坐标几何：全部习题

一个四边形的内部由 $(x + ay)^2 = 4a^2$ 和 $(ax - y)^2 = a^2$ 的图像围成，其中 $a$ 是正实数。用 $a$ 表示这个区域的面积（对所有 $a > 0$ 都成立），结果是什么？

一束激光从点 $(3, 5)$ 射出，沿直线传播。Larry 希望光束先射到 $y$ 轴并反射，再射到 $x$ 轴并反射，最后射到点 $(7, 5)$。光束沿这条路径一共走了多远？

$xy$ 平面上的点 $P(a, b)$ 先绕点 $(1, 5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$，再关于直线 $y = -x$ 作对称。经过这两次变换后，$P$ 的像在 $(-6, 3)$。$b - a$ 等于多少？

从 $A(1, 2)$ 到 $B(3, 3)$ 的线段，可以通过一个以点 $P(s, t)$ 为中心的旋转，变成从 $A'(3, 1)$ 到 $B'(4, 3)$ 的线段，并把 $A$ 变到 $A'$，$B$ 变到 $B'$。$|s - t|$ 等于多少？

$xy$ 平面上所有形如 $(2u - 3w, v + 4w)$ 的点组成一个区域，其中 $0 \le u \le 1$，$0 \le v \le 1$，$0 \le w \le 1$。这个区域的边界长度是多少？

由

的图像围成的区域面积是 $m + n\pi$，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。$m + n$ 等于多少？

一个半径为 $r$ 的圆被三个圆围着，这三个圆的半径分别是 $1$、$2$、$3$，它们都与里面的圆外切，并且两两外切，如下图所示。$r$ 等于多少？

设 $ABCD$ 是菱形，它的顶点都在双曲线 $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{24} = 1$ 上，并按这个顺序排列。如果它的对角线交于原点，求对所有这样的菱形 $ABCD$ 都小于 $BD^2$ 的最大的数。

直线 $12x + 5y = 60$ 与两条坐标轴围成一个三角形。这个三角形三条高的长度之和是多少？

三角形 $ABC$ 的顶点是 $A = (3, 0)$，$B = (0, 3)$ 和 $C$，其中 $C$ 在直线 $x + y = 7$ 上。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

方程为 $ax - 2y = c$ 和 $2x + by = -c$ 的两条直线互相垂直，并交于 $(1, -5)$。$c$ 等于多少？

点 $P = (1, 2, 3)$ 先关于 $xy$ 平面作对称，得到像 $Q$；再把它绕 $x$ 轴旋转 $180^\circ$ 得到 $R$；最后把 $R$ 沿 $y$ 轴正方向平移 $5$ 个单位得到 $S$。$S$ 的坐标是什么？

线段 $\overline{AB}$ 是一个圆的直径，$AB = 24$。点 $C$ 在圆上，且不同于 $A$ 和 $B$。当点 $C$ 绕圆移动时，$\triangle ABC$ 的重心（质心）描出一条缺了两个点的封闭曲线。这条曲线所围区域的面积四舍五入到最接近的正整数是多少？

直角三角形 $ABC$ 的边长为 $BC = 6$，$AC = 8$，$AB = 10$。以 $O$ 为圆心的圆与直线 $BC$ 相切于 $B$，并且过 $A$。以 $P$ 为圆心的圆与直线 $AC$ 相切于 $A$，并且过 $B$。$OP$ 等于多少？

斜率为 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 的两条直线交于 $(2, 2)$。这两条直线与直线 $x + y = 10$ 围成的三角形面积是多少？

一个三角形的顶点是 $(0, 0)$、$(1, 1)$ 和 $(6m, 0)$，直线 $y = mx$ 把这个三角形分成面积相等的两个三角形。$m$ 所有可能取值的和是多少？

设 $A$、$B$、$C$ 是 $y = x^2$ 的图像上三个不同的点，直线 $AB$ 平行于 $x$ 轴，且 $\triangle ABC$ 是面积为 $2008$ 的直角三角形。$C$ 的 $y$ 坐标的各位数字之和是多少？

在长方形 $ABCD$ 中，$A = (6, -22)$，$B = (2006, 178)$，$D = (8, y)$，其中 $y$ 是某个整数。长方形 $ABCD$ 的面积是多少？

求 $|x - 60| + |y| = \left|\frac{x}{4}\right|$ 的图像所围区域的面积。

求满足 $x \le 2y \le 60$ 且 $y \le 2x \le 60$ 的正整数有序数对 $(x, y)$ 的个数。

考虑顶点为 $(10, 45)$、$(10, 114)$、$(28, 153)$ 和 $(28, 84)$ 的平行四边形。一条过原点的直线把这个图形分成两个全等的多边形。这条直线的斜率是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

设 $L$ 是斜率为 $\frac{5}{12}$ 且经过点 $A = (24, -1)$ 的直线，$M$ 是与直线 $L$ 垂直且经过点 $B = (5, 6)$ 的直线。擦掉原来的坐标轴，把直线 $L$ 作为 $x$ 轴，直线 $M$ 作为 $y$ 轴。在新坐标系中，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上。在原坐标系中坐标为 $(-14, 27)$ 的点 $P$，在新坐标系中的坐标是 $(\alpha, \beta)$。求 $\alpha + \beta$。

三角形 $ABC$ 在直角坐标平面上，面积为 $70$。$B$ 和 $C$ 的坐标分别是 $(12, 19)$ 和 $(23, 20)$，$A$ 的坐标是 $(p, q)$。边 $\overline{BC}$ 上的中线所在直线的斜率是 $-5$。求 $p + q$ 的最大可能值。

在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 9$，$H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$，$E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$，直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$，$F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$。求 $GF$ 的长度。