38. 坐标几何 · Mastering AMC 10/12

38.10%

坐标平面中的直线

在本节中，你将能够 把直线变成方程：斜率、直线方程的两种形式、距离公式，以及点到直线的距离。

把图放到坐标网格上，几何就变成了代数。每条直线都是一个方程，每段长度都是一个平方根。

两点确定一条直线。它的斜率是竖直变化除以水平变化，也等于 $\tan\theta$ ，其中 $\theta$ 是直线与 $x$ 轴所成的角。

长度来自换了个样子的勾股定理：距离公式。从一点到一条直线，最短的路是沿垂线直走过去，而且有一个公式能直接给出这段长度。

注意：题目给出长方形或直角时，把一个角放在原点，让两条边落在坐标轴上。数字会变小，方程会变简单。

动手探索先玩，再学公式

m = \dfrac{\text{竖直变化}}{\text{水平变化}} = \dfrac{3}{4}

\theta \approx 36.9^\circ,\ \tan\theta = \tfrac{3}{4}

y = \tfrac{3}{4}x + \tfrac{1}{4}

3x - 4y + 1 = 0

\text{x 轴截距: } -\tfrac{1}{3},\quad \text{y 轴截距: } \tfrac{1}{4}

试一试： 拖动 A 和 B。读出竖直变化和水平变化。竖直变化 ÷ 水平变化等于斜率 m 吗？
试一试： 打开“显示 θ”，把直线转到 45°。斜率是不是 tan 45° = 1？
试一试： 点“距离”。距离公式背后藏着哪个直角三角形？
试一试： 点“点到直线”，拖动 P。PF 等于 |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) 吗？

认识概念

定义 38.1.1 · 直线的方程

直线的方程是

ax + by + c = 0.

注 38.1.7

注意不要把直线的这个方程和 $ax + by = c$ 弄混。在 $ax + by = c$ 中，常数在等号的另一边，所以把它移过来时要变号。

定义 38.1.2 · 斜截式

直线方程的斜截式是

y = mx + b,

其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 $y$ 轴上的截距。

定理 38.1.3 · 过两点的直线的斜率

过两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的直线的斜率是

\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

定理 38.1.4 · 用倾斜角求斜率

与 $x$ 轴正方向所成的角为 $\theta$ 的直线，斜率是

\tan\theta.

定理 38.1.5 · 两点间的距离

两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离是

\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.

定理 38.1.6 · 点到直线的距离公式

点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $ax + by + c = 0$ 的距离是

\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

注 38.1.9

这个公式有点绕，这里有个记住分子的简单方法：它就是把点的坐标作为 $x$ 和 $y$ 的值代入直线方程的左边。

看例题先预测，再揭晓

例 38.3

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 3$ 。点 $E$ 在 $B$ 与 $C$ 之间，点 $F$ 在 $E$ 与 $C$ 之间，且 $BE = EF = FC$ 。线段 $\overline{AE}$ 和 $\overline{AF}$ 分别与 $\overline{BD}$ 交于 $P$ 和 $Q$ 。比 $BP : PQ : QD$ 可以写成 $r : s : t$ ，其中 $r$ 、 $s$ 、 $t$ 的最大公因数是 $1$ 。 $r + s + t$ 等于多少？

1
把 $D$ 放在原点： $D = (0, 0)$ ， $C = (6, 0)$ ， $B = (6, 3)$ ， $A = (0, 3)$ 。边 $BC$ 被三等分。 $E$ 和 $F$ 在哪里？

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自己做

习题 38.5.9（补充题）

AMC 10

直线 $12x + 5y = 60$ 与两条坐标轴围成一个三角形。这个三角形三条高的长度之和是多少？

竞赛角真实竞赛题

习题 38.5.2

AMC 12

一束激光从点 $(3, 5)$ 射出，沿直线传播。Larry 希望光束先射到 $y$ 轴并反射，再射到 $x$ 轴并反射，最后射到点 $(7, 5)$ 。光束沿这条路径一共走了多远？

习题 38.5.3

AMC 10/12

$xy$ 平面上的点 $P(a, b)$ 先绕点 $(1, 5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，再关于直线 $y = -x$ 作对称。经过这两次变换后， $P$ 的像在 $(-6, 3)$ 。 $b - a$ 等于多少？

习题 38.5.4

AMC 10

从 $A(1, 2)$ 到 $B(3, 3)$ 的线段，可以通过一个以点 $P(s, t)$ 为中心的旋转，变成从 $A'(3, 1)$ 到 $B'(4, 3)$ 的线段，并把 $A$ 变到 $A'$ ， $B$ 变到 $B'$ 。 $|s - t|$ 等于多少？

