下取整与上取整函数：全部习题

满足 $\lfloor x \rfloor^2 - 3x + 2 = 0$ 的不同的 $x$ 有多少个？其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。

函数

的图像关于下列哪一项对称？（这里 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

有多少个正整数 $n \le 1000$ 使得

不能被 $3$ 整除？（$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

小猫 Cozy 和小狗 Dash 要爬一段有若干级台阶的楼梯。不过，它们都不是一级一级地走，而是跳。Cozy 每次跳上两级（必要时，最后一级就只跳一级）。Dash 每次跳上五级（必要时，如果剩下不到 $5$ 级，就只跳剩下的几级）。假设 Dash 到达楼梯顶端所用的跳跃次数比 Cozy 少 $19$ 次。设 $s$ 为这段楼梯所有可能的台阶数之和。$s$ 的各位数字之和是多少？

设实数 $r$ 满足

求 $\lfloor 100r \rfloor$。（对实数 $x$，$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

有多少个小于 $1000$ 的正整数 $N$，使得关于 $x$ 的方程 $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ 有解？

对非负实数 $x$，用 $\langle x \rangle$ 表示 $x$ 的小数部分，即 $\langle x \rangle = x - \lfloor x \rfloor$，其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。设 $a$ 为正数，$\langle a^{-1} \rangle = \langle a^2 \rangle$，且 $2 < a^2 < 3$。求 $a^{12} - 144a^{-1}$ 的值。

给定一个由 $121$ 个整数组成的样本，每个数都在 $1$ 到 $1000$ 之间（含两端），允许重复。这个样本有唯一的众数（出现次数最多的值）。设 $D$ 为众数与样本算术平均数之差。$\lfloor D \rfloor$ 的最大可能值是多少？（对实数 $x$，$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

求最小的正整数 $k$，使得方程 $\left\lfloor \dfrac{2002}{n} \right\rfloor = k$ 没有整数解 $n$。（记号 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

求满足下面条件的小于 $1000$ 的正整数 $n$ 的个数：存在正实数 $x$，使得 $n = x\lfloor x \rfloor$。注：$\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。

对实数 $x$，用 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。对某个整数 $k$，恰好有 $70$ 个正整数 $n_1, n_2, \ldots, n_{70}$，使得

并且对所有满足 $1 \le i \le 70$ 的 $i$，$k$ 都整除 $n_i$。求 $\dfrac{n_i}{k}$（$1 \le i \le 70$）的最大值。

有多少个正整数 $n$ 满足

（$\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

对实数 $a$，用 $\lfloor a \rfloor$ 表示小于或等于 $a$ 的最大整数。设 $\mathcal{R}$ 为坐标平面上由满足 $\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25$ 的点 $(x, y)$ 组成的区域。区域 $\mathcal{R}$ 完全包含在一个半径为 $r$ 的圆盘中（圆盘是圆与其内部的并集）。$r$ 的最小值可以写成 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是整数，且 $m$ 不能被任何质数的平方整除。求 $m + n$。

求满足下面条件的正整数 $n \le 600$ 的个数：已知 $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor$、$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor$ 和 $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ 的值时，它的值可以被唯一确定。其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于实数 $x$ 的最大整数。