进阶专题 · 第 40 章

不等式

平方永远不是负数，算术平均数不小于几何平均数，点积不超过长度之积：三个不等式，帮你求出 AMC 中的每一个最大值和最小值。

这一章讲什么？

40.1 平凡不等式
40.2 均值不等式
40.3 柯西不等式
40.4 练习题
40.5 补充习题

你需要先会

在 YouTube 上打开

40.10%

平凡不等式

在本节中，你将能够 利用“平方永远不是负数”这一事实，求出二次式的最小值（或最大值）。

$(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 不可能是负数：它是平方和。但它最小到底能是多少？

本章的每个不等式都源自同一个事实：实数的平方永远不是负数。

要找二次式的最低点，就配方。把它写成一个平方加一个常数。平方至少是 $0$ ，所以这个常数就是最小值，并且在平方等于 $0$ 时取到。

这个技巧对更复杂的式子也管用。找一个换元，把式子变成“某个东西的平方，再加一个数”。

动手探索先玩，再学公式

次数2

首项系数 a1

P(x) = (x^{2} - 6x + 13) = x^{2} - 6x + 13

P(x) = ax^2 + bx + c = a(x - r_1)\cdots(x - r_2)

r_1, r_2 = 3 \pm 2i

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

顶点

(h, k) = (3, 4),\; P(x) = (x - 3)^2 + 4

k = c - \frac{b^2}{4a}

lowest point

P(x) \ge 4\text{，在 } x \approx 3 \text{ 处}

试一试： 拖动抛物线的顶点。哪个系数控制它的高度？
试一试： 读一读配方后的形式。为什么图像永远不会低于顶点？
试一试： 看推论 40.1.2 下方“为什么成立？”里的方块。把缺的那个角补上：你加了什么？

认识概念

定理 40.1.1 · 平凡不等式

对实数 $x$ ，

x^2 \ge 0.

也就是说，所有完全平方都大于或等于 $0$ 。

推论 40.1.2 · 配方

对二次式 $Q(x) = ax^2 + bx + c$ ：

若 $a > 0$ ，则 $Q(x)$ 的最小值是 $c - \frac{b^2}{4a}$ ，在 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取到。
若 $a < 0$ ，则 $Q(x)$ 的最大值是 $c - \frac{b^2}{4a}$ ，在 $x = -\frac{b}{2a}$ 时取到。

自己做

习题 40.4.3

AMC 10/12

对实数 $x$ 和 $y$ ， $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 的最小可能值是多少？

习题 40.4.2

AMC 10

当 $x$ 是实数时，

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2019

的最小可能值是多少？

次数4

首项系数 a1

P(x) = (x + 4)(x + 3)(x + 2)(x + 1) = x^{4} + 10x^{3} + 35x^{2} + 50x + 24

r_1 = -4,\; r_2 = -3,\; r_3 = -2,\; r_4 = -1

lowest point

P(x) \ge ?\text{，在 } x \approx ? \text{ 处}

竞赛角真实竞赛题

习题 40.4.1

AMC 10

定义

P(x) = (x - 1^2)(x - 2^2) \cdots (x - 100^2).

有多少个整数 $n$ 满足 $P(n) \le 0$ ？

过关检测（第 40.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

40.2AMC 120%

均值不等式

在本节中，你将能够 用均值不等式让积尽可能大、让和尽可能小，并检验何时取等。

$A + M + C = 12$ 。 $AMC + AM + MC + CA$ 最大能是多少？提示：各部分相等时最好。

注意：从这里开始，不等式对 AMC 10 来说是选学内容，但在 AMC 12 和 AIME 中很常见。

非负数的算术平均数永远不小于它们的几何平均数。和固定时，所有数相等时积最大；积固定时，所有数相等时和最小。

难点在于怎么构造。你需要一个固定的和（用来估计积的上界）或一个固定的积（用来估计和的下界）。如果各项不配合，就给其中一些项乘上权重，直到它们配合为止，最后再除回去。

一定要检查取等条件：只有当各部分真的能相等时，这个界才算数。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 按“变成正方形”。周长相同的其他矩形，面积能超过它吗？
试一试： 在例 40.1 的拆分中，15 被拆成 3 个整数部分。哪种拆法最好？
试一试： 例 40.2：为什么要先把 4 − x 乘以 3，再用均值不等式？

认识概念

定理 40.2.1 · 两个变量的均值不等式

对非负实数 $a$ 和 $b$ ，

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}.