习题 38.5.11（补充题）

AMC 10

方程为 $ax - 2y = c$ 和 $2x + by = -c$ 的两条直线互相垂直，并交于 $(1, -5)$ 。 $c$ 等于多少？

习题 38.5.15（补充题）

AMC 12

斜率为 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 的两条直线交于 $(2, 2)$ 。这两条直线与直线 $x + y = 10$ 围成的三角形面积是多少？

过关检测（第 38.1 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

38.20%

坐标平面中的圆

在本节中，你将能够 由圆心和半径写出圆的方程，并从方程读出圆心和半径。

圆就是到圆心距离为 r 的所有点。把距离公式平方，就得到它的方程。

点 $(x, y)$ 在圆心为 $(a, b)$ 、半径为 $r$ 的圆上，恰好当 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 。

反过来只需一步：对 $x$ 和 $y$ 分别配方。然后圆心和半径就能直接读出来。

相切的圆用坐标来做也最容易。把圆心放在距离简单的位置，再把两个圆的方程相减，平方项就消掉了。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动圆心 O。方程里哪些数会变？
试一试： 点“半径 r”旁边的 +。方程的哪一部分会变，怎么变？
试一试： 看展开式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。你能从 D 和 E 读出圆心吗？

认识概念

定理 38.2.1 · 圆的方程

圆心为 $(a, b)$ 、半径为 $r$ 的圆的方程是

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

看例题先预测，再揭晓

例 38.2

AMC 10

一个三角形的三边长为 $5$ 、 $12$ 和 $13$ ，它有内切圆和外接圆。这两个圆的圆心之间的距离是多少？

1
$5^2 + 12^2 = 13^2$ ，所以这是直角三角形。把直角顶点放在原点： $C = (0, 0)$ ， $B = (12, 0)$ ， $A = (0, 5)$ 。直角三角形的外心 $O$ 在哪里？

先预测一下：
点击一个选项，或输入它的字母（A–E）。

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例 38.5

PUMaC

设 $ABCD$ 是边长为 $8$ 的正方形。设 $M$ 是 $BC$ 的中点， $\omega$ 是过 $M$ 、 $A$ 、 $D$ 的圆。设 $O$ 是 $\omega$ 的圆心， $X$ 是 $\omega$ 与 $AB$ 的交点（不同于 $A$ ）， $Y$ 是 $OX$ 与 $AM$ 的交点。求 $OY$ 的长度。

1
设 $A = (0, 0)$ ， $B = (8, 0)$ ， $C = (8, 8)$ ， $D = (0, 8)$ 。那么 $M = (8, 4)$ 。圆心 $O$ 到 $A$ 和 $D$ 的距离相等。它必须在哪条直线上？

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竞赛角真实竞赛题

习题 38.5.6

AMC 10

由

x^2 + y^2 = 3|x - y| + 3|x + y|

的图像围成的区域面积是 $m + n\pi$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。 $m + n$ 等于多少？

习题 38.5.7

AMC 10

一个半径为 $r$ 的圆被三个圆围着，这三个圆的半径分别是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ ，它们都与里面的圆外切，并且两两外切，如下图所示。 $r$ 等于多少？

习题 38.5.13（补充题）

AMC 10

线段 $\overline{AB}$ 是一个圆的直径， $AB = 24$ 。点 $C$ 在圆上，且不同于 $A$ 和 $B$ 。当点 $C$ 绕圆移动时， $\triangle ABC$ 的重心（质心）描出一条缺了两个点的封闭曲线。这条曲线所围区域的面积四舍五入到最接近的正整数是多少？

习题 38.5.14（补充题）

AMC 12

这道题在书中还以 34.5.33 的编号出现。

直角三角形 $ABC$ 的边长为 $BC = 6$ ， $AC = 8$ ， $AB = 10$ 。以 $O$ 为圆心的圆与直线 $BC$ 相切于 $B$ ，并且过 $A$ 。以 $P$ 为圆心的圆与直线 $AC$ 相切于 $A$ ，并且过 $B$ 。 $OP$ 等于多少？

过关检测（第 38.2 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

38.30%

用鞋带公式求面积

在本节中，你将能够 用鞋带公式由顶点坐标求出任意多边形的面积。

列出各个顶点，交叉相乘，差取一半。一张表就求出任意多边形的面积。

鞋带公式只需要顶点的坐标，按绕多边形一圈的顺序排好。顺时针还是逆时针都没关系，因为最后要取绝对值。

注意：坐标轴放在哪里由你决定。把直角放在原点，表里的很多乘积就会变成 $0$ 。

动手探索先玩，再学公式

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
A	1	1	1	7
B	7	1	42	7
C	7	6	21	24
D	4	3	24	3
E	1	6	1	6
A	1	1	Σ 89	Σ 47

面积 = ½ × |89 − 47| = 21

有向: 21 (逆时针)

试一试： 点“反转顺序”。有向面积会怎样？面积呢？
试一试： 把一个顶点往里拖，让多边形变成凹的。公式还能给出面积吗？
试一试： 把一个顶点拖过一条边，让两条边交叉。为什么这个数不再是面积了？

认识概念

定理 38.3.1 · 坐标形式的鞋带公式

设多边形 $P$ 的顶点按顺时针顺序依次是 $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_n, b_n)$ 。那么 $P$ 的面积 $A$ 是

A = \frac{1}{2}\left|(a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1) - (b_1 a_2 + b_2 a_3 + \cdots + b_n a_1)\right|.

