复杂图形的面积与长度：全部习题

如图，凸四边形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$CD = 13$，$AD = 12$，$\angle ABC = 90^\circ$。这个四边形的面积是多少？

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积是 $n$。设 $m$ 是四边形 $ACEG$ 的面积。$\dfrac{m}{n}$ 是多少？

如下图，边长为 $2$ 的正六边形内部有六个半圆，半圆的直径分别与六边形的各边重合。阴影部分（在六边形内、但在所有半圆外）的面积是多少？

一个半径为 $2$ 的圆以 $A$ 为圆心。一个边长为 $4$ 的等边三角形有一个顶点在 $A$。在圆内但在三角形外的区域面积，与在三角形内但在圆外的区域面积，二者之差是多少？

一个长方形的两边长分别是 $a$ 和 $36$。在长方形的每个顶点，以及每条长为 $36$ 的边的中点，都装上一个铰链。保持两条长为 $a$ 的边平行，把它们向彼此推近，长方形就变成如图所示的凸六边形。当图形是一个六边形、两条长为 $a$ 的边平行且相距 $24$ 时，这个六边形的面积与原来的长方形相同。求 $a^2$。

$ABCD$ 是一张长方形纸片，把它折叠，使角 $B$ 与边 $AD$ 上的点 $B'$ 重合。折痕是 $EF$，其中 $E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $CD$ 上。已知 $AE = 8$，$BE = 17$，$CF = 3$。长方形 $ABCD$ 的周长是 $m/n$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$。

等边三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 分别在点 $B$ 和 $C$ 处与一个圆相切。$\triangle ABC$ 的面积中有几分之几在圆外？

在一个单位正方形的每条边上，各作一个边长为 $1$ 的等边三角形。在每个等边三角形的每条新边上，再各作一个边长为 $1$ 的等边三角形。正方形和这 $12$ 个三角形的内部两两没有公共点。设 $R$ 是正方形和所有三角形的并集构成的区域，$S$ 是包含 $R$ 的最小凸多边形。在 $S$ 内但在 $R$ 外的区域面积是多少？

等边 $\triangle ABE$ 的顶点 $E$ 在单位正方形 $ABCD$ 的内部。设 $R$ 是由所有在 $ABCD$ 内、在 $\triangle ABE$ 外，且到 $\overline{AD}$ 的距离在 $\frac13$ 与 $\frac23$ 之间的点构成的区域。$R$ 的面积是多少？

三角形 $ABC$ 中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$。点 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上，$\overline{CD}$ 平分直角。$\triangle ADC$ 和 $\triangle BCD$ 的内切圆半径分别是 $r_a$ 和 $r_b$。$r_a/r_b$ 是多少？

一个圆心为 $O$ 的圆面积是 $156\pi$。三角形 $ABC$ 是等边三角形，$\overline{BC}$ 是圆的一条弦，$OA = 4\sqrt{3}$，且点 $O$ 在 $\triangle ABC$ 外。$\triangle ABC$ 的边长是多少？

图中的图形叫作三叶形，它是以几个全等等边三角形的边为弦画出扇形构成的。水平底边长为 $2$ 的三叶形面积是多少？

两个圆在正六边形 $ABCDEF$ 的外部。第一个圆与 $\overline{AB}$ 相切，第二个圆与 $\overline{DE}$ 相切。两个圆都与直线 $BC$ 和 $FA$ 相切。第二个圆的面积与第一个圆的面积之比是多少？

一个边长为 $1$ 的正方形和一个半径为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 的圆有相同的中心。在圆内但在正方形外的面积是多少？

一个等边三角形的边长是 $6$。所有在三角形外、且到三角形上某一点的距离不超过 $3$ 个单位的点构成一个区域。这个区域的面积是多少？

图中的封闭曲线由 $9$ 段全等的圆弧组成，每段弧长 $\dfrac{2\pi}{3}$，并且每段弧所在圆的圆心都是一个边长为 $2$ 的正六边形的某个顶点。这条曲线围成的面积是多少？

一个正六边形的边长是 $6$。如图，以每个顶点为圆心画半径为 $3$ 的全等圆弧，得到若干扇形。如图，在六边形内、扇形外的区域涂上了阴影。阴影部分的面积是多少？

如图，一个直径为 $1$ 的半圆放在一个直径为 $2$ 的半圆顶上。在小半圆内、大半圆外的阴影部分叫作月牙形。求这个月牙形的面积。

正方形 $ABCD$ 的边长是 $2$。在正方形内以 $\overline{AB}$ 为直径作一个半圆，从 $C$ 作半圆的切线，与边 $\overline{AD}$ 交于 $E$。$\overline{CE}$ 的长是多少？

一个半径为 $1$ 的圆分别在点 $A$ 和 $B$ 处与两个半径为 $2$ 的圆内切，其中 $\overline{AB}$ 是小圆的直径。图中阴影部分在小圆外、且同时在两个大圆内。它的面积是多少？

一个半径为 $2$ 的圆以 $O$ 为圆心。正方形 $OABC$ 的边长是 $1$。把边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CB}$ 延长过 $B$，分别与圆交于 $D$ 和 $E$。图中阴影部分由 $\overline{BD}$、$\overline{BE}$ 和连接 $D$、$E$ 的劣弧围成，它的面积是多少？

如图，用一把刷子沿正方形的两条对角线各刷一遍，得到对称的涂色区域。正方形面积的一半被涂了色。正方形的边长与刷子宽度之比是多少？

如图，分别以 $A$、$B$ 为圆心的两个圆半径都是 $2$。点 $O$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，且 $OA = 2\sqrt{2}$。线段 $\overline{OC}$ 和 $\overline{OD}$ 分别与以 $A$、$B$ 为圆心的圆相切，$\overline{EF}$ 是两圆的公切线。阴影部分 $ECODF$ 的面积是多少？

把一个单位正方形绕它的中心旋转 $45^\circ$。正方形的内部扫过的区域面积是多少？

等边三角形 $ABC$ 的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 分别在点 $B$ 和 $C$ 处与一个圆相切。$\triangle ABC$ 的面积中有几分之几在圆外？

圆 $\omega_1$、$\omega_2$、$\omega_3$ 的半径都是 $4$，它们在平面上两两外切。点 $P_1$、$P_2$、$P_3$ 分别在 $\omega_1$、$\omega_2$、$\omega_3$ 上，满足 $P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_1$，并且对每个 $i = 1, 2, 3$，直线 $P_iP_{i+1}$ 都与 $\omega_i$ 相切，其中 $P_4 = P_1$。见下图。$\triangle P_1P_2P_3$ 的面积可以写成 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的形式，其中 $a$、$b$ 是正整数。$a + b$ 是多少？

如下面两图所示，正方形 $S_1$ 和 $S_2$ 内接于直角三角形 $ABC$。若面积$(S_1) = 441$，面积$(S_2) = 440$，求 $AC + CB$。