简单说：两个非负数的平均值（算术平均数）总是不小于这两个数之积的平方根（几何平均数）。

当 $a = b$ 时等号成立。

推论 40.2.2

当 $x > 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是 $2$ ，在 $x = 1$ 时取到。

若 $ab$ 保持不变， $a + b$ 的最小值在 $a = b$ 时取到。
若 $a + b$ 保持不变， $ab$ 的最大值在 $a = b$ 时取到。

定理 40.2.3 · 多个变量的均值不等式

对非负实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ，

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n}.

当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ （所有变量都相等）时等号成立。

换一种说法：

n \text{ 个数的平均数} \ge \sqrt[n]{\text{这 } n \text{ 个数之积}}.

注 40.2.5

通常我们用均值不等式来求积的最大值或和的最小值。

定理 40.2.6 · 加权均值不等式

对非负实数 $a_i$ 、 $c_i$ ，

\frac{c_1 a_1 + c_2 a_2 + \cdots + c_n a_n}{c_1 + c_2 + \cdots + c_n} \ge \sqrt[c_1 + c_2 + \cdots + c_n]{a_1^{c_1} \cdot a_2^{c_2} \cdot a_3^{c_3} \cdots a_n^{c_n}}.

注 40.2.8

当我们想给所有（或部分）项乘上权重，使所有项之和成为常数时，就用加权均值不等式。记得最后要除掉你乘上的权重。

看例题先预测，再揭晓

例 40.1

AMC 12

设 $A$ 、 $M$ 、 $C$ 是非负整数，满足 $A + M + C = 12$ 。 $A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + A \cdot C$ 的最大值是多少？

1
$AMC + AM + MC + CA$ 看起来像某个乘积展开式的一部分。展开 $(A+1)(M+1)(C+1)$ 。多出了哪些项？

在 YouTube 上打开

例 40.2

求 $x^3(4 - x)$ 的最大值。

1
把 $x^3(4-x)$ 看成乘积 $x \cdot x \cdot x \cdot (4 - x)$ 。和 $x + x + x + (4-x)$ 是常数吗？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

在 YouTube 上打开

例 40.3

AMC 12

当 $t$ 取实数时， $\frac{(2^t - 3t)t}{4^t}$ 的最大值是多少？

1
把分式拆开： $\frac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \frac{t}{2^t} - \frac{3t^2}{4^t}$ 。设 $u = \frac{t}{2^t}$ 。用 $u$ 表示这个式子。

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

自己做

习题 40.4.6

AMC 12

有多少个正实数有序对 $(a, b)$ 满足方程

(1 + 2a)(2 + 2b)(2a + b) = 32ab?

竞赛角真实竞赛题

习题 40.4.8

AIME挑战

设 $\mathcal{B}$ 是体积为 $23$ 、表面积为 $54$ 的所有长方体组成的集合。设 $r$ 是能把 $\mathcal{B}$ 中任意一个元素装进去的球的最小可能半径。则 $r^2$ 可以写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。求 $p + q$ 。

习题 40.5.4（补充题）

AMC 12

存在一个最小的正实数 $a$ ，使得存在正实数 $b$ ，让多项式 $x^3 - ax^2 + bx - a$ 的所有根都是实数。事实上，对这个 $a$ ， $b$ 的值是唯一的。这个 $b$ 的值是多少？

习题 40.5.5（补充题）

AIME

设 $x_1, x_2, \ldots, x_6$ 是非负实数，满足 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 1$ ，且 $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge \frac{1}{540}$ 。设 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数，使得 $\frac{p}{q}$ 是 $x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 + x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2$ 的最大可能值。求 $p + q$ 。

过关检测（第 40.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

40.3AMC 120%

柯西不等式

在本节中，你将能够 用柯西不等式（以及 Titu 引理）把一个和与一个平方和联系起来。

$a + b + c = 2$ ， $a^2 + b^2 + c^2 = 12$ 。 $c$ 的最大可能值和最小可能值相差多少？

把 $(a_1, a_2)$ 和 $(b_1, b_2)$ 看成两个箭头。它们的点积 $a_1b_1 + a_2b_2$ 等于两者长度之积乘以 $\cos\theta$ 。因为 $\cos^2\theta \le 1$ ，点积的平方不可能超过长度平方之积。

这就是柯西不等式。它能把 $a + b$ 这样的普通和变成平方和：把 $(a, b)$ 与 $(1, 1)$ 配对。当两个箭头方向相同，也就是比值相等时，等号成立。

求最值总要两步：先证明界，再说明有某组数能取到它。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动 b，直到两根柱一样长。两个箭头的夹角是多少？
试一试： 差等于 |a|²|b|² sin²θ。为什么它永远不会是负数？
试一试： 例 40.4：哪个向量与 (a, b) 配对，能引出 a + b？

认识概念

定理 40.3.1 · 柯西不等式

对实数 $a_i$ 和 $b_i$ ，

(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right)\left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right).