按逆时针顺序也可以，只要最后取绝对值。

鞋带公式的名字来自这样一幅图：把坐标排成一列，在最下面重复写一遍第一组坐标，再把要相乘的坐标连起来，交叉的连线就像鞋带一样。（这就是定理 30.1.12。）

注 38.3.2 · 理解鞋带公式的直观方法

鞋带公式的步骤：

把多边形的所有顶点坐标竖着排成一列。
在这一列的最下面重复写一遍第一组坐标。
设 $A$ 为所有向右（右下方向）对角线上两数之积的和。
设 $B$ 为所有向左（左下方向）对角线上两数之积的和。
求出

\frac{1}{2}|A - B|.

看例题先预测，再揭晓

例 38.1

AMC 10

设点 $A = (0, 0)$ ， $B = (1, 2)$ ， $C = (3, 3)$ ， $D = (4, 0)$ 。一条过 $A$ 的直线把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两块。这条直线与 $\overline{CD}$ 交于点 $\left(\frac{p}{q}, \frac{r}{s}\right)$ ，其中两个分数都是最简分数。 $p + q + r + s$ 等于多少？

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
A	0	0	0	0
B	1	2	3	6
C	3	3	0	12
D	4	0	0	0
A	0	0	Σ 3	Σ 18

面积 = ½ × |3 − 18| = ?

有向: −7.5 (顺时针)

1
先求总面积。对 $A, B, C, D$ 用鞋带公式。 $[ABCD]$ 是多少？

先预测一下：
你的预测

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例 38.4

AMC 10

在直角三角形 $\triangle ACE$ 中， $AC = 12$ ， $CE = 16$ ， $EA = 20$ 。点 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 分别在 $\overline{AC}$ 、 $\overline{CE}$ 、 $\overline{EA}$ 上，且 $AB = 3$ ， $CD = 4$ ， $EF = 5$ 。 $\triangle DBF$ 的面积与 $\triangle ACE$ 的面积之比是多少？

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
D	4	0	36	0
B	0	9	0	108
F	12	3	0	12
D	4	0	Σ 36	Σ 120

面积 = ½ × |36 − 120| = ?

有向: −42 (顺时针)

1
$EA = 20$ 是最长边，所以直角在 $C$ 。把 $C$ 放在原点， $A$ 放在 $y$ 轴上， $E$ 放在 $x$ 轴上。它们的坐标是什么？

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竞赛角真实竞赛题

习题 38.5.10（补充题）

AMC 12

三角形 $ABC$ 的顶点是 $A = (3, 0)$ ， $B = (0, 3)$ 和 $C$ ，其中 $C$ 在直线 $x + y = 7$ 上。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

习题 38.5.16（补充题）

AMC 12

一个三角形的顶点是 $(0, 0)$ 、 $(1, 1)$ 和 $(6m, 0)$ ，直线 $y = mx$ 把这个三角形分成面积相等的两个三角形。 $m$ 所有可能取值的和是多少？

习题 38.5.21（补充题）

AIME

考虑顶点为 $(10, 45)$ 、 $(10, 114)$ 、 $(28, 153)$ 和 $(28, 84)$ 的平行四边形。一条过原点的直线把这个图形分成两个全等的多边形。这条直线的斜率是 $m/n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

#	x	y	↘ x·y′	↙ x′·y
P	10	45	1140	450
Q	10	114	1530	3192
R	28	153	2352	4284
S	28	84	1260	840
P	10	45	Σ 6282	Σ 8766

面积 = ½ × |6282 − 8766| = 1242

有向: −1242 (顺时针)

习题 38.5.23（补充题）

AIME挑战

三角形 $ABC$ 在直角坐标平面上，面积为 $70$ 。 $B$ 和 $C$ 的坐标分别是 $(12, 19)$ 和 $(23, 20)$ ， $A$ 的坐标是 $(p, q)$ 。边 $\overline{BC}$ 上的中线所在直线的斜率是 $-5$ 。求 $p + q$ 的最大可能值。

