等于

习题 41.3.27（补充题）

AMC 12

数 $\log\left(a^3b^7\right)$ 、 $\log\left(a^5b^{12}\right)$ 和 $\log\left(a^8b^{15}\right)$ 是一个等差数列的前三项，这个数列的第 $12$ 项是 $\log b^n$ 。 $n$ 是多少？

习题 41.3.28（补充题）

AIME

已知 $\log_8 a + \log_4 b^2 = 5$ 且 $\log_8 b + \log_4 a^2 = 7$ ，求 $ab$ 的值。

习题 41.3.29（补充题）

AIME

数

\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}

可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

习题 41.3.30（补充题）

AMC 12

函数 $f(x) = \log_{\frac12}\left(\log_4\left(\log_{\frac14}\left(\log_{16}\left(\log_{\frac{1}{16}} x\right)\right)\right)\right)$ 的定义域是一个长度为 $\frac{m}{n}$ 的区间，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

习题 41.3.32（补充题）

AMC 12

设 $m > 1$ 和 $n > 1$ 都是整数。假设方程

8(\log_n x)(\log_m x) - 7\log_n x - 6\log_m x - 2013 = 0

关于 $x$ 的所有解之积是可能的最小整数。 $m + n$ 是多少？

习题 41.3.33（补充题）

AMC 12挑战

设 $S$ 是由实数构成的有序三元组 $(x, y, z)$ 的集合，其中每个三元组都满足

\log_{10}(x + y) = z \text{ 且 } \log_{10}\left(x^2 + y^2\right) = z + 1.

存在实数 $a$ 和 $b$ ，使得对 $S$ 中所有有序三元组 $(x, y, z)$ ，都有 $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}$ 。 $a + b$ 的值是多少？