意思是：（所有 $a_k$ 与 $b_k$ 之积的和） $^2$ $\le$ 所有 $a_k$ 的平方和与所有 $b_k$ 的平方和之积。

当比值 $\frac{a_i}{b_i}$ 对所有 $i$ 都相同时，等号成立。

注 40.3.3

遇到平方和时，通常就该想到柯西不等式。

推论 40.3.4 · Titu 引理（权方和不等式）

对实数 $a_i$ 和正实数 $b_i$ ，

\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}.

另一种形式（对非负的 $a_i$ ）：

\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \ge \frac{\left(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n}\right)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}.

这是柯西不等式的直接推论。

概念 40.3.5 · 最值问题的解题方法

求式子最大值/最小值的步骤：

找另一个简单的式子，它大于或等于所给的式子（求最大值时）或小于或等于它（求最小值时）。用下面一个（或几个）不等式：
- 平凡不等式
- 均值不等式
- 加权均值不等式（均值不等式，无论加权与否，都适合求积的最大值和和的最小值）
- 柯西不等式（适合处理平方和）
检验在题目的条件下，你所用不等式的取等条件能否成立。
化简取等条件，求出答案。

看例题先预测，再揭晓

例 40.4

AMC 12

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是实数，满足

a + b + c = 2, \quad \text{且} \quad a^2 + b^2 + c^2 = 12.

$c$ 可能取到的最大值与最小值之差是多少？

1
把 $c$ 看成固定的，移到另一边。用 $c$ 表示 $a + b$ 是多少？

先预测一下：
你的预测

在 YouTube 上打开

竞赛角真实竞赛题

习题 40.5.2（补充题）

AIME

设对 $i = 1, 2, \ldots, n$ 都有 $|x_i| < 1$ 。又设 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \cdots + x_n|$ 。 $n$ 的最小可能值是多少？

习题 40.5.3（补充题）

AIME

这道题在书中还以 12.6.16 的编号出现。

设实数 $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ 满足 $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$ 。在所有这样的 100 元数组中， $x_{76} - x_{16}$ 能取到的最大值是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

过关检测（第 40.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

40.4

练习题

在本节中，你将能够 估计式子的上下界，并数出不等式组的解的个数。

这些练习题把不等式与计数、函数结合在一起。卡住了的话，每道题都有三条提示。

其他练习题（40.4.1–40.4.3、40.4.6、40.4.8）放在用到它们的那一节里。想在一页上看到全部？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 40.4.4

AMC 10

有多少个整数有序三元组 $(x, y, z)$ 满足下面的不等式组？

\begin{aligned} -x - y - z &\le -2 \\ -x + y + z &\le 2 \\ x - y + z &\le 2 \\ x + y - z &\le 2 \end{aligned}

习题 40.4.5

AMC 10

考虑对所有实数 $x$ 和 $y$ 都满足 $|f(x) - f(y)| \le \frac12 |x - y|$ 的函数 $f$ 。在所有这样且还满足 $f(300) = f(900)$ 的函数中，

f(f(800)) - f(f(400))

的最大可能值是多少？

习题 40.4.7

AMC 12

实值函数 $f$ 具有如下性质：对所有实数 $a$ 和 $b$ ，

f(a + b) + f(a - b) = 2f(a)f(b).

下列哪一个不可能是 $f(1)$ 的值？

40.5

补充习题

在本节中，你将能够 在更难的竞赛题中综合运用估计上下界和取等条件。

补充习题。大部分来自 AIME：先找出界，再构造出能取到它的数。

习题 40.5.2–40.5.5 放在用到它们的那一节里（均值不等式和柯西不等式）。

竞赛角真实竞赛题

习题 40.5.1（补充题）

AMC 10/12

这道题在书中还以 40.4.3 的编号出现。

对实数 $x$ 和 $y$ ， $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 的最小可能值是多少？

习题 40.5.6（补充题）

AIME

Alpha 和 Beta 都参加了一场为期两天的解题比赛。第二天结束时，两人各自尝试的题目总分都是 500 分。Alpha 第一天在尝试的 300 分中得了 160 分，第二天在尝试的 200 分中得了 140 分。Beta 第一天尝试的不是 300 分，他每天的得分都是正整数，并且 Beta 每天的成功率（得分除以尝试的分数）都低于 Alpha 当天的成功率。Alpha 两天的成功率是 $\frac{300}{500} = \frac35$ 。Beta 两天的成功率最大可能是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？