过关检测（第 38.3 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

38.40%

皮克定理（选学）

在本节中，你将能够 通过数点求出格点多边形的面积，也能由面积数出点的个数。

在格点上，求面积就是数点：内部的点数，加上边界点数的一半，再减 1。

皮克定理适用于任何顶点都是格点的多边形，不管凸的还是凹的。它也能反过来用：知道面积（由鞋带公式求出）和边界上的点数，就知道内部有多少个格点。

数边界上的点很快：从 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 的边有 $\gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|)$ 个格点步长。

动手探索先玩，再学公式

试一试： 拖动一个顶点，让内部多一个格点。面积是不是增加了 1？
试一试： 这次改为让边界上多一个点。为什么面积只增加 ½？
试一试： 点“鞋带公式”。皮克定理的计数和鞋带公式一致吗？

认识概念

定理 38.4.1 · 皮克定理

如果一个多边形的顶点坐标都是整数（即顶点都是格点），那么这个多边形的面积是

i + \frac{b}{2} - 1,

其中 $i$ 是多边形内部的格点个数， $b$ 是多边形边界上的格点个数。（这就是定理 30.1.14。）

竞赛角真实竞赛题

习题 38.5.19（补充题）

AIME

求 $|x - 60| + |y| = \left|\frac{x}{4}\right|$ 的图像所围区域的面积。

习题 38.5.20（补充题）

AIME

求满足 $x \le 2y \le 60$ 且 $y \le 2x \le 60$ 的正整数有序数对 $(x, y)$ 的个数。

过关检测（第 38.4 节）

3 题中答对 2 题即可掌握本节。每题只有一次机会，没有提示。

38.5

练习题

在本节中，你将能够 在竞赛题中综合运用本章的所有坐标工具。

习题集的其余部分，从一道立体的热身题到两道 AIME 题。先问自己：坐标轴该放在哪里？

想在一页上看到本章的全部习题？打开习题集。

竞赛角真实竞赛题

习题 38.5.1

AMC 10

一个四边形的内部由 $(x + ay)^2 = 4a^2$ 和 $(ax - y)^2 = a^2$ 的图像围成，其中 $a$ 是正实数。用 $a$ 表示这个区域的面积（对所有 $a > 0$ 都成立），结果是什么？

习题 38.5.5

AMC 10

$xy$ 平面上所有形如 $(2u - 3w, v + 4w)$ 的点组成一个区域，其中 $0 \le u \le 1$ ， $0 \le v \le 1$ ， $0 \le w \le 1$ 。这个区域的边界长度是多少？

习题 38.5.8

AIME挑战

设 $ABCD$ 是菱形，它的顶点都在双曲线 $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{24} = 1$ 上，并按这个顺序排列。如果它的对角线交于原点，求对所有这样的菱形 $ABCD$ 都小于 $BD^2$ 的最大的数。

习题 38.5.12（补充题）

AMC 12

点 $P = (1, 2, 3)$ 先关于 $xy$ 平面作对称，得到像 $Q$ ；再把它绕 $x$ 轴旋转 $180^\circ$ 得到 $R$ ；最后把 $R$ 沿 $y$ 轴正方向平移 $5$ 个单位得到 $S$ 。 $S$ 的坐标是什么？

习题 38.5.17（补充题）

AMC 12

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是 $y = x^2$ 的图像上三个不同的点，直线 $AB$ 平行于 $x$ 轴，且 $\triangle ABC$ 是面积为 $2008$ 的直角三角形。 $C$ 的 $y$ 坐标的各位数字之和是多少？

习题 38.5.18（补充题）

AMC 10

在长方形 $ABCD$ 中， $A = (6, -22)$ ， $B = (2006, 178)$ ， $D = (8, y)$ ，其中 $y$ 是某个整数。长方形 $ABCD$ 的面积是多少？

习题 38.5.22（补充题）

AIME

设 $L$ 是斜率为 $\frac{5}{12}$ 且经过点 $A = (24, -1)$ 的直线， $M$ 是与直线 $L$ 垂直且经过点 $B = (5, 6)$ 的直线。擦掉原来的坐标轴，把直线 $L$ 作为 $x$ 轴，直线 $M$ 作为 $y$ 轴。在新坐标系中，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上。在原坐标系中坐标为 $(-14, 27)$ 的点 $P$ ，在新坐标系中的坐标是 $(\alpha, \beta)$ 。求 $\alpha + \beta$ 。

习题 38.5.24（补充题）

AMC 10

这道题在书中还以 32.2.30 的编号出现。

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 9$ ， $H$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $BH = 6$ ， $E$ 在 $AD$ 上且 $DE = 4$ ，直线 $EC$ 与直线 $AH$ 交于 $G$ ， $F$ 在直线 $AD$ 上且 $\overline{GF} \perp \overline{AF}$ 。求 $GF$ 的长度。