不等式：全部习题

定义

有多少个整数 $n$ 满足 $P(n) \le 0$？

当 $x$ 是实数时，

的最小可能值是多少？

对实数 $x$ 和 $y$，$(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 的最小可能值是多少？

有多少个整数有序三元组 $(x, y, z)$ 满足下面的不等式组？

考虑对所有实数 $x$ 和 $y$ 都满足 $|f(x) - f(y)| \le \frac12 |x - y|$ 的函数 $f$。在所有这样且还满足 $f(300) = f(900)$ 的函数中，

的最大可能值是多少？

有多少个正实数有序对 $(a, b)$ 满足方程

实值函数 $f$ 具有如下性质：对所有实数 $a$ 和 $b$，

下列哪一个不可能是 $f(1)$ 的值？

设 $\mathcal{B}$ 是体积为 $23$、表面积为 $54$ 的所有长方体组成的集合。设 $r$ 是能把 $\mathcal{B}$ 中任意一个元素装进去的球的最小可能半径。则 $r^2$ 可以写成 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$。

对实数 $x$ 和 $y$，$(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 的最小可能值是多少？

设对 $i = 1, 2, \ldots, n$ 都有 $|x_i| < 1$。又设 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \cdots + x_n|$。$n$ 的最小可能值是多少？

设实数 $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ 满足 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$。在所有这样的 100 元数组中，$x_{76} - x_{16}$ 能取到的最大值是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

存在一个最小的正实数 $a$，使得存在正实数 $b$，让多项式 $x^3 - ax^2 + bx - a$ 的所有根都是实数。事实上，对这个 $a$，$b$ 的值是唯一的。这个 $b$ 的值是多少？

设 $x_1, x_2, \ldots, x_6$ 是非负实数，满足 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 1$，且 $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge \frac{1}{540}$。设 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数，使得 $\frac{p}{q}$ 是 $x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 + x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2$ 的最大可能值。求 $p + q$。

Alpha 和 Beta 都参加了一场为期两天的解题比赛。第二天结束时，两人各自尝试的题目总分都是 500 分。Alpha 第一天在尝试的 300 分中得了 160 分，第二天在尝试的 200 分中得了 140 分。Beta 第一天尝试的不是 300 分，他每天的得分都是正整数，并且 Beta 每天的成功率（得分除以尝试的分数）都低于 Alpha 当天的成功率。Alpha 两天的成功率是 $\frac{300}{500} = \frac35$。Beta 两天的成功率最大可能是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。$m + n$ 是